10.4 三元一次方程组的解法 课件2025-2026学年人教版数学七年级下册

三元一次方程组的解法 1 　　1．什么是二元一次方程？ 　　含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是１，像这样的方程叫做二元一次方程． 　　2．什么是二元一次方程组？ 　　含有两种未知数，并且每个方程中含未知数的项的次数都是1次，这样的方程组叫二元一次方程组． 1．什么是二元一次方程？ 含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是１，像这样的方程叫做二元一次方程． 2．什么是二元一次方程组？ 含有两种未知数，并且每个方程中含未知数的项的次数都是1次，这样的方程组叫二元一次方程组． 2 　　问题：小明手头有12张面额分别为1元、2元、5元的纸币，共计22元，其中1元纸币的数量是2元纸币数量的4倍．求1元、2元、5元纸币各多少张？ 解：设1元、2元、5元纸币分别为x，y，z张．可以得到 问题：小明手头有12张面额分别为1元、2元、5元的纸币，共计22元，其中1元纸币的数量是2元纸币数量的4倍．求1元、2元、5元纸币各多少张？ 教师利用投影出示问题，让学生进行讨论，怎样解决这个问题． 学生讨论交流后可以想到通过列方程组来解决． 观察此方程组与前边所学的二元一次方程组有何不同． 由此引入三元一次方程组的概念． 设计意图：通过复习二元一次方程组的相关知识，为接下来学习三元一次方程组提供帮助．让学生意识到三元一次方程组的学习可以类比二元一次方程组来进行． 3 　　问题：如何解这个方程组？ 　　可以类比二元一次方程组的解法进行． 问题：如何解这个方程组？ 1．教师提出问题，学生进行讨论、探究、交流．然后得出结论，可以类比二元一次方程组的解法进行． 4 　　仿照前面学过的代入法，可以把③分别代入①②，得到两个只含y，z的二元方程：4y＋y＋z＝12，4y＋2y＋5z＝22．把它们组成方程组 即： 解： 解此二元一次方程组得出y，z，进而代回原方程组可求x． 导 航 教师让学生继续讨论，观察这个方程，怎样才能达到这样的目的？ 让学生通过讨论、交流、尝试去解决这个问题．然后师生共同完成解这个方程组． 仿照前面学过的代入法，可以把③分别代入①②，得到两个只含y，z的二元方程： 设计意图：通过学生的讨论、交流、探究，以及与二元一次方程组解法的类比，从而得出解三元一次方程组的思路，让学生从中感受类比的思考方法． 5 　　含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1次的整式方程，叫做三元一次方程． 　　含有三种未知数，并且每个方程中含未知数的项的次数都是1次，这样的方程组叫三元一次方程组． 　　注意事项： 　　①区分未知数的次数与含未知数的项的次数． 　　②组成三元一次方程组的方程不一定都是三元一次方程． 含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1次的整式方程，叫做三元一次方程． 含有三个未知数，并且每个方程中含未知数的项的次数都是1次，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫三元一次方程组． 注意事项： ①区分未知数的次数与含未知数的项的次数． ②组成三元一次方程组的方程不一定都是三元一次方程． 设计意图：类比二元一次方程组的概念学习三元一次方程组的概念和注意事项． 6 例1　解三元一次方程组 　　分析：方程①只含x，z，因此，可以由②③消去y，得到一个只含x，z的方程，与方程①组成一个二元一次方程组． 解：②×3＋③，得11x＋10z＝35．④ ①与④组成方程组 分析：方程①只含x，z，因此，可以由②③消去y，得到一个只含x，z的方程，与方程①组成一个二元一次方程组． 7 解这个方程组，得 把x＝5，z＝－2代入②，得2×5＋3y－2＝9， 因此，这个三元一次方程组的解为 所以y＝　． 解这个方程组. 8 　　归纳：从分析过程可以看出，解三元一次方程组的基本思路是：通过“代入”或“加减”进行消元，把“三元”化为“二元”，使解三元一次方程组化为解二元一次方程组，进而再转化为解一元一次方程．这与解二元一次方程组思路是一样的． 三元 二元 一元 消元 消元 方法：代入法、加减法 归纳：从分析过程可以看出，解三元一次方程组的基本思路是：通过“代入”或“加减”进行消元，把“三元”化为“二元”，使解三元一次方程组化为解二元一次方程组，进而再转化为解一元一次方程．这与解二元一次方程组思路是一样的． 设计意图：让学生独立尝试解题，可以培养他们分析问题、解决问题的能力；在解题后归纳题目的特点，点明消元方法和消元对象，更有助于学生探索方法、掌握技巧． 9 　　例2　在等式中　　　　　　 ，当x＝－1时，y＝0；当x＝2时，y＝3；当x＝5时，y＝60．求a，b，c的值． 　　分析：把a，b，c看作三个未知数，分别把已知的x，y值代入原等式，就可以得到一个三元一次方程组． 解：根据题意，得三元一次方程组 例2　在等式 中，当x＝－1时，y＝0；当x＝2时，y＝3；当x＝5时，y＝60．求a，b，c的值． 分析：把a，b，c看作三个未知数，分别把已知的x，y值代入原等式，就可以得到一个三元一次方程组． 10 ②－①，得a＋b＝1； ④ ③－①，得4a＋b＝10． ⑤ ④与⑤组成二元一次方程组 解这个方程组，得 把a＝3，b＝－2代入①，得c＝－5．因此 即a，b，c的值分别为3，－2，－5． 设计意图：通过例题的讲解，为以后学习用“待定系数法”求二次函数的解析式打下基础． 11 1．下列四个方程中，是三元一次方程组的是（ ）． B． C． D． B A． 1．答案：B． 12 2．解方程组 要使运算简便，消元 A．先消x B．先消y C．先消z D．先消常数项 应选（　　）． B 2．解方程组 要使运算简便，消元应选（　　）． A．先消x B．先消y C．先消z D．先消常数项 答案：B． 13 3．解下列方程组: （1） （2） （3） （4） 3．解下列三元一次方程组. 14 解：（1） ①代入②，整理得11x＋2z＝23．④ 解这个方程组，得 把x＝2代入①， 得y＝2×2－7， 所以y＝－3． 因此，这个三元一次 ③与④组成方程组 方程组的解为 15 （2） ①×2－③，得21y＋2z＝3．④ ①×3－②×2，得－12y－5z＝6．⑤ ④与⑤组成方程组 16 解这个方程组，得 把 代入①，得 所以x＝5． 　　因此，这个三元一次 方程组的解为 17 （3） ①＋②＋③，并整理得x＋y＋z＝　． ④ ①－②，得－2x＋y＋z＝－1．⑤ 所以 ④－⑤，得 同理可解 因此，这个三元一 次方程组的解为 18 （4） 由①得　　　．④ 由②得　　　．⑤ 把④⑤代入③，得 所以x＝35． 把x＝35代入①得y＝21． 把x＝35代入②得z＝15． 因此，这个三元一次方程组 的解为 设计意图：使学生进一步掌握解三元一次方程组的能力． 19 　　1．三元一次方程组的要求：①各方程组是整式方程，②含有三个未知数，③各方程完整形式为三元一次方程，也可以是二元一次方程，④由三个方程组成． 　　2．解三元一次方程组的基本思路是逐步消元，最终变成一元一次方程求出其解．消元的方法同样有代入法和加减法，因而在求解时，要注意选择适当方法． 1．三元一次方程组的要求：①各方程组是整式方程，②含有三个未知数，③各方程完整形式为三元一次方程，也可以是二元一次方程，④由三个方程组成． 2．解三元一次方程组的基本思路是逐步消元，最终变成一元一次方程求出其解．消元的方法同样有代入法和加减法，因而在求解时，要注意选择适当方法． 设计意图：通过小结，既突出了本节课重点，又突出了解决本节内容中例题、练习题的方法技巧，使学生在以后解题时有很强的针对性． 20 感谢观看 21 $