课时作业(十六)空间直线的方向向量和平面的法向量-2023-2024学年高二下学期数学湘教版（2019）选择性选修第二册

课时作业(十六)　空间直线的方向向量和平面的法向量 练 基 础 1.若A(0，1，2)，B(2，5，8)在直线l上，则直线l的一个方向向量为(　　) A．(3，2，1) B．(1，3，2) C．(2，1，3) D．(1，2，3) 2．已知平面α上的两个向量a＝(2，3，1)，b＝(5，6，4)，则平面α的一个法向量为(　　) A．(1，－1，1) B．(2，－1，1) C．(－2，1，1) D．(－1，1，－1) 3．已知平面α经过点A(1，1，1)和B(－1，1，z)，n＝(1，0，－1)是平面α的法向量，则实数z＝________． 4．已知A(1，1，1)，B(0，2，0)，C(2，3，1). (1)写出直线BC的一个方向向量； (2)写出平面ABC的一个法向量． 提 能 力 5.已知平面α内的两个向量a＝(1，1，1)，b＝(0，2，－1)，且c＝ma＋nb＋(4，－4，1).若c为平面α的法向量，则m，n的值分别为(　　) A．－1，2 B．1，－2 C．1，2 D．－1，－2 6. (多选)在如图所示的空间直角坐标系中，ABCD ­ A1B1C1D1是棱长为1的正方体，给出下列结论中，正确的是(　　) A．直线BD1的一个方向向量为(－2，2，2) B．直线BD1的一个方向向量为(2，2，2) C．平面B1CD1的一个法向量为(1，1，1) D．平面B1CD的一个法向量为(1，1，1) 7．已知向量m＝(2，1，0)与n＝(a2，a，b)是平面α的两个法向量，则a＋b＝________． 8. 如图，在棱长为1的正方体ABCD ­ A1B1C1D1中，E，F分别是DD1，DB的中点，G在棱CD上，CG＝CD，H是C1G的中点，建立适当的空间直角坐标系，求线段EF，FH所在直线的一个方向向量． 9. 如图所示，在四棱锥P ­ ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，点E在线段PC上，PC⊥平面BDE，设PA＝1，AD＝2.求平面BPC的法向量. 培 优 生 10.已知点A(2，－1，2)在平面α内，n＝(3，1，2)是平面α的一个法向量，则下列各点在平面α内的是(　　) A．(1，－1，1) B．(1，3，) C．(1，－3，) D．(－1，3，－) 11．已知直线l1经过点P1(－1，2，3)，平行于向量s1＝(1，－1，2)，直线l2经过点P2(1，－2，0)，平行于向量s2＝(0，1，1)，求与两直线l1，l2都平行的平面α的一个法向量的坐标． 课时作业(十六)　空间直线的方向向量和平面的法向量 1．解析：∵A(0，1，2)，B(2，5，8)在直线l上， ∴直线l的一个方向向量＝(2，4，6)， 又∵(1，2，3)＝(2，4，6)，∴(1，2，3)是直线l的一个方向向量． 答案：D 2．解析：显然a与b不平行， 设平面α的法向量为n＝(x，y，z)， 则， ∴， 即， 分别验证各选项可知，只有选项C符合． 答案：C 3．解析：＝(－2，0，z－1)， 因为n＝(1，0，－1)是平面α的法向量， 所以·n＝0， 即－2－(z－1)＝0，解得z＝－1. 答案：－1 4．解析：(1)因为B(0，2，0)，C(2，3，1)，所以＝(2，1，1)， 所以直线BC的一个方向向量为＝(2，1，1). (2)因为A(1，1，1)，B(0，2，0)，C(2，3，1)， 所以＝(1，2，0)，＝(2，1，1)， 设平面ABC的一个法向量为n＝(x，y，z)， 则n·＝0，n·＝0， 即， 令y＝－1，则x＝2，z＝－3，所以n＝(2，－1，－3)， 所以平面ABC的一个法向量为n＝(2，－1，－3). 5．解析：c＝ma＋nb＋(4，－4，1)＝(m，m，m)＋(0，2n，－n)＋(4，－4，1)＝(m＋4，m＋2n－4，m－n＋1). 由c为平面α的法向量，得， 即，解得. 答案：A 6．解析：由题意，B(1，0，0)，B1(1，0，1)，C(1，1，0)，D(0，1，0)，D1(0，1，1)， ∵＝(－1，1，1)，∴向量(－2，2，2)为直线BD1的一个方向向量，故A正确，B不正确； 设平面B1CD1的法向量为n＝(x，y，z)， 则， 由＝(0，－1，1)，＝(－1，0，0)得， 令x＝1得n＝(1，1，1)，则C正确； 设平面B1CD的法向量为m＝(a，b，c)，则， 由＝(0，－1，1)，＝(－1，0，0)得， 令b＝1得m＝(0，1，1)，则D不正确． 答案：AC 7．解析：由题意知：n＝λm(λ≠0)， ∴，解得(舍)或， ∴a＋b＝2. 答案：2 8．解析： 以D为原点，以DA，DC，DD1所在的直线分别为x，y，z轴，建立空间直角