1.3.3 三次函数的性质单调区间和极值 课时跟踪检测-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册配套练习word（湘教版）

1.3.3　三次函数的性质:单调区间和极值 [课时跟踪检测] 1.关于函数f(x)=x3+x,下列说法正确的是 (　　) A.没有最小值,有最大值 B.有最小值,没有最大值 C.有最小值,有最大值 D.没有最小值,也没有最大值 解析:选D　依题意f'(x)=3x2+1>0,所以f(x)在R上单调递增,没有最小值也没有最大值. 2.函数y=x-sin x,x∈的最大值是 (　　) A.π-1 B.-1 C.π D.π+1 解析:选C　因为y'=1-cos x,当x∈时,y'>0,则函数在区间内单调递增,所以y的最大值为ymax=π-sin π=π. 3.已知函数f(x),g(x)均为[a,b]上的可导函数,在[a,b]上连续且f'(x)<g'(x),则f(x)-g(x)的最大值为 (　　) A.f(a)-g(a) B.f(b)-g(b) C.f(a)-g(b) D.f(b)-g(a) 解析:选A　令F(x)=f(x)-g(x),∴F'(x)=f'(x)-g'(x)<0,即F'(x)<0,∴F(x)在[a,b]内单调递减,∴F(x)max=f(a)-g(a). 4.已知函数f(x)=(x+1)2+cos(x+1)+a的最小值是4,则a= (　　) A.3 B.4 C.5 D.6 解析:选A　由题知f'(x)=2(x+1)-sin(x+1),f″(x)=2-cos(x+1)>0,所以f'(x)单调递增,又f'(-1)=0,所以当x<-1时,f'(x)<0;当x>-1时,f'(x)>0.故x=-1为f(x)的最小值点,即f(-1)=1+a=4,解得a=3,故选A. 5.已知f(x)=x3-3x2+2,若f(x)在(2a,a+3)上存在最小值,则a的取值范围是 (　　) A. B. C.[-1,2) D.[-1,1) 解析:选A　由题意得f'(x)=3x2-6x=3x(x-2),易得x=0和x=2为f(x)的极值点,f(x)的单调递增区间为(-∞,0),(2,+∞),单调递减区间为(0,2).又f(0)=2,f(2)=-2,所以令x3-3x2+2=-2,则(x+1)(x-2)2=0,解得x=-1或x=2.若函数f(x)在(2a,a+3)上存在最小值,则解得-≤a<1,故选A. 6.已知a>0,函数f(x)=ax-ln x的最小值为(a-1)ln 2+1,则a= (　　) A.1或2 B.2 C.1或3 D.2或3 解析:选A　由f(x)=ax-ln x(x>0),得f'(x)=a-=(a>0,x>0),当0<x<时,f'(x)<0,当x>时,f'(x)>0,所以f(x)在上单调递减,在上单调递增,故f(x)min=f=1+ln a=(a-1)ln 2+1,得ln a=(a-1)ln 2,解得a=1或a=2.故选A. 7.[多选]已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,则下列结论正确的是 (　　) A.若f'(x0)=0,则x0是f(x)的极值点 B.∃x0∈R,使得f(x0)=0 C.若x0是f(x)的极小值点,则f(x)在区间(-∞,x0)上单调递减 D.函数y=f(x)的图象是中心对称图形 解析:选BD　因为f(x)=x3+ax2+bx+c,所以f'(x)=3x2+2ax+b,当Δ=4a2-12b=0时,f'(x)≥0,f'=0,则f(x)在R上单调递增,x0=-不是极值点,故A错误;由选项A的分析知,函数f(x)的值域为R,所以∃x0∈R,使得f(x0)=0,故B正确;由选项A的分析知,当Δ>0时,设f'(x)的零点为x1,x2,则f(x)在(-∞,x1)上单调递增,在(x1,x2)上单调递减,所以若x0为f(x)的极小值点,则f(x)在(-∞,x0)上先递增再递减,故C错误;f+f(x)=+a+b+c+x3+ax2+bx+c=a3-+2c,而f=+a+b+c=a3-+c,则f+f(x)=2f,所以点为y=f(x)的对称中心,即函数y=f(x)的图象是中心对称图形,故D正确.故选BD. 8.[多选]设函数f(x)=x3-2x2+2x,则下列结论正确的是 (　　) A.存在实数x0使得f(x0)=f'(x0) B.方程f(x)=3有唯一正实数解 C.方程f(x)=-1有唯一负实数解 D.f(x)=1有负实数解 解析:选ABC　因为f(x)=x3-2x2+2x,所以f'(x)=x2-4x+2.由x3-2x2+2x=x2-4x+2,得x3-7x2+12x-4=0,设h(x)=x3-7x2+12x-4,因为函数定义域为(-∞,+∞),且h(0)=-4<0,h(7)=80>0,可知方程h(x)=0一定有实数根,故A正确;由f'(x)>0,得(x-2)·(3x-2)>0,即x<或x>2.所以函数f(x)在,(2,+∞)上单调递增,在内单调递减.且f=为极大值,f(2)=0为极小值.作出函数草图如图, 观察图象可知,方程f(x)=3有唯一正实数解,f(x)=-1有唯一负实数解,故B、C正确;又f(0)=0,结合函数的单调性,当 x<0时,f(x)<0,所以f(x)=1无负实数解,故D错误. 9.(5分)已知函数f(x)=x3-ax2+b,若f(x)在区间[0,1]内单调递增且最大值为0,写出一组符合要求的a,b,则a=　　　 　,b=　　　　.  解析:f'(x)=x2-ax,令f'(x)=0,解得x=0或x=a,若f(x)在区间[0,1]上单调递增,则a≤0,最大值为f(1)=-a+b=0,则b=a-,不妨取a=0,则b=-. 答案:0　-(答案不唯一) 10.(5分)函数f(x)=2x3-6x2+m(m为常数)在[-2,2]上有最大值3,那么m=　　　　.  解析:由函数f(x)=2x3-6x2+m,可得f'(x)=6x2-12x=6x(x-2),当x∈[-2,0)时,f'(x)>0,f(x)单调递增;当x∈(0,2]时,f'(x)≤0,f(x)单调递减.所以当x=0时,函数f(x)取得最大值,最大值为f(0)=m,因为函数f(x)在区间[-2,2]上的最大值为3,所以m=3. 答案:3 11.(5分)已知函数f(x)=ln x-x+k在[1,e]上的最大值为2,则f(k)=　　　　.  解析:因为f(x)=ln x-x+k,所以f'(x)=-1=,又x∈[1,e],所以f'(x)≤0在x∈[1,e]上恒成立,即f(x)在区间[1,e]内单调递减,所以f(1)=ln 1-1+k=2,解得k=3,故f(x)=ln x-x+3,所以f(k)=f(3)=ln 3. 答案:ln 3 12.(5分)若函数f(x)=xex在区间(-∞,a]上既存在最大值,也存在最小值,则实数a的取值范围是　　　　　.  解析: 因为函数f(x)=xex,则f'(x)=ex+xex=(1+x)ex,当x>-1时,f'(x)>0,函数f(x)=xex单调递增;当x<-1时,f'(x)<0,函数f(x)=xex单调递减.所以函数f(x)=xex在(-∞,-1)上单调递减,在(-1,+∞)上单调递增,又因为函数f(x)=xex在区间(-∞,a]上既存在最大值,也存在最小值,结合图象可知a≥0. 答案:[0,+∞) 13.(15分)已知函数f(x)=x3-x2-2x+1. (1)求函数f(x)的单调区间;(5分) (2)求函数f(x)的极值;(2分) (3)若函数f(x)在[a,+∞)上的最小值是-,求实数a的取值范围.(8分) 解:(1)由f(x)=x3-x2-2x+1,x∈R,得f'(x)= x2-x-2,令f'(x)= x2-x-2>0, 得x<-1或x>2, 令f'(x)= x2-x-2<0,得-1<x<2, 故f(x)的单调递增区间为(-∞,-1),(2,+∞),单调递减区间为(-1,2). (2)由(1)可知f(x)的极大值为f(-1)=,极小值为f(2)=-. (3)函数f(x)在[a,+∞)上的最小值是-, 故f(a)≥f(2)=-,由f(x)=f(2)=-可知x=2是x3-x2-2x+1=-的一个解, 故(x-2)2(2x+5)=0,解得x=-或x=2, 由于f(x)的单调递增区间为(-∞,-1), (2,+∞),单调递减区间为(-1,2),故要使得函数f(x)在[a,+∞)上的最小值是-,只需-≤a≤2,即实数a的取值范围为. 14.(15分)已知函数f(x)=x(x-2)(x-a). (1)若函数f(x)的图象关于点(2,0)对称,求a的值;(4分) (2)若x=a是f(x)的极大值点,求a的值;(4分) (3)设x1,x2是f(x)的极值点,且满足f(x1)+f(x2)>0,求a的取值范围.(7分) 解:(1)由曲线f(x)的图象关于点(2,0)对称,得y=f(x+2)是奇函数, 因为f(x+2)=x(x+2)(x+2-a), 所以2-a=-2,解得a=4. (2)f'(x)=3x2-(4+2a)x+2a. 因为x=a是f(x)的极大值点,所以f'(a)=0,解得a=0或a=2.当a=2时,f'(x)=(3x-2)(x-2),所以当x∈时,f(x)单调递减,当x∈(2,+∞)时,f(x)单调递增, 因此x=2是f(x)的极小值点,舍去; 当a=0时,f'(x)=x(3x-4), 所以x∈(-∞,0)时,f(x)单调递增, 当x∈时,f(x)单调递减, 因此x=0是f(x)的极大值点.综上,可得a=0. (3)f'(x)=3x2-(4+2a)x+2a,Δ=4(a-1)2+12>0,因为x1,x2是f(x)的极值点,所以x1+x2=,x1x2=,f(x)=x(x-2)(x-a)=x3-(a+2)x2+2ax, f(x1)+f(x2)=-(a+2)+2ax1+-(a+2)+2ax2=(x1+x2)(-x1x2+)-(a+2)(+)+2a(x1+x2). 由+=(x1+x2)2-2x1x2=,代入上式化简可得f(x1)+f(x2)=. 由f(x1)+f(x2)>0可得(a+2)(a-1)(a-4)<0,解得a∈(-∞,-2)∪(1,4). 学科网（北京）股份有限公司 $