1.2.3 简单复合函数的求导 课时跟踪检测-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册配套练习word（湘教版）

1.2.3　简单复合函数的求导 [课时跟踪检测] 1.若函数f(x)=e2x+e2,则f'(1)= (　　) A.e2 B.2e2 C.3e2 D.4e2 解析:选B　f'(x)=e2x·2+0=2e2x,则f'(1)=2e2.故选B. 2.函数y=exsin 2x的导数为 (　　) A.y'=2excos 2x B.y'=ex(sin 2x+2cos 2x) C.y'=2ex(sin 2x+cos 2x) D.y'=ex(2sin 2x+cos 2x) 解析:选B　若y=sin 2x,根据复合函数的求导法则,y'=2cos 2x,根据两函数乘积的求导公式,y=exsin 2x的导数为y'=exsin 2x+ex·2cos 2x=ex(sin 2x+2cos 2x).故选B. 3.函数f(x)=e4x-x-2的图象在点(0,f(0))处的切线方程是 (　　) A.3x+y+1=0 B.3x+y-1=0 C.3x-y+1=0 D.3x-y-1=0 解析:选D　因为f'(x)=4e4x-1,所以k= f'(0)=3.因为f(0)=-1,所以切线方程为y+1=3x,即3x-y-1=0.故选D. 4.设f(x)=ln(3x-1),若f(x)在x0处的导数f'(x0)=6,则x0的值为 (　　) A.0 B. C.3 D.6 解析:选B　对于函数f(x)=ln(3x-1),由3x-1>0,可得x>,即函数f(x)的定义域为,f'(x)=,由f'(x0)==6,解得x0=,合乎题意.故选B. 5.某放射性同位素在衰变过程中,其含量N(单位:贝克)与时间t(单位:天)满足函数关系N(t)=N0,其中N0为t=0时该同位素的含量.已知t=24时,该同位素含量的瞬时变化率为-e-1,则N(120)= (　　) A.24贝克 B.24e-5贝克 C.1贝克 D.e-5贝克 解析:选B　由N(t)=N0,得N'(t)=-N0,因为t=24时,该同位素含量的瞬时变化率为-e-1,所以N'(24)=-N0=-e-1,解得N0=24,所以N(120)=24×=24e-5,故选B. 6.函数f(x)=xln(x+2)的图象在点(-1,0)处的切线与直线(a-2)x+y-2=0垂直,则实数a的值为 (　　) A.-2 B.-1 C.1 D.2 解析:选C　函数f(x)=xln(x+2),求导得f'(x)=ln(x+2)+,则f'(-1)=-1,即函数f(x)=xln(x+2)的图象在点(-1,0)处的切线斜率为-1,因为切线与直线(a-2)x+y-2=0垂直,有(2-a)×(-1)=-1,所以a=1.故选C. 7.已知f(x)及其导函数f'(x)定义域为R,满足:x∈R,f(x)=f(2-x)+2(x-1),g(x)=sin,g(x)定义域为,若g(x)在点(x0,g(x0))处的切线斜率与f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率相同,则x0= (　　) A. B. C. D. 解析:选B　由题知,f(x)及其导函数f'(x)定义域为R,满足:x∈R,f(x)=f(2-x)+2(x-1),所以f'(x)=-f'(2-x)+2,所以f'(1)=-f'(1)+2,即f'(1)=1.因为g(x)=sin,x∈,所以g'(x)=2cos.因为g(x)在点(x0,g(x0))处的切线斜率与f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率相同,所以g'(x0)=2cos=1,所以cos=,所以2x0+=±+2kπ,k∈Z,由x∈,解得x0=. 8.(5分)设函数y=ln,则y'=　　　　.  解析:对于函数y=ln ,可看作y=ln u,u=,v=1+x的复合函数,所以y'=××1=. 答案: 9.(5分)一个质点的位移s(单位:m)与时间t(单位:s)满足函数关系式s=3t3-(2t+1)2+1,则当t=1时,该质点的瞬时速度为　　　　m/s.  解析:因为s=3t3-(2t+1)2+1,所以s'=9t2-4(2t+1).当t=1时,s'|t=1=9-4×(2+1)=-3,故当t=1时,该质点的瞬时速度为-3 m/s. 答案:-3 10.(5分)与函数f(x)=e3x-1在点(0,0)处具有相同切线的一个函数的解析式是　　　　.  解析:f'(x)=3e3x,故f'(0)=3e0=3,则函数f(x)=e3x-1在点(0,0)处的切线为y=3x.不妨令g(x)=3ex-3,g(0)=3e0-3=0,故(0,0)在g(x)=3ex-3上,g'(x)=3ex,故g'(0)=3e0=3,则函数g(x)=3ex-3在点(0,0)处的切线为y=3x,满足要求. 答案:g(x)=3ex-3(答案不唯一) 11.(5分)如图,在墙角处有一根长3米的直木棒AB紧贴墙面,墙面与底面垂直.在t=0 s时,木棒的端点B以0.5 m/s的速度垂直墙面向右做匀速运动,端点A向下沿直线运动,则端点A在t=2 s这一时刻的瞬时速度为　　　　 m/s.  解析:设端点A运动的路程为s,则(3-s)2+=9,因为t=2 s,所以BB'=0.5×2=1 m<3 m,此时木棒处于倾斜状态,所以3-s>0,所以s=3-,则s'=.当t=2 s时,s'=,即端点A在t=2 s这一时刻的瞬时速度为 m/s. 答案: 12.(5分)函数y=[f(x)]g(x)在求导时可运用对数法:在解析式两边同时取对数得到ln y=g(x)ln f(x),然后两边同时求导得=g'(x)ln f(x)+g(x)·,于是y'=[f(x)]g(x),用此法探求y=(x+1)x(x>0)的导数为　　　　.  解析:两边取对数可得ln y=ln(x+1)x=xln(x+1),两边求导可得= ln(x+1)+,所以y'=y=(x+1)x. 答案:y'= (x+1)x 13.(10分)已知a∈R,函数f(x)=ex+ae-x的导函数是f'(x),且f'(x)是奇函数.若曲线y=f(x)的一条切线的斜率是,求切点的横坐标x0. 解:易得f'(x)=ex-ae-x,x∈R. ∵f'(x)为奇函数,∴f'(x)+ f'(-x)=0对任意x∈R恒成立,即(1-a)(ex+e-x)=0对任意x∈R恒成立,∴a=1, ∴f(x)=ex+e-x,f'(x)=ex-e-x. 设切点的横坐标为x0,由题可得-=,令=t(t>0),则t-=, 解得t=2或t=- (舍去), ∴=2,∴x0=ln 2. 14.(10分)某港口在一天24小时内潮水的高度近似满足关系s(t)=3sin(0≤t≤24),其中s的单位是m,t的单位是h,求函数在t=18时的导数,并解释它的实际意义. 解:函数y=s(t)=3sin是由函数f(z)=3sin z和函数z=φ(t)=t+复合而成的,其中z是中间变量.由导数公式表可得f'(z)=3cos z,φ'(t)=. 再由复合函数求导法则得y't=s'(t)=f'(z)φ'(t)=3cos z·=cos. 将t=18代入s'(t), 得s'(18)=cos=.它表示当t=18时,潮水的高度上升速度为 m/h. 15.(10分)设函数f(x)=aexln x+. (1)求导函数f'(x);(4分) (2)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=e(x-1)+2,求a,b的值.(6分) 解:(1)由f(x)=aexln x+, 得f'(x)=(aexln x)'+' =aexln x++. (2)由于切点既在曲线y=f(x)上, 又在切线y=e(x-1)+2上, 将x=1代入切线方程得y=2, 将x=1代入函数f(x)得f(1)=b, ∴b=2,将x=1代入导函数f'(x)中, 得f'(1)=ae=e,∴a=1.∴a=1,b=2. 学科网（北京）股份有限公司 $