1.1.2 瞬时变化率与导数 课时跟踪检测-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册配套练习word（湘教版）

1.1.2　瞬时变化率与导数 [课时跟踪检测] 1.已知物体做直线运动的方程为s=s(t)(位移单位:m,时间单位:s),则s'(4)=10 m/s表示的意义是 (　　) A.经过4 s后物体向前走了10 m B.物体在前4 s内的平均速度为10 m/s C.物体在第4 s内向前走了10 m D.物体在第4 s末的瞬时速度为10 m/s 答案:D 2.函数y=f(x)=x2在x=1处的导数为 (　　) A.2x B.2+d C.2 D.1 解析:选C　y=x2在x=1处的导数为f'(1),则=2+d→2(d→0),∴f'(1)=2. 3.一物体做加速直线运动,假设t s时的速度为v(t)=t2+3,则t=2时物体的加速度为 (　　) A.4 m/s2 B.3 m/s2 C.2 m/s2 D.1 m/s2 解析:选A　因为v(t)=t2+3,可得v'(2)===(4+d)=4,所以t=2时物体的加速度为4 m/s2. 4.若f'(x0)=2,则= (　　) A.2 B.-2 C.-1 D.1 解析:选C　因为f'(x0)==2, 所以=-×=-f'(x0)=-1. 5.已知f(x)=,且f'(m)=-,则m的值等于 (　　) A.-4 B.2 C.-2 D.±2 解析:选D　因为平均变化率为==.当d→0时,→-,所以-=-,m2=4,解得m=±2. 6.设f(x)为可导函数,则满足=-1,则f'(1)为 (　　) A.1 B.-1 C.2 D.-2 解析:选B　令x→0,则d=1-(1-2x)=2x→0, 所以 ==f'(1)=-1. 7.已知车轮旋转的角度与时间的平方成正比.若车轮开始转动后的第一圈需要1 s,则车轮转动开始后第2 s时的瞬时速度为 (　　) A.π B.2π C.4π D.8π 解析:选D　设角度θ关于时间t的函数关系式为θ(t)=kt2(k≠0),由已知得2π=k·12,即k=2π,故θ(t)=2πt2(k≠0).第2 s时的瞬时速度即为θ'(2).由于=2πd+8π,所以θ'(2)=(2πd+8π)=8π,即第2 s时的瞬时速度为8π. 8.[多选]甲、乙速度v与时间t的关系如图,a(b)是t=b时的加速度,s(b)是从t=0到t=b的路程,则下列说法正确的是 (　　) A.a甲(b)>a乙(b) B.a甲(b)<a乙(b) C.s甲(b)>s乙(b) D.s甲(b)<s乙(b) 解析:选BC　加速度是速度对t的导数,由题图可得甲在b处的加速度小于乙在b处的加速度;由题图知t=0到t=b甲的速度总大于等于乙的速度,所以甲从t=0到t=b的路程大于乙从t=0到t=b的路程. 9.(5分)物体做匀速运动,其运动方程是s=vt,则该物体在运动过程中的平均速度与任何时刻的瞬时速度的关系是　　　　　.  解析:物体做匀速直线运动,所以任何时刻的瞬时速度都是一样的. 答案:相等 10.(5分)若可导函数f(x)的图象过原点,且满足=-1,则f'(0)=　　　　.  解析:∵f(x)的图象过原点,∴f(0)=0, ∴f'(0)== =-1. 答案:-1 11.(5分)函数y=在x=x0(x0≠0)处的导数为　　　,在点　　　　处的导数为.  解析:因为 ==, 所以y'=.令=, 得x0=1,此时y0==1, 即函数y=在点(1,1)处的导数为. 答案:　(1,1) 12.(5分)已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的导数为f'(x),若f'(0)>0,且对于任意实数x,有f(x)≥0,则的最小值为　　　　.  解析:由导数的定义,得f'(0) == =(ad+b)=b>0.又 ∴ac≥,∴c>0. ∴=≥≥=2. 当且仅当a=c=时等号成立. 答案:2 13.(10分)求函数y=f(x)=x-在x=-1处的导数. 解:函数增量为f(-1+d)-f(-1)=-1+d--0=. ∴函数的平均变化率为=,当d趋近于0时,趋近于2.∴f'(-1)=2. 14.(10分)某一运动物体,在x(单位:s)时离开出发点的距离(单位:m)是f(x)=x3+x2+2x. (1)求在第1 s内的平均速度;(2分) (2)求在第1 s末的瞬时速度;(2分) (3)经过多少时间该物体的运动速度达到14 m/s?(6分) 解:(1)物体在第1 s内的平均变化率(即平均速度)为=m/s. (2) = =6+3d+d2, 当d→0时,→6, 所以物体在第1 s末的瞬时速度为6 m/s. (3)= =2x2+2x+2+d2+2xd+d, 当d→0时,→2x2+2x+2, 令2x2+2x+2=14,解得x=2(舍负), 即经过2 s该物体的运动速度达到14 m/s. 15.(10分)子弹在枪筒中的运动可以看作匀加速直线运动,运动方程为s=at2,如果它的加速度是a=5×105 m/s2,子弹在枪筒中的运动时间为1.6×10-3s,求子弹射出枪口时的瞬时速度. 解:已知s=at2. 因为s(t0+d)-s(t0)=a(t0+d)2-a=adt0+ad2,所以=at0+ad,所以当d无限趋近于0时,at0+ad无限趋近于at0. 由题意,知a=5×105 m/s2,t0=1.6×10-3s,所以at0=8×102=800(m/s),即子弹射出枪口时的瞬时速度为800 m/s. 学科网（北京）股份有限公司 $