10.1 二元一次方程组 课件2025-2026学年人教版数学七年级下册

二元一次方程组 　　1．香蕉的售价为5元／千克，苹果的售价为3元／千克，小华共买了香蕉和苹果9千克，付款33元，香蕉和苹果各买了多少千克？ 解：设香蕉买了x千克，苹果买了(9－x)千克，则 　　5x＋3(9－x)＝33． 　　解得x＝3． 　　所以9－x＝6． 答：香蕉买了3千克，苹果买了6千克． 1．香蕉的售价为5元／千克，苹果的售价为3元／千克，小华共买了香蕉和苹果9千克，付款33元，香蕉和苹果各买了多少千克？ 解：设香蕉买了x千克，苹果买了(9－x)千克，则 5x＋3(9－x)＝33． 解得x＝3． 所以，9－x＝6． 答：香蕉买了3千克，苹果买了6千克． 2 　　2．篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜1场得2分，负1场得1分，某队在10场比赛中得到16分，那么这个队胜负场数分别是多少？ 你会用你学过的一元一次方程解决这个问题吗？ 解：设胜x场，负(10－x)场，则 　　2x＋(10－x)＝16 　　解得x＝6． 　　所以，10－x＝4． 答：这个队在10场比赛中胜6场、负4场． 同学们都很喜欢篮球吧？你了解篮球联赛的有关规定吗？请看下列问题： 2．篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜1场得2分，负1场得1分．某队在10场比赛中得到16分，那么这个队胜负场数分别是多少？ 你能用学过的一元一次方程解决这些问题吗？请同学们思考、讨论，并发表意见． 解：设胜x场，负(10－x)场，则 2x＋(10－x)＝16 解得x＝6． 所以，10－x＝4． 答：这个队在10场比赛中胜6场、负4场． 解决这两个问题，你还有其他的方法吗？接下来我们共同来探讨． 设计意图：由学生比较熟悉的身边的事物和篮球比赛引入，容易引起学生的注意，引发学生的学习兴趣． 3 　　若设胜的场数是x，负的场数是y，你能用方程把这些条件表示出来吗？ 上述篮球联赛的问题中包含了哪些必须同时满足的条件？ 胜的场数＋负的场数＝总场数， 　　x＋y＝10， 　　2x＋y＝16． 胜场积分＋负场积分＝总积分． 1．对二元一次方程（组）概念的学习 多条件限制，增设未知元帮忙．对于问题1，我们设这个队胜x场，负y场．请同学们寻找等量关系． 胜的场数＋负的场数＝总场数， 胜场积分＋负场积分＝总积分． 若设胜的场数是x，负的场数是y，你能用方程把这些条件表示出来吗？ x＋y＝10， 2x＋y＝16． 4 　　一元一次方程只有一个未知数，而这两个方程都含有两个未知数． 　　x＋y＝10，2x＋y＝16，这两个方程与一元一次方程有什么不同？它们有什么特点？ 　　特点是：（1）含有两个未知数， 　　（2）含有未知数的项的次数都是1． 　　像这样，每个方程都含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程． x＋y＝10，2x＋y＝16．这两个方程与一元一次方程有什么不同？它们有什么特点？ 所含未知数的个数不同；特点是：（1）含有两个未知数，（2）含有未知数的项的次数都是1． 像这样，每个方程都含有两个未知数（x和y），并且含有未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程． 5 　　上面的问题包含了两个必须同时满足的条件，也就是未知数x，y必须同时满足方程x＋y＝10 ① 和2x＋y＝16② ． 把两个方程合在一起，写成 　　这样就组成了一个方程组．这个方程组中有两个未知数，含有每个未知数的项的次数都是1，并且一共有两个方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组． 上面的问题包含两个必须同时满足的条件，也就是未知数x，y必须同时满足方程 x＋y＝10①和2x＋y＝16②． 把两个方程合在一起，写成 这样就组成了一个方程组．这个方程组中有两个未知数，含有每个未知数的项的次数都是1，并且一共有两个方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组． 6 　　特别地， 　　和 这样的方程组，也是二元一次方程组． 设计意图：引导学生知识的迁移与类比，让学生用原有的利用一元一次方程进行认知结构去同化新知识，符合建构主义理念． 7 　　探究：满足方程x＋y＝10，且符合问题的实际意义的x，y的值有哪些？把它们填入表中． 　　用含x的式子表示y，即y＝10－x（x可取一些自然数）． x y 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 显然，上表中每一对x，y的值都是方程①的解． 2．对二元一次方程（组）的解概念的学习 探究：满足方程x＋y＝10①，且符合问题的实际意义的x，y的值有哪些？把它们填入表中． 为此我们用含x的式子表示y，即y＝10－x（x可取一些自然数）． 8 　　（1）你能模仿一元一次方程方程的解给出二元一次方程的解下定义吗？ 　　一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解． 　　（2）如果不考虑方程的实际意义，那么x，y还可以取哪些值？这些值是有限的吗？ 　　还可以取x＝11，y＝－1；x＝10.5，y＝－0.5；等等． 　　所以，二元一次方程的解有无数对． 课堂小结 拓展练习 例题精讲 探究新知 新课导入 导 航 （1）你能模仿一元一次方程方程的解给出二元一次方程的解下定义吗？ 一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解． （2）如果不考虑方程的实际意义，那么x，y还可以取哪些值？这些值是有限的吗？ 还可以取x＝11，y＝－1；x＝10.5，y＝－0.5；等等． 所以，二元一次方程的解有无数对． 9 　　上表中哪对x，y的值还满足方程②？ 　　x=6，y=4还满足方程②．也就是说，它们是方程①与方 　　一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元 一次方程组的解． 　　注意：二元一次方程组的解是成对出现的，用花括号来连 接，表示“且”． 　　联系前面的问题可知，这个队在10场比赛中胜6场、负4场． 程②的公共解，记作 上表中哪对x，y的值还满足方程②？ x=6，y=4还满足方程②．也就是说，它们是方程①与方程②的公共解，记作 一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解． 注意：二元一次方程组的解是成对出现的，用花括号来连接，表示“且”． 联系前面的问题可知，这个队在10场比赛中胜6场、负4场． 设计意图：通过对比，让学生体验从算术方法到代数方法是一种进步．而当我们遇到求多个未知量，而且数量关系比较复杂时，列二元一次方程组比列一元一次方程容易，它大大减轻了我们的思维负担． 10 　　例 足球联赛得分规定：胜1场得3分，平1场得1分，负1场得0分．某队在足球联赛的4场比赛中得6分，这个队胜了几场，平了几场，负了几场？ 　　解：设胜x场，平y场．依题意，得3x＋y＝6， 因为 ， ，且x，y为整数， 所以 或 　　答：这个队胜1场，平3场，负0场或胜2场，平0场， 负2场． 例 足球联赛得分规定：胜1场得3分，平1场得1分，负1场得0分．某队在足球联赛的4场比赛中得6分，这个队胜了几场，平了几场，负了几场？ 设计意图：培养学生分析等量关系并列方程组的能力，使学生进一步熟悉二元一次方程组及其解的概念． 11 x －2 0 0.4 2 y －0.5 －1 0 3 1．填表，使上下每对x，y的值时方程3x＋y＝5的解． 2 －1 3.8 5 11 1．填表，使上下每对x，y的值时方程3x＋y＝5的解． 12 2．下列四个方程中，是二元一次方程组的是（ ）． B． C． D． B A． 2．答案：B． 13 3．方程组 的解是（ ）． A． B． C． D． C 3．答案：C． 设计意图：通过练习，使学生加深对概念的理解与掌握，主要是对二元一次方程（组）的概念与它们解的概念两个方面进行练习． 14 　　谈谈你对二元一次方程（组）的认识． 谈谈你对二元一次方程（组）的认识． 教师引导学生从对二元一次方程（组）的概念及其解的认识上畅谈自己的收获． 设计意图：使学生对本节课的知识有一个系统的回顾，形成完整的概念体系． 15 感谢观看 16 $