3.2.1 离散型随机变量及其分布 课时跟踪检测-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册配套练习word（湘教版）

3.2.1　离散型随机变量及其分布 [课时跟踪检测] 1.[多选]下列随机变量是离散型随机变量的是 (　　) A.某足球队在5次点球中进球的次数 B.某林场的树木最高达30 m,则此林场中树木的高度 C.某加工厂加工的某种铜管的外径与规定的外径尺寸之差 D.某高中每年参加高考的人数 答案:AD 2.设随机变量X的分布列为P(X=i)=,i=1,2,3,则a= (　　) A.3 B. C.2 D. 解析:选A　根据题意,随机变量X的分布列为P(X=i)=,i=1,2,3,则有++=1,解可得a=3.故选A. 3.袋中装有5个红球、5个黑球.每次随机抽取1个球,若取得黑球则另换1个红球放回袋中,直到取到红球为止.若抽取的次数为ξ,则表示“放回3个红球”事件的是 (　　) A.ξ=4 B.ξ=5 C.ξ=6 D.ξ≤5 解析:选A　依题意“放回3个红球”表示前3次摸到黑球,第4次摸到红球,故ξ=4. 4.公园的某个位置摆放了10盆牡丹花,编号分别为0,1,2,3,…,9,若从中任取1盆,则编号“大于5”的概率是 (　　) A. B. C. D. 解析:选B　设任取1盆的编号为随机变量X,则X的可能取值为0,1,2,…,9,且P(X=0)=P(X=1)=P(X=2)=…=P(X=9)=,∴P(X>5)=P(X=6)+P(X=7)+P(X=8)+P(X=9)==.故选B. 5.一袋中装有5个球,编号为1,2,3,4,5,在袋中同时取出3个球,以ξ表示取出的三个球中的最小号码,则随机变量ξ的分布列为 (　　) A. ξ 1 2 3 P B. ξ 1 2 3 4 P C. ξ 1 2 3 P D. ξ 1 2 3 P 解析:选C　随机变量ξ的可能取值为1,2,3. P(ξ=1)==,P(ξ=2)==, P(ξ=3)==,故选C. 6.一袋中装有4个白球和2个红球,现从袋中往外取球,每次任取一个不放回,取出后记下颜色,若为红色则停止抽取,若为白色则继续抽取,停止时从袋中抽取的白球的个数为随机变量X,则P(X≤2)= (　　) A. B. C. D. 解析:选A　令X=k表示前k个球为白球,则第(k+1)个球为红球,此时P(X=0)==,P(X=1)=×=,P(X=2)=××=,则P(X≤2)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=++=. 7.两对孪生兄弟共4人随机排成一排,设随机变量ξ表示孪生兄弟相邻的对数,则 (　　) A.P(ξ=0)>P(ξ=1) B.P(ξ=0)=P(ξ=1) C.P(ξ=0)<P(ξ=1) D.P(ξ=1)>P(ξ=2) 解析:选B　4人排成一排共有=24种不同的排法,ξ的所有可能取值为0,1,2,所以P(ξ=0)==,P(ξ=1)==,P(ξ=2)==,所以P(ξ=0)=P(ξ=1)=P(ξ=2). 8.(5分)随机变量X的分布列如下: X -1 0 1 P a b c 其中a,b,c满足a+c=2b,则P(|X|=1)=　　　　.  解析:因为a+c=2b,所以a+b+c=3b=1,b=,a+c=,所以P(|X|=1)=P(X=-1)+P(X=1)=a+c=. 答案: 9.(5分)一用户在打电话时忘记了号码的最后三个数字,只记得最后三个数字两两不同,且都大于5,于是他随机拨最后三个数字(都大于5且两两不同),设他拨到所要号码的次数为ξ,则随机变量ξ的可能取值共有　　　　种.  解析:因为后三位数字两两不同,且都大于5,所以只能是6,7,8,9中的三个数字,所以有=24种. 答案:24 10.(5分)已知离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 2 P 1-2q 则P(∈Z)=　　　　　　.  解析:由分布列的性质得1-2q≥0,≥0,且+1-2q+=1,解得q=, ∴P(∈Z)=P(X=0)+P(X=1)=+1-2×=. 答案: 11.(5分)设随机变量X所有可能的取值为1,2,…,n,且P(X=i)=pi>0(i=1,2,…,n),pi=1,定义M(X)=pipn+1-i.若p1pn=,则当n=3时,M(X)的最大值为　　　　.  解析:由题意知,当n=3时,M(X)=pip4-i=p1p3+p2p2+p3p1=2p1p3+=+[1-(p1+p3)]2.∵p1>0,p3>0,p1p3=,∴p1+p3≥2=,当且仅当p1=p3=时,等号成立.∴≤p1+p3<1,0<1-(p1+p3)≤,∴M(X)≤+=,即M(X)的最大值为. 答案: 12.(10分)已知离散型随机变量X的分布列为 X -2 -1 0 1 2 P 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3 (1)求3X+2的分布列;(3分) (2)求|X-1|的分布列;(3分) (3)求X2的分布列.(4分) 解:(1)由题意,知3X+2=-4,-1,2,5,8, 则3X+2的分布列为 3X+2 -4 -1 2 5 8 P 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3 (2)由题意,知|X-1|=0,1,2,3, 则|X-1|的分布列为 |X-1| 0 1 2 3 P 0.3 0.4 0.1 0.2 (3)由题意,知X2=0,1,4, 则X2的分布列为 X2 0 1 4 P 0.1 0.4 0.5 13.(10分)从装有除颜色外完全相同的6个白球,4个黑球和2个黄球的箱中随机取出两个球,规定每取出1个黑球记2分,而取出1个白球记-1分,取出黄球记零分. (1)以X表示所得分数,求X的分布列;(7分) (2)求得分X>0的概率.(3分) 解:(1)依题意,当取到2个白球时,随机变量X=-2; 当取到1个白球,1个黄球时,随机变量X=-1; 当取到2个黄球时,随机变量X=0; 当取到1个白球,1个黑球时,随机变量X=1; 当取到1个黑球,1个黄球时,随机变量X=2; 当取到2个黑球时,随机变量X=4, 所以随机变量X的可能取值为-2,-1,0,1,2,4, 则P(X=-2)==,P(X=-1)==,P(X=0)==,P(X=1)==, P(X=2)==,P(X=4)==, 所以X的分布列为 X -2 -1 0 1 2 4 P (2)由(1)得P(X>0)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=4)=++=, 所以得分X>0的概率为. 14.(15分)小明参加一个抽纸牌游戏,规则如下:有九张质地完全相同的纸牌,其中有1张大王牌,其余四种花色为红桃、黑桃、方块、梅花,各2张.逐次从9张牌中不放回地随机抽取一张纸牌,每次抽牌后,都往牌堆中加入一张新的大王牌. (1)求小明在前两次抽牌中只抽到一张大王牌的情况下,第三次抽牌抽到红桃牌的概率.(7分) (2)抽牌过程中,若抽到大王牌,则宣告游戏结束:若累计抽到两张花色相同的纸牌,也宣告游戏结束;否则游戏继续.用X表示小明在游戏中一共抽到的纸牌数,求X的分布列.(8分) 解:(1)设事件A表示“前两次抽牌中只抽到一张大王牌”,设事件B表示“第三次抽到红桃牌”. 则P(A)=×+×=, P(AB)=××+××+××+××=.所以小明在前两次抽牌中只抽到一张大王牌的情况下,第三次抽牌抽到红桃牌的概率为P(B|A)== . (2)X的所有可能取值为1,2,3,4,5,则P(X=1)=,P(X=2)=×=,P(X=3)=××=,P(X=4)=×××=,P(X=5)=×××=, 所以X的分布列为 X 1 2 3 4 5 P 学科网（北京）股份有限公司 $