1.2.1 几个基本函数的导数 课时跟踪检测-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册配套练习word（湘教版）

1.2.1　几个基本函数的导数 [课时跟踪检测] 1.[多选]下列运算错误的是 (　　) A.(2x)'=2xlog2e B.()'= C.(sin 1)'=cos 1 D.(log3x)'= 解析:选AC　对于A,(2x)'=2xln 2,A错误;对于B,()'=()'==,B正确;对于C,(sin 1)'=0,C错误;对于D,(log3x)'=,D正确. 2.已知函数f(x)=,则f'(-2) = (　　) A.4 B. C.-4 D.- 解析:选D　∵f'(x)=-,∴f'(-2)=-=-.故选D. 3.函数f(x)=x2在区间[0,2]上的平均变化率等于x=m时的瞬时变化率,则m= (　　) A. B.1 C.2 D. 解析:选B　函数f(x)=x2在区间[0,2]上的平均变化率等于==2.由f(x)=x2,得f'(x)=2x,所以f'(m)=2m.因为函数f(x)=x2在区间[0,2]上的平均变化率等于x=m时的瞬时变化率,所以2=2m,解得m=1. 4.设M,m分别是函数f(x)在[a,b]上的最大值和最小值,若M=m,则f'(x) (　　) A.等于0 B.小于0 C.等于1 D.不确定 解析:选A　因为M=m且M,m分别是函数f(x)的最大值和最小值,所以f(x)为常函数,故f'(x)=0. 5.函数f(x)=x3的斜率等于1的切线有 (　　) A.1条 B.2条 C.3条 D.不确定 解析:选B　∵f'(x)=3x2,设切点为(x0,),∴3=1,解得x0=±,∴在点和点处有斜率等于1的切线,∴满足题意的切线有2条.故选B. 6.已知函数f(x)及其导数f'(x),若存在x0使得f(x0)=f'(x0),则称x0是f(x)的一个“巧值点”.下列四个函数中,没有“巧值点”的是 (　　) A.f(x)=x2 B.f(x)=ln x C.f(x)=sin x D.f(x)=2x 解析: 选D　对于A,f'(x)=2x,由x2=2x解得x=0或x=2,所以f(x)存在“巧值点”;对于B,f'(x)=(x>0),作函数f(x)与f'(x)的图象,由图可知f(x)存在“巧值点”;对于C,f'(x)=cos x,由sin x=cos x得tan x=1,解得x=+kπ,k∈Z,所以f(x)存在“巧值点”;对于D,f'(x)=2xln 2,因为2x>0,所以2x=2xln 2无实数解,所以f(x)不存在“巧值点”. 7.若点A(a,a),B(b,eb)(a,b∈R),则A,B两点间距离|AB|的最小值为 (　　) A.1 B. C. D.2 解析:选B　点A(a,a)在直线y=x上,点B(b,eb)在y=ex上.由y=ex,得y'=ex.设y=ex的切线的切点为(x0,y0),令y'=1⇒=1⇒x0=0 ,所以y=ex在点(0,1)处的切线为y=x+1,此时切线y=x+1与直线y=x平行,直线y=x与y=x+1之间的距离=为|AB|的最小值. 8.(5分)已知函数f(x)=ln x,则=　　　　.  解析:∵f(x)=ln x,∴f'(x)=, ∴=f'(2)=. 答案: 9.(5分)已知曲线y=ln x的一条切线方程为x-y+c=0,则c=　　　　.  解析:设切点为(x0,ln x0),由y=ln x得y'=.因为曲线y=ln x在x=x0处的切线为x-y+c=0,其斜率为1.所以y'==1,即x0=1,所以切点为(1,0).所以1-0+c=0,解得c=-1. 答案:-1 10.(5分)拉格朗日中值定理是微分学的基本定理之一,内容为如果函数f(x)在闭区间[a,b]上的图象连续不间断,在开区间(a,b)内的导数为f'(x),那么在区间(a,b)内至少存在一点c,使得f(b)-f(a)= f'(c)(b-a)成立,其中c叫做f(x)在[a,b]上的“拉格朗日中值点”.根据这个定理,可得函数f(x)=ln x在[1,e]上的“拉格朗日中值点”为　　　　.  解析:由f(x)=ln x可得f'(x)=,令x0为函数f(x)=ln x在[1,e]上的“拉格朗日中值点”,则==,解得x0=e-1. 答案:e-1 11.(5分)抛物线y=x2上的一动点M到直线l:x-y-1=0距离的最小值为　　　　.  解析:因为y=x2,所以y'=2x,令y'=2x=1,得x=,所以与直线x-y-1=0平行且与抛物线y=x2相切的直线的切点为,切线方程为y-=x-,即x-y-=0,由两平行线间的距离公式可得所求的最小距离d==. 答案: 12.(10分)若质点P的运动方程是s(t)=(s的单位为m,t的单位为s),求质点P在t=8 s时的瞬时速度. 解:s(t)=,故s'(t)=,s'(8)=×=,故质点P在t=8 s时的瞬时速度为 m/s.13.(10分)直线y=-x+b是下列函数的切线吗?如果是,请求出b的值;如果不是,请说明理由. (1)y=ln x;(5分)(2)y=.(5分) 解:(1)函数y=ln x的定义域为(0,+∞),则对任意的x>0,y'=>0,所以直线y=-x+b不是曲线y=ln x的切线. (2)函数y=的定义域为{x|x≠0}, 令y'=-=-1,解得x=±1, 将x=1代入函数y=的解析式可得切点坐标为(1,1),则-1+b=1,解得b=2. 将x=-1代入函数y=的解析式可得切点坐标为(-1,-1),则1+b=-1,解得b=-2. 综上所述,y=-x+b是函数y=的切线方程,且b=±2. 14.(10分)设l是曲线y=的一条切线,证明l与坐标轴所围成的三角形的面积与切点无关. 证明: 由题意,设点P(x0,y0)为y=图象上的任意一点,且点P处的切线即为l,很明显y0=,y'=-,则y'=-.故曲线在点P(x0,y0)处的切线斜率为-,所以切线l方程为y-y0=-(x-x0), 即y-=-(x-x0). 当x=0时,y=;当y=0时,x=2x0, 所以l与坐标轴所围成的三角形的面积S=··2|x0|=2.很明显l与坐标轴所围成的三角形的面积是一个定值,与切点选取无关.所以l与坐标轴所围成的三角形的面积与切点无关. 学科网（北京）股份有限公司 $