课时作业(十五)空间向量运算的坐标表示-2023-2024学年高二下学期数学湘教版（2019）选择性选修第二册

课时作业(十五)　空间向量运算的坐标表示 练 基 础 1.若向量a＝(1，－1，2)，b＝(2，1，－3)，则|2a＋b|＝(　　) A． B．3 C． D．3 2．(多选)已知向量a＝(1，－2，－2)，b＝(6，－3，2)，则下列结论正确的是(　　) A．a＋b＝(7，－5，0) B．a－b＝(5，－1，4) C．a·b＝8 D．|a|＝ 3．在空间直角坐标系中，已知A(－1，2，－3)，B(2，－4，6)，若＝2，则C点坐标为________． 4．在空间直角坐标系中，已知△ABC的顶点分别为A(－1，2，3)，B(2，3，－1)，C(－3，1，)，求证：△ABC是直角三角形． 提 能 力 5.已知两个向量a＝(1，2，1)，b＝(2，m，2)，若a⊥b，则m的值为(　　) A．－4 B．－2 C．2 D．8 6．已知向量a＝(1，0，m)，b＝(2，0，－2)，若a∥b，则|a|＝(　　) A．1 B． C． D．2 7．已知向量a＝(5，3，1)，b＝(－2，t，－)，若a与b的夹角为钝角，则实数t的取值范围为________． 8．在空间直角坐标系O­xyz中，O为原点，已知点A(2，1，0)，B(3，2，2)，C(－1，1，4)，设向量a＝，b＝. (1)求a与b夹角的余弦值； (2)若a与a－kb互相垂直，求实数k的值． 9．已知四边形ABCD是空间直角坐标系O­xyz中的一个平行四边形，且A(0，1，2)，B(－2，0，5)，C(1，－2，4). (1)求点D的坐标； (2)求平行四边形ABCD的面积S. 培 优 生 10. 如图，在直三棱柱ABC ­ A′B′C′中，AB＝BC＝BB′＝2，AB⊥BC，D为AB的中点，点E在线段C′D上，点F在线段BB′上，则线段EF长的最小值为(　　) A． B． C．1 D． 11. 如图所示，在四棱锥P ­ ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB＝，BC＝1，PA＝2，E为PD的中点． (1)求AC与PB所成角的余弦值； (2)在侧面PAB内找一点N，使NE⊥平面PAC，求N点的坐标． 课时作业(十五)　空间向量运算的坐标表示 1．解析：由于向量a＝(1，－1，2)，b＝(2，1，－3)，所以2a＋b＝(4，－1，1).故|2a＋b|＝＝＝3. 答案：D 2．解析：因为a＝(1，－2，－2)，b＝(6，－3，2)， 所以a＋b＝(7，－5，0)，故A正确； a－b＝(－5，1，－4)，故B不正确； a·b＝1×6＋2×3－2×2＝8，故C正确； |a|＝＝3，故D不正确． 答案：AC 3．解析：设C点坐标为(x，y，z)，则＝(x＋1，y－2，z＋3)，＝(2－x，－4－y，6－z)，由＝2， 得：，解得：， 故C点坐标为(1，－2，3). 答案：(1，－2，3) 4．证明：∵在空间直角坐标系中， △ABC的顶点分别为A(－1，2，3)，B(2，3，－1)，C(－3，1，)， ∴＝(3，1，－4)，＝(－2，－1，－)，＝(－5，－2，)， ∴·＝－6－1＋7＝0， ∴AB⊥AC，∴△ABC是直角三角形． 5．解析：因为a⊥b，所以a·b＝0，即2＋2m＋2＝0，解得m＝－2. 答案：B 6．解析：由a∥b，则a＝λb，即1＝2λ，m＝－2λ，则λ＝，m＝－2×＝－1，所以a＝(1，0，－1)， 则|a|＝＝. 答案：B 7．解析：由已知，得a·b＝5×(－2)＋3t＋1×(－)＝3t－. 因为a与b的夹角为钝角， 所以a·b<0，即3t－<0，所以t<. 若a与b的夹角为180°，则存在λ<0，使a＝λb(λ<0)， 即(5，3，1)＝λ(－2，t，－)， 所以 所以λ＝－，t＝－. 故实数t的取值范围是(－∞，－)∪(－，). 答案：(－∞，－)∪(－，) 8．解析：(1)由题，a＝(1，1，2)，b＝(－3，0，4)， 故a·b＝1×(－3)＋1×0＋2×4＝5， |a|＝，|b|＝5， 所以cos 〈a，b〉＝＝， 故a与b夹角余弦值为. (2)由a与a－kb互相垂直知，a·(a－kb)＝a2－ka·b＝0， |a|2＝6，a·b＝5，即k＝＝＝. 9．解析：(1)由题设，＝，令D(x，y，z)，则(－2，－1，3)＝(1－x，－2－y，4－z)， ∴，可得，故D(3，－1，1). (2)由(1)知，＝(3，－2，－1)，＝(－2，－1，3)， 则cos ∠DAB＝＝－， 又∠DAB∈(0，π)，则sin ∠DAB＝， ∴平行四边形ABCD的面积S＝2××||·||sin ∠DAB＝7. 10．解析： 依题意，BA，BC，B