2.4.1 空间直线的方向向量和平面的法向量 课时跟踪检测-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册配套练习word（湘教版）

2.4.1　空间直线的方向向量和平面的法向量 [课时跟踪检测]　　　　 　　　　　 　　　　　 1.若A(-1,0,1),B(1,4,7)在直线l上,则直线l的一个方向向量为 (　　) A.(1,2,3) B.(1,3,2) C.(2,1,3) D.(3,2,1) 解析:选A　因为=(2,4,6),又(1,2,3)=(2,4,6),所以(1,2,3)是直线l的一个方向向量. 2.若n=(2,-3,1)是平面α的一个法向量,则下列向量中能作为平面α的一个法向量的是 (　　) A.(0,-3,1) B.(2,0,1) C.(-2,-3,1) D.(-2,3,-1) 解析:选D　由题意可得,要求平面α的一个法向量,即求与n共线的一个向量.易知(2,-3,1)=-(-2,3,-1). 3.平面α的一个法向量n=(1,2,3),P(1,1,1),P∈α,Q∈α,则点Q的坐标可以是 (　　) A.(-1,-1,-1) B.(4,2,-1) C.(3,2,1) D.(2,2,0) 解析:选D　设点Q(x,y,z)在平面α上,因为P(1,1,1),所以=(x-1,y-1,z-1),由·n=(x-1)×1+(y-1)×2+(z-1)×3=0,得x+2y+3z=6,依次验证选项,只有D满足. 4.在空间直角坐标系内,平面α经过三点A(1,0,2),B(0,1,0),C(-2,1,1),向量n=(1,λ,μ)是平面α的一个法向量,则λ+μ= (　　) A.-7 B.-5 C.5 D.7 解析:选D　因为=(-1,1,-2),=(-2,0,1),所以n·=-1+λ-2μ=0,n·=-2+μ=0,可得μ=2,λ=5,所以λ+μ=7. 5.已知点A(4,1,3),B(2,-5,1),C为线段AB上一点且=,则点C的坐标为 (　　) A. B. C. D. 解析:选C　设C(x,y,z),∵C为线段AB上一点且=,∴=, 即(x-4,y-1,z-3)=(-2,-6,-2), ∴∴x=,y=-1,z=.因此点C的坐标为.故选C. 6.已知平面α={P|n·=0},其中点P0(1,2,3),法向量n=(1,1,1),则下列各点中不在平面α内的是 (　　) A.(3,2,1) B.(-2,5,4) C.(-3,5,4) D.(2,-4,8) 解析:选B　对于A,=(2,0,-2),n·=1×2+1×0+1×(-2)=0;对于B,=(-3,3,1),n·=1×(-3)+1×3+1×1=1≠0;对于C,=(-4,3,1),n·=1×(-4)+1×3+1×1=0;对于D,=(1,-6,5),n·=1×1+1×(-6)+1×5=0,故选B. 7.《九章算术》中,将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.在鳖臑A-BCD中,AB⊥平面BCD,∠BDC=90°,BD=AB=CD.若建立如图所示的空间直角坐标系,则平面ACD的一个法向量为 (　　) A.(0,1,0) B.(0,1,1) C.(1,1,1) D.(1,1,0) 解析:选B　根据题意,设BD=AB=CD=1, 则D(0,1,0),C(1,1,0),A(0,0,1), 则=(1,0,0),=(0,1,-1), 设平面ACD的一个法向量为m=(x,y,z), 则有 令y=1,可得z=1,则m=(0,1,1). 8.如图,四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形,O为底面中心,A1O⊥平面ABCD,AB=AA1=.平面OCB1的一个法向量n= (　　) A.(0,1,1) B.(1,-1,1) C.(1,0,-1) D.(-1,-1,1) 解析:选C　由题意建立如图所示的空间直角坐标系,∵四边形ABCD是正方形,且AB=,∴AO=OC=1,∴OA1=1,∴A(0,-1,0),B(1,0,0),C(0,1,0),A1(0,0,1),∴=(1,1,0),=(0,1,0),又==(1,1,0),∴B1(1,1,1),=(1,1,1).设平面OCB1的一个法向量为n=(x,y,z),则得y=0,x=-z,结合选项,可得n=(1,0,-1),故选C. 9.[多选]已知空间中三点A(0,1,0),B(2,2,0),C(-1,3,1),则下列结论正确的是 (　　) A.⊥ B.与共线的单位向量是(1,1,0) C.与夹角的余弦值是- D.平面ABC的一个法向量是(1,-2,5) 解析:选ACD　因为A(0,1,0),B(2,2,0),C(-1,3,1),所以=(2,1,0),=(-1,2,1),=(-3,1,1),·=-2+2+0=0,故⊥,A正确;(1,1,0)不是单位向量,且(1,1,0)与=(2,1,0)不共线,B错误;cos<,>===-,C正确;设m=(1,-2,5),则m·=2-2+0=0,m·=-1-4+5=0,所以m⊥,m⊥,又AB∩AC=A,AB,AC⊂平面ABC,所以向量(1,-2,5)是平面ABC的一个法向量,D正确. 10.(5分)在空间直角坐标系O-xyz中,已知A(1,1,t),B(2,2,4),若平面ABC的一个法向量为m=(3,1,-1),则直线AB的一个方向向量为　　　　　　　.  解析:∵A(1,1,t),B(2,2,4),∴=(1,1,4-t).又平面ABC的一个法向量为m=(3,1,-1),∴·m=3+1-4+t=0,解得t=0,∴直线AB的一个方向向量为=(1,1,4). 答案:(1,1,4) 11.(5分)棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1在空间直角坐标系中的位置如图所示,则直线DB1的一个方向向量为　　　　.  解析:由题意知D(0,0,0),B1(1,1,1),所以=(1,1,1),即直线DB1的一个方向向量为(1,1,1). 答案:(1,1,1)(答案不唯一) 12.(5分)已知空间直角坐标系O-xyz中的点A(1,1,1),平面α过点A并且与直线OA垂直,动点P(x,y,z)是平面α内的任意一点,则直线OA的一个方向向量为　　　　　,点P的坐标满足的条件为　　　　　　　.  解析:直线OA的一个方向向量为=(1,1,1).由题意知OA⊥α,因为AP⊂α,所以OA⊥AP,=(x-1,y-1,z-1),则·=0,即x-1+y-1+z-1=0,所以x+y+z=3. 答案:(1,1,1)(答案不唯一)　x+y+z=3 13.(10分)在△ABC中,A(1,-1,2),B(3,3,1),C(3,1,3),M(x,y,z)是平面ABC内任意一点. (1)求平面ABC的一个法向量;(5分) (2)求x,y,z满足的关系式.(5分) 解:(1)设平面ABC的一个法向量n=(a,b,c). ∵=(2,4,-1),=(2,2,1), ∴∴ 令b=2,则a=-3,c=2.∴平面ABC的一个法向量为n=(-3,2,2)(答案不唯一). (2)由(1)知n=(-3,2,2)为平面ABC的一个法向量,又点M(x,y,z)是平面ABC内任意一点,∴⊥n,∵=(x-1,y+1,z-2), ∴-3(x-1)+2(y+1)+2(z-2)=0, ∴3x-2y-2z-1=0. 故x,y,z满足的关系式为3x-2y-2z-1=0. 14.(10分)已知点A(2,4,0),B(1,3,3),如图,以的方向为正向,在直线AB上建立一条数轴,P,Q为轴上的两点,且分别满足条件: (1)AP∶PB=1∶2; (2)AQ∶QB=2∶1. 求点P和点Q的坐标. 解:由(1)AP∶PB=1∶2,得=2,即-=2(-),=+. 设点P坐标为(x,y,z),则上式换用坐标表示, 得(x,y,z)=(2,4,0)+(1,3,3), 即x=+=,y=+=, z=0+1=1.因此,P点的坐标是. 因为(2)AQ∶QB=2∶1,所以=-2,-=-2(-),=-+2.设点Q的坐标为(x',y',z'),则上式换用坐标表示,得(x',y',z')=-(2,4,0)+2(1,3,3)=(0,2,6),即x'=0,y'=2,z'=6. 因此,Q点的坐标是(0,2,6). 15.(15分)如图,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,底面ABCD为正方形且PD=AD=2,E,F分别是PC,PB的中点. (1)试以F为起点作直线DE的方向向量;(5分) (2)若棱PC上存在一点N,且AN⊥PC,求的值.(10分) 解:(1)如图,连接EF, 因为E,F分别是PC,PB的中点,所以EF􀱀BC. 又BC􀱀AD, 所以EF􀱀AD. 取AD的中点M,连接MF,所以EF􀱀DM, 所以四边形DEFM是平行四边形, 所以MF∥DE,即是直线DE的一个方向向量. (2)以D为原点建立空间直角坐标系,如图所示, 则D(0,0,0),A(2,0,0), B(2,2,0),P(0,0,2),C(0,2,0), 所以=(0,2,-2),=(0,0,2),=(-2,0,0). 设N(x,y,z),因为点N在CP上, 所以存在实数t,使得=t(0≤t≤1), 则=+t=(0,0,2)+t(0,2,-2)=(0,2t,2-2t), 所以=+=(-2,0,0)+(0,2t,2-2t)=(-2,2t,2-2t). 又AN⊥PC,所以·=4t-2(2-2t)=0, 解得t=,所以=. 学科网（北京）股份有限公司 $