10.2.2 消元——解二元一次方程组 课件 2025-2026学年人教版数学七年级下册

消元—— 解二元一次方程组 （加减法） 用代入法解下列方程组． 用代入法解下列方程组． 2 解：由①得 ， ③ 把③代入②得 ． 解得y＝2． 把y＝2代入③得x＝3． 所以方程组的解为 对于二元一次方程是不是还有其它解法，也可以消去一个未知数，达到消元的目的呢？ 设计意图：通过练习来进一步巩固代入消元法，让学生进一步体会消元思想在二元一次方程组中的应用，同时也为新知识的学习奠定基础． 3 （1）上面题的两个方程中，未知数y的系数有什么特点？ 　　 互为相反数． 1．对加减消元法的认识 （1）上面第2题的两个方程中，未知数y的系数有什么特点？ 互为相反数． 4 　　（2）根据等式的性质，如果把这两个方程的左边与左边相加，右边与右边相加，就可以消掉y，得到一个一元一次方程，进而求得二元一次方程组的解． 　　解：①+②，得6x＝18．解得x＝3． 　　把x＝3代入①，得9＋2y＝13．∴y＝2． ∴ （2）根据等式的性质，如果把这两个方程的左边与左边相加，右边与右边相加，就可以消掉y，得到一个一元一次方程，进而求得二元一次方程组的解． 5 　　（3）比较用这种方法得到的值是否与用代入法得到的相同． 　　　　 相同． 　　（4）上面方程组的两个方程中，因为x的系数互为相反数， 所以我们把两个方程相加，就消去了y，观察一下x的系数 有何特点？相等． 　　（5）方程①和方程②经过怎样的变化可以消去x？ 　　　　 相减． （3）比较用这种方法得到的值是否与用代入法得到的相同． 相同． （4）上面方程组的两个方程中，因为x的系数互为相反数，所以我们把两个方程相加，就消去了y，观察一下x的系数有何特点？ 相等． （5）方程①和方程②经过怎样的变化可以消去x？ 相减． 6 （6）尝试用①－②消元，解方程组． 解：①－②，得4y＝8．解得y＝2． 把y＝2代入①，得得3x＋4＝13． ∴x＝3． （7）比较结果是否与用①＋②得到的结果相同． 　　 相同． ∴ （6）尝试用①－②消元，解方程组． 解：①－②，得4y＝8．解得y＝2． 把y＝2代入①，得得3x＋4＝13． ∴x＝3． （7）比较结果是否与用①＋②得到的结果相同． 相同． 7 归纳总结： 　　两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程．这种方法叫做加减消元法，简称“加减法”． 归纳总结． 两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程．这种方法叫做加减消元法，简称“加减法”． 设计意图：通过学生的自主探究，学习讨论，尝试练习，使学生感受加减消元法的一般步骤． 8 　　提问： 　　（1）比较上面解二元一次方程组的方法，是用代入法简单， 还是用加减法简单？ 　　 加减法． 　　（2）在什么条件下可以用加减法进行消元？ 　　 某一个未知数的系数相等或互为相反数． 　　（3）什么条件下用加法、什么条件下用减法？ 　　某个未知数的系数互为相反数时用加法，系数相等时用减法． 2．加减消元法解二元一次方程组 提问： （1）比较上面解二元一次方程组的方法，是用代入法简单，还是用加减法简单？ 加减法． （2）在什么条件下可以用加减法进行消元？ 某一个未知数的系数相等或互为相反数． （3）什么条件下用加法、什么条件下用减法？ 某个未知数的系数互为相反数时用加法，系数相等时用减法． 设计意图：消元方法的依据是等式的基本性质，并且得出当方程组中某一未知数的系数相等时可以通过把两方程相减消去一个未知数，从而达到把二元转化为一元的目的，初步感知加减消元的思想． 9 所以原方程组的解是 解：由①＋②得 18x＝10.8 把x＝0.6代入①，得y＝0.1. x＝0.6. 解方程组 3．联系上面的解法，想一想怎样解方程组 根据y的系数特点，让学生分组探索出两方程相减能否达到消元的目的，若不能，要怎样做，从而引出加法消元法． 设计意图：通过解这个方程组得出当方程组中某一未知数的系数相反时可以通过把两方程相加消去一个未知数，从而达到把二元转化为一元的目的，进一步感知加减消元的思想． 10 例1　用加减法解方程组 　　分析：这两个方程中没有同一个未知数的系数相反或相等，直接加减这两个方程不能消元．我们对方程变形，使得这两个方程中某个未知数的系数相反或相等． 例1　用加减法解方程组 分析：这两个方程中没有同一个未知数的系数相反或相等，直接加减这两个方程不能消元．我们对方程变形，使得这两个方程中某个未知数的系数相反或相等． 11 解：①×3，得9x＋12y＝48． ③ ②×2，得10x－12y＝66． ④ ③＋④，得19x＝114， x＝6． 把x＝6代入①，得3×6＋4y＝16， 所以原方程组的解是 1. 对方程变形，使两个方程中某个未知数的系数相反或相等； 2. 两个方程两边相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程； 3. 把这个未知数的值代入上面的式子，求得另一个未知数的值； 4. 写出方程组的解． 变 加减 求 写 解：①×3，得9x＋12y＝48． ③ ②×2，得10x－12y＝66． ④ ③＋④，得19x＝114， x＝6． 把x＝6代入①，得3×6＋4y＝16， 　　　　　　 4y＝－2， 　　　　　　 y=-1/2. 12 　　思考：（1）如果用加减法消去x应如何解？解得的结果一样吗？试试看． 　　如果先消去x，可以①×5－②×3．解方程组时，先消去哪个未知数都可以，结果是确定的，不会因为消去哪个未知数而产生变化．一般地，先消去哪个未知数简便就先消去哪个． 　　（2）加减消元法解二元一次方程组的基本思想是什么？ 思考：（1）如果用加减法消去x应如何解？解得的结果一样吗？试试看．（学生独立完成后与消去y的解法对比） 如果先消去x，可以①×5－②×3．解方程组时，先消去哪个未知数都可以，结果是确定的，不会因为消去哪个未知数而产生变化．一般地，先消去哪个未知数简便就先消去哪个． （2）加减消元法解二元一次方程组的基本思想是什么？ 13 （3）用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤是什么？ 加减——消去一个未知数后化为一元一次方程； 求解——求出一个未知数的值； 回代——代入原方程求出另一个未知数的值； 写解——写出方程组的解． （3）用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤是什么？ 加减——消去一个未知数后化为一元一次方程； 求解——求出一个未知数的值； 回代——代入原方程求出另一个未知数的值； 写解——写出方程组的解． 设计意图：通过例题的讲解，让学生学会当两个方程中没有同一个未知数的系数相反或相等时，我们要对方程变形，使得这两个方程中某个未知数的系数相反或相等． 14 　　例2　2台大收割机和5台小收割机同时工作2 h共收割小麦3.6 hm2 ，3台大收割机和2台小收割机同时工作5 h共收割小麦8 hm2．1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦多少公顷？ 例2　2台大收割机和5台小收割机同时工作2 h共收割小麦3.6 ，3台大收割机和2台小收割机同时工作5 h共收割小麦8 ．1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦多少公顷？ 15 　　分析：如果1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦x hm2 和y hm2，那么2台大收割机和5台小收割机同时工作1 h共收割小麦____________，3台大收割机和2台小收割机同时工作1 h共收割小麦_____________．由此考虑两种情况下的工作量． (2x+5y) hm2 (3x+2y) hm2 分析：如果1台收割机和1台小收割机每小时各收割小麦x公顷和y公顷，那么2台大收割机和5台小收割机均工作1小时工收割小麦 公顷，3台大收割机和2台小收割机均工作1小时共收割小麦 公顷．由此考虑两种情况下的工作量． 16 　　解：设1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦x hm2 和y hm2． 根据两种工作方式中的相等关系，得方程组 去括号，得 ②－①，得11x＝4.4． 解这个方程，得 x＝0.4． 17 把x＝0.4代入①，得 y＝0.2． 因此，这个方程组的解是 　　答：1台大收割机和1台小收割机每小时各收割 小麦0.4 hm2 和0.2 hm2． 设计意图：将列、解二元一次方程组结合起来，体现应用方程组分析、解决问题的全过程，增强应用意识，同时加深和巩固对加减法解二元一次方程组的认识． 18 解上面这个方程组的过程可以用下面的框图表示： 二元一次方程组 ②－① 两方程相减，消去未知数y 一元一次方程 解得x x＝0.4 代入 解得y y＝0.2 此题解方程组的过程可以用下面的框图表示： 设计意图：通过一个具体的用加减消元法解二元一次方程组的过程为例，展示了加减法的解题步骤，以及各步骤的作用，是对前面解题后的回顾与反思． 19 1．已知二元一次方程组 　　用加减法解该方程组时，将方程①两边同时乘以_____，再将得到的方程与方程②两边相______，即可消去_____． 10 加 x 1．已知二元一次方程组 ，用加减法解该方程组时，将方程①两边同时乘以_____，再将得到的方程与方程②两边相______，即可消去_____． 答案：10；加；x． 20 　　2．用加减法解方程组 时，要使两个方程中同一未知数的系数相等或相反，有以下四种变形的结果： ① ② ③ ④ 其中变形正确的是（ 　 ）． A．①② B．③④ C．①③ D．②④ B 2．答案：B． 21 3．对于方程组 用加减法消去x，得到的方程是（ ）． A．2y＝－2 B．2y＝－36 C．12y＝－2 D．12y＝－36 D 3．答案：D． 22 4．用加减消元法解方程组： （1） （2） 解：（1）②×4－①×3，得11y＝－33， ∴y＝－3． 把y＝－3代入①，得4x－9＝3，x＝3． ∴原方程组解为 4．用加减消元法解方程组： 23 4．用加减消元法解方程组： （1） （2） （2）①×3＋②×2，得27x＝54， x＝2． 把x＝2代入①，得4y＝－12，y＝－3． ∴原方程组解为 设计意图：考查用加减消元法解二元一次方程组． 24 　　利用加减消元法解方程组时，在方程组的两个方程中： 　　（1）某个未知数的系数互为相反数，则可以直接相加，消去这个未知数； 　　（2）如果某个未知数系数相等，则可以直接相减，消去这个未知数． 　　（3）当方程组中两方程未知数系数不具备相同或互为相反数的特点时，要对原方程变形，使得这两个方程中某个未知数的系数相反或相等． 利用加减消元法解方程组时，在方程组的两个方程中： （1）某个未知数的系数互为相反数，则可以直接相加，消去这个未知数； （2）如果某个未知数系数相等，则可以直接相减，消去这个未知数． （3）当方程组中两方程未知数系数不具备相同或互为相反数的特点时，要对原方程变形，使得这两个方程中某个未知数的系数相反或相等． 设计意图：帮助学生形成技能，引导学生逐步积累优化方案选择的经验． 25 感谢观看 26 $