1.3.2 函数的极值与导数同步练习-2024-2025学年高二下学期数学湘教版（2019）选择性必修第二册

1.3.2　函数的极值与导数 A级 必备知识基础练 1.函数f(x)=4x3-ax2-2bx+2在x=1处有极大值-3,则a+b的值等于(　　) A.9 B.6 C.3 D.2 2.已知f(x)=,则下列说法正确的是(　　) A.f(x)在(-∞,+∞)上单调递增 B.f(x)在(-∞,1)上单调递减 C.f(x)有极大值,无极小值 D.f(x)有极小值,无极大值 3.下列函数存在极值的是(　　) A.f(x)= B.f(x)=x-ex C.f(x)=x3+x2+2x-3 D.f(x)=2x3 4.已知x=2是函数f(x)=2x3+ax2+36x-24的一个驻点,则该函数的一个单调递增区间是(　　) A.(2,3) B.(3,+∞) C.(2,+∞) D.(-∞,3) 5.如图是函数y=f(x)的导函数f'(x)的图象,则下面判断正确的是(　　) A.在区间(-2,1)上f(x)单调递增 B.在区间(1,3)上f(x)单调递减 C.当x=4时,f(x)取极大值 D.在区间(4,5)上f(x)单调递增 6.对任意的x∈R,函数f(x)=x3+ax2+7ax不存在极值点的充要条件是(　　) A.0≤a≤21 B.a=0或a=7 C.a<0或a>21 D.a=0或a=21 7.函数y=x3-2ax+a在(0,1)内有极小值,则实数a的取值范围是　　　　　.  8.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+4在x=1处取得极值. (1)求a,b的值; (2)求函数的另一个极值. B级 关键能力提升练 9.(多选题)[2024甘肃张掖高二期中]已知函数f(x)=ln x-ax2,a∈R,则下列结论中错误的有(　　) A.f(x)一定有极大值 B.当a>0时,f(x)有极小值 C.当a<0时,f(x)可能无零点 D.若f(x)在区间(0,1)上单调递增,则a≤ 10.若x=1是函数f(x)=(x2+ax-1)ex的一个极值点,则f(x)的极大值为(　　) A.-e B.e-1 C.e2 D.5e-2 11.若函数f(x)=x2-(a+2)x+aln x既有极大值又有极小值,则实数a的取值范围是(　　) A.(-∞,2)∪(2,+∞) B.(0,2)∪(2,+∞) C.(2,+∞) D.{2} 12.关于函数f(x)=sin x-xcos x,给出下列四个结论: ①f(x)是奇函数; ②0是f(x)的极值点; ③f(x)在区间(-)上有且仅有1个零点; ④f(x)的值域是R. 其中,所有正确结论的序号为　　　　　.  13.[2024甘肃高三月考]已知函数f(x)=(x+a)ln(x+1),a∈R. (1)当a=2时,求曲线f(x)在点(0,f(0))处的切线方程; (2)若函数f(x)-x在(0,+∞)上单调递增,求a的取值范围. C级 学科素养创新练 14.已知函数f(x)的导函数f'(x)=a(x+1)(x-a),若f(x)在x=a处取到极大值,则a的取值范围是　　　　　. 15.设f(x)=2x3+ax2+bx+1的导数为f'(x),若函数y=f'(x)的图象关于直线x=-对称,且f'(1)=0. (1)求实数a,b的值; (2)求函数f(x)的极值. 参考答案 1.B　由题意得f'(x)=12x2-2ax-2b,因为f(x)在x=1处有极大值-3,所以解得所以a+b=6.故选B. 2.C　由题意f'(x)=,当x<1时,f'(x)>0,f(x)单调递增,x>1时,f'(x)<0,f(x)单调递减,所以f(1)=是函数的极大值,函数无极小值.故选C. 3.B　A中f'(x)=-,令f'(x)=0,无解,所以A中的函数无极值;B中f'(x)=1-ex,令f'(x)=0,得x=0.当x<0时,f'(x)>0,当x>0时,f'(x)<0.所以y=f(x)在x=0处取得极大值,且极大值f(0)=-1;C中f'(x)=3x2+2x+2,Δ=-20<0.所以y=f(x)无极值;易知D也无极值.故选B. 4.B　因为x=2是函数f(x)=2x3+ax2+36x-24的一个驻点,所以f'(2)=0,即24+4a+36=0,解得a=-15,所以f'(x)=6x2-30x+36=6(x-2)(x-3),由f'(x)>0,得x<2或x>3. 5.D　 由导函数f'(x)的图象可得,当x∈(-2,xA)时,f'(x)<0,函数f(x)单调递减,所以A错误; 当x∈(1,2)时,f'(x)>0,函数f(x)单调递增,所以B错误; 当x∈(3,4)时,f'(x)<0,函数f(x)单调递减,当x∈(4,5)时,f'(x)>0,函数f(x)单调递增,所以x=4是函数f(x)的极小值点,f(4)为极小值,所以C错误; 当x∈(4,5)时,f'(x)>0,函数f(x)单调递增,所以D正确.故选D. 6.A　∵函数f(x)=x3+ax2+7ax(x∈R),∴f'(x)=3x2+2ax+7a,∵函数f(x)=x3+ax2+7ax(x∈R)不存在极值点,且f'(x)的图象开口向上,∴f'(x)≥0对x∈R恒成立,∴Δ=4a2-84a≤0,解得0≤a≤21.故选A. 7.(0,)　令y'=3x2-2a=0,易知a>0,所以x=±.又函数在(0,1)内有极小值, 所以0<<1,解得0<a<. 8.解(1)因为f(x)=x3+ax2+bx+4, 所以f'(x)=3x2+2ax+b,依题意可得解得经检验满足题意. (2)由(1)知f(x)=x3-x2-2x+4,f'(x)=3x2-x-2=(3x+2)(x-1). 令f'(x)=0得x=-或x=1. 当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表: x (-∞,-) - (-,1) 1 (1,+∞) f'(x) + 0 - 0 + f(x) 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 所以函数的另一个极值在x=-处取得,是极大值,极大值为f(-)=. 9.ABC　由函数f(x)=ln x-ax2,可得f'(x)=-2ax=,x>0,若a≤0,则f'(x)>0恒成立,即f(x)在定义域上单调递增,无极值,故A错误; 若a>0,令f'(x)>0,解得0<x<; 令f'(x)<0,解得x>,所以f(x)在区间0,上单调递增,在区间,+∞上单调递减,当x=时,函数f(x)取得极大值,故B错误; 若a<0,由上知f(x)在定义域上单调递增,当x趋近于0时,f(x)趋近于-∞,当x>1时,f(x)>0,故∃x0∈(0,1)使得f(x0)=0,故C错误; 若f(x)在区间(0,1)上单调递增,当a≤0时,f'(x)>0恒成立,满足题意; 当a>0时,满足≥1,即0<a≤. 综上,a≤,故D正确.故选ABC. 10.D　函数f(x)=(x2+ax-1)ex的导数f'(x)=[x2+(a+2)x+a-1]ex, 由f'(1)=0,得a=-1,即f(x)=(x2-x-1)ex,则f'(x)=(x2+x-2)ex. 令f'(x)=(x2+x-2)ex≥0,得x≤-2或x≥1; 令f'(x)=(x2+x-2)ex<0,得-2<x<1. 故f(x)在区间(-∞,-2)上单调递增,在区间(-2,1)上单调递减,在区间(1,+∞)上单调递增,所以当x=-2时,f(x)取得极大值,当x=1时,f(x)取得极小值, 所以f(x)的极大值为f(-2)=5e-2.故选D. 11.B　因为f(x)=x2-(a+2)x+aln x既有极大值又有极小值,且f'(x)=2x-a-2+(x>0),所以f'(x)=0有两个不等的正实数解,所以>0,且≠1,解得a>0,且a≠2.故选B. 12.①③④　因为x∈R,且f(-x)=sin(-x)-(-x)·cos(-x)=-sin x+xcos x=-f(x),所以函数f(x)是奇函数,①正确.f'(x)=cos x-(cos x-xsin x)=xsin x,f'(0)=0,当x∈(-,0)时,f'(x)>0,所以f(x)在区间(-,0)上单调递增,当x∈(0,)时,f'(x)>0,所以f(x)在区间(0,)上单调递增,所以x=0不是f(x)的极值点,②不正确. 由以上分析知f(x)在区间(-)上单调递增,又f(0)=0,所以函数f(x)在区间(-)上有且仅有1个零点,③正确.函数f(x)在R上连续,当x=2kπ(k∈Z)时,f(2kπ)=sin(2kπ)-2kπcos(2kπ)=-2kπ, 所以f(x)的值域是R,④正确. 13.解(1)当a=2时,f(x)=(x+2)ln(x+1),f'(x)=ln(x+1)+,易知f(0)=0,f'(0)=2,所以f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y-0=2(x-0),即y=2x. (2)令g(x)=f(x)-x=(x+a)ln(x+1)-x. 因为g(x)在区间(0,+∞)上单调递增,则g'(x)=ln(x+1)+-1≥0,即g'(x)=ln(x+1)+≥0在区间(0,+∞)上恒成立,也即a-1≥-(x+1)ln(x+1)在区间(0,+∞)上恒成立,令h(x)=-(x+1)ln(x+1),x>0,则h'(x)=-ln(x+1)-1,显然h'(x)<0在区间(0,+∞)上恒成立,所以可知h(x)=-(x+1)ln(x+1)在区间(0,+∞)上单调递减,h(x)<0. 因此只需满足a-1≥0即可,解得a≥1. 综上,a的取值范围为[1,+∞). 14.(-1,0)　∵f'(x)=a(x+1)(x-a),若a<-1, 则f(x)在(-∞,a)上单调递减,在(a,-1)上单调递增,∴f(x)在x=a处取得极小值,与题意不符; 若-1<a<0,则f(x)在(-1,a)上单调递增,在(a,+∞)上单调递减, ∴f(x)在x=a处取得极大值,符合题意; 若a>0,则f(x)在(-1,a)上单调递减,在(a,+∞)上单调递增,∴f(x)在x=a处取得极小值,与题意不符. 综上,a的取值范围是(-1,0). 15.解(1)因为f(x)=2x3+ax2+bx+1, 所以f'(x)=6x2+2ax+b. 从而f'(x)=6+b-,即y=f'(x)的图象关于直线x=-对称,从而由题设条件知-=-,解得a=3. 又因为f'(1)=0,即6+2a+b=0,解得b=-12. 所以,实数a,b的值分别为3,-12. (2)由(1)知f(x)=2x3+3x2-12x+1,f'(x)=6x2+6x-12=6(x-1)(x+2). 令f'(x)=0,即6(x-1)(x+2)=0. 解得x1=-2,x2=1. 当x∈(-∞,-2)时,f'(x)>0,故f(x)在(-∞,-2)内单调递增;当x∈(-2,1)时,f'(x)<0,故f(x)在(-2,1)内单调递减;当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0,故f(x)在(1,+∞)内单调递增;从而函数f(x)在x1=-2处取得极大值f(-2)=21,在x2=1处取得极小值f(1)=-6. 学科网（北京）股份有限公司 $$