1.2.1 几个基本函数的导数 同步练习-2024-2025学年高二下学期数学湘教版（2019）选择性必修第二册

1.2.1　几个基本函数的导数 A级 必备知识基础练 1.一质点的运动方程为s=cos t,则t=1时质点的瞬时速度为(　　) A.2cos 1 B.-sin 1 C.sin 1 D.cos 1 2.设函数f(x)的导数为f'(x),且f(x)=x2+2xf'(1),则f'(1)=(　　) A.0 B.4 C.-2 D.2 3.若f(x)=x5,f'(x0)=20,则x0的值为(　　) A. B.± C.-2 D.±2 4.已知函数f(x)=sin x,f'(x)是函数f(x)的导函数,则f'=(　　) A.0 B.-1 C.1 D. 5.[2024河北保定高三月考]已知函数f(x)在R上可导,且f(2x+3)=4x2-1,则f'(1)=　　　　. 6.已知函数f(x)=若f'(a)=12,则实数a的值为　　　　　.  7.[人教B版教材例题]已知f(x)=,求f'(4)以及曲线y=f(x)在点(4,f(4))处的切线的方程. B级 关键能力提升练 8.若函数y=f(x)的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则称y=f(x)具有T性质.下列函数中具有T性质的是(　　) A.y=sin x B.y=ln x C.y=ex D.y=x3 9.(多选题)已知函数f(x)的导数为f'(x),若存在x0,使得f(x0)=f'(x0),则称x0是f(x)的一个“巧值点”.下列函数中有“巧值点”的是(　　) A.f(x)=x2 B.f(x)= C.f(x)=ln x D.f(x)=tan x 10.设曲线y=ex在点(0,1)处的切线与曲线y=(x>0)在点P处的切线垂直,则点P的坐标为　　　　　. 11.直线y=x+b是曲线y=ln x(x>0)的一条切线,则实数b=　　　　　. 12.不与x轴重合的直线l与曲线y=x3与y=x2均相切,则l的斜率为　　　　　. 13.已知点P(-1,1),点Q(2,4)是曲线y=x2上的两点,求: (1)与直线PQ平行且与曲线y=x2相切的直线方程. (2)曲线y=x2上是否存在与直线PQ垂直的切线?若存在,求出切线方程;若不存在,说明理由. C级 学科素养创新练 14.已知直线y=kx是曲线y=ln x的一条切线,试求k的值. 15.已知直线x-2y-4=0与抛物线y2=x相交于A,B两点,O是坐标原点,试在x轴上方抛物线弧OA上求一点P,使△ABP的面积最大. 参考答案 1.B　s'=-sin t,当t=1时,s'=-sin 1,所以当t=1时质点的瞬时速度为-sin 1. 2.C　由f(x)=x2+2xf'(1)⇒f'(x)=2x+2f'(1),令x=1得f'(1)=2×1+2f'(1),解得f'(1)=-2.故选C. 3.B　函数的导数f'(x)=5x4,∵f'(x0)=20,∴5=20,得=4,因此x0=±.故选B. 4.A　因为f'(x)=cos x,所以f'=cos=0.故选A. 5.-4　令t=2x+3,则x=,则f(t)=t2-6t+8,即f(x)=x2-6x+8,f'(x)=2x-6,所以f'(1)=-4. 6.或-2　f'(x)=若f'(a)=12,则解得a=或a=-2. 7.解因为f'(x)=, 所以f'(4)=×2=3. 又因为f(4)==(22=23=8,所以所求切线方程为y-8=3(x-4),即y=3x-4. 8.A　对函数y=sin x求导,得y'=cos x,当x=0时,该点处切线l1的斜率k1=1,当x=π时,该点处切线l2的斜率k2=-1,∵k1·k2=-1,∴l1⊥l2;对函数y=ln x求导,得y'=恒大于0,斜率之积不可能为-1;对函数y=ex求导,得y'=ex恒大于0,斜率之积不可能为-1;对函数y=x3求导,得y'=3x2恒大于等于0,斜率之积不可能为-1.故选A. 9. ABC　对于A,f'(x)=2x,令x2=2x,得x=0或x=2,有“巧值点”;对于B,f'(x)=-,令=-,得x=-1,有“巧值点”;对于C,f'(x)=,令ln x=,结合y=ln x,y=的图象,知方程ln x=有解,有“巧值点”;对于D,f'(x)=,令tan x=,即,得sin 2x=2,无解,无“巧值点”.故选ABC. 10.(1,1)　y=ex的导数为y'=ex,曲线y=ex在点(0,1)处的切线的斜率为k1=e0=1. 设P(m,n),y=(x>0)的导数为y'=-(x>0), 曲线y=(x>0)在点P处的切线的斜率为k2=-(m>0).因为两切线垂直,所以k1k2=-1,所以m=1,n=1,则点P的坐标为(1,1). 11.ln 2-1　设切点坐标为(x0,y0),则y0=ln x0. 因为y'=(ln x)'=,由题意知,所以x0=2,y0=ln 2.由ln 2=×2+b,得b=ln 2-1. 12.　设直线l与曲线y=f(x)=x3相切的切点坐标为(x0,),f'(x)=3x2,则f'(x0)=3,则切线方程为y=3x-2.因为不与x轴重合的直线l与曲线y=x3与y=x2均相切,联立得x2-3x+2=0.其中Δ=9-8=0,得x0=0(舍去)或x0=,所以l的斜率为3. 13.解(1)因为y'=(x2)'=2x,设切点为M(x0,y0), 则y'=2x0. 因为直线PQ的斜率为k==1,且切线平行于直线PQ,所以k=2x0=1,即x0=,所以切点为M(). 所以所求的切线方程为y-=x-,即4x-4y-1=0. (2)假设存在与直线PQ垂直的切线, 因为PQ的斜率为1,所以与PQ垂直的切线斜率为-1. 设切点为(x0',y0'),则y'=2x0', 令2x0'=-1,则x0'=-,y0'=, 切线方程为y-=-(x+),即4x+4y+1=0. 14.解设直线y=kx与曲线y=ln x相切时的切点坐标为(x0,y0). ∵y=ln x,∴y'=,∴当x=x0时,y'==k. ∵点(x0,y0)既在直线y=kx上,也在曲线y=ln x上, ∴ 把k=代入①式得y0=1,再把y0=1代入②式得x0=e. ∴k=. 15.解 (方法一)因为|AB|为定值,所以要使△PAB的面积最大,只要点P到直线AB的距离最大,即只要点P是抛物线弧OA上平行于AB的切线的切点即可. 设P(x,y),由题意知,点P在x轴上方, 所以y=(x>0),所以y'= . 因为kAB=,所以,x=1. 由y2=x(y>0),得y=1,所以点P的坐标为(1,1). (方法二)设P,因为|AB|为定值,所以要使△PAB的面积最大,只要使点P到直线AB:x-2y-4=0的距离最大即可.设点P到直线AB的距离为d,则d=|(y0-1)2-5|. 联立消去x,解得y=1±.y0∈(0,1+). 所以当y0=1时,d最大,此时△PAB的面积最大, 所以点P的坐标为(1,1). 学科网（北京）股份有限公司 $$