1.1.1 函数的平均变化率 课时跟踪检测-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册配套练习word（湘教版）

1.1.1　函数的平均变化率 [课时跟踪检测】 1.已知某质点运动的方程是s=2+,当t由1变到2时,其路程的增量为 (　　) A. B.- C.1 D.-1 解析:选B　-(2+1)=-. 2.自由落体运动的公式为s(t)=gt2(g=10 m/s2),若v=,则下列说法正确的是 (　　) A.v是在0~1 s这段时间内的速度 B.v是1 s到(1+Δt)s这段时间内的速度 C.5Δt+10是物体在t=1 s这一时刻的速度 D.5Δt+10是物体从1 s到(1+Δt)s这段时间内的平均速度 解析:选D　由平均速度的概念可知,v===g+gΔt=10+5Δt,表示1 s到(1+Δt)s这段时间内的平均速度,故D正确. 3.一质点按运动方程s(t)=(s的单位为米,t的单位为秒)做直线运动,则其从t1=1秒到t2=2秒这段时间里的平均速度(单位:米/秒)为 (　　) A.-1 B.- C.- D.- 解析:选D　从t1=1秒到t2=2秒这段时间里的平均速度为=-=-. 4.下列函数中,在区间[-1,0]内的平均变化率最大的是 (　　) A.y=x2 B.y=x3 C.y= D.y=2x 解析:选B　y=x2在[-1,0]内的平均变化率为=-1;y=x3在[-1,0]内的平均变化率为=1;y=在[-1,0]内的平均变化率为=-1;y=2x在[-1,0]内的平均变化率为=,故y=x3在[-1,0]内的平均变化率最大. 5.物体甲、乙在时间0到t1范围内,路程的变化情况如图所示,则下列说法正确的是 (　　) A.在0到t0范围内,甲的平均速度大于乙的平均速度 B.在0到t0范围内,甲的平均速度小于乙的平均速度 C.在t0到t1范围内,甲的平均速度大于乙的平均速度 D.在t0到t1范围内,甲的平均速度小于乙的平均速度 解析:选C　在0到t0范围内,甲、乙的平均速度都为,故A、B错误;在t0到t1范围内,甲的平均速度为,乙的平均速度为,因为s2-s0>s1-s0,t1-t0>0,所以>,则在t0到t1范围内,甲的平均速度大于乙的平均速度,故C正确,D错误. 6.函数f(x)=x+sin x在区间[0,π]内的平均变化率为 (　　) A.1 B.2 C.π D.0 解析:选A　f(x)=x+sin x在区间[0,π]内的平均变化率为 ==1. 7.某水库储水量与水深的关系如下表所示: 水深/(m) 0 5 10 15 20 25 30 35 储水量/(104 m3) 0 10 30 90 160 275 435 650 在35 m范围内,当水深每增加5 m时,水库储水量的平均变化率 (　　) A.不变 B.越来越小 C.越来越大 D.不能确定 解析:选C　根据平均变化率的定义,在35 m范围内,当水深每增加5 m时,水库储水量的平均变化率依次为 水深/(m) 0 5 10 15 20 25 30 35 平均变化率/ (104 m2) 0 2 4 12 14 23 32 43 平均变化率越来越大. 8.已知点A(x1,y1),B(x2,y2)在函数y=f(x)的图象上,若函数f(x)在[x1,x2]内的平均变化率为,则下面叙述正确的是 (　　) A.直线AB的倾斜角为 B.直线AB的倾斜角为 C.直线AB的斜率为- D.直线AB的斜率为- 解析:选A　∵f(x)在[x1,x2]内的平均变化率为,∴=,∴f(x)在内的平均变化率就是直线AB的斜率kAB,∴kAB=,故直线AB的倾斜角为,故选A. 9.如图,函数y=f(x)在[x1,x2],[x2,x3],[x1,x3],[x3,x4]这几个区间内,平均变化率最大的一个区间是 (　　) A.[x1,x2] B.[x2,x3] C.[x1,x3] D.[x3,x4] 解析:选D　由函数f(x)平均变化率的计算公式,可得函数f(x)在[x1,x2]内的平均变化率为P1=>0, 函数f(x)在[x2,x3]内的平均变化率为P2=<0, 函数f(x)在[x1,x3]内的平均变化率为P3=<0, 函数f(x)在[x3,x4]上的平均变化率为P4=>0,结合函数y=f(x)的图象,可得P2<P3<0<P1<P4. 10.(5分)已知某物体运动的位移x m是时间t s的函数,且t=0.3时,x=0.38;t=0.6时,x=5.06.则该物体在时间段[0.3,0.6]内的平均速度为　　　m/s;估计t=0.4时的位移为　　　m.  解析:由题意,得==15.6 m/s,经过点(0.3,0.38),(0.6,5.06)的直线方程为x-0.38=15.6(t-0.3),当t=0.4时,x=1.94 m. 答案:15.6　1.94 11.(5分)若一个物体的运动规律如下(位移s的单位:m,时间t的单位:s):s(t)=则物体在t∈[2,5]内的平均速度为　　　　　.  解析:物体在t∈[2,5]内的时间改变量为5-2=3,物体在t∈[2,5]内的位移改变为3×52+2-[29+3×(-1)2]=77-32=45,所以物体在t∈[2,5]内的平均速度为=15(m/s). 答案:15 m/s 12.(10分)(1)已知函数f(x)=x+,分别计算f(x)在自变量x从1变到2和从3变到5时的平均变化率,并判断在哪个区间上函数值变化得较快;(6分) (2)已知函数f(x)=x2+1,求f(x)在区间[2,2+d]内的平均变化率.(4分) 解:(1)自变量x从1变到2时,函数f(x)的平均变化率为==, 自变量x从3变到5时,函数f(x)的平均变化率为==. 因为<,所以函数f(x)=x+在自变量x从3变到5时函数值变化得较快. (2)f(2+d)-f(2)=(2+d)2+1-(22+1)=4d+d2, 所以f(x)在区间[2,2+d]内的平均变化率为==4+d. 13.(10分)路灯距地面8 m,一个身高为1.6 m的人以84 m/min的速度在地面上从路灯在地面上的射影C点处沿直线匀速离开. (1)求身影的长度y(单位:m)与人距C点的距离x(单位:m)之间的关系式;(5分) (2)求人离开C点10 s内身影长度的平均变化率.(5分) 解:(1)如图,设人从C点运动到B点位移为x m,AB为身影长度为y m, 由于CD∥BE,则=, 即=,所以y=0.25x. (2)设人离开C点的时间为t s,而84 m/min=1.4 m/s,而x=1.4t,所以y=0.35t.在[0,10]内自变量的增量为t2-t1=10-0=10,函数值的增量为f(t2)-f(t1)=0.35×10-0.35×0=3.5,所以==0.35.即人离开C点10 s内身影长度的平均变化率为0.35 m/s. 学科网（北京）股份有限公司 $