精品解析：上海市静安区风华初级中学2024-2025学年上学期八年级期末数学试卷

2024-2025学年上海市静安区风华初级中学八年级（上）期末数学试卷 一、选择题（本大题共6题，每题3分，满分18分） 1. 下列各组二次根式中，是同类二次根式的为（　） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查同类二次根式，二次根式的化简，正确理解同类二次根式的概念是解题的关键．判断同类二次根式需将各选项化简为最简二次根式后，检查被开方数是否相同，根据同类二次根式的概念逐个判断即可． 【详解】A： 已是最简形式， 是整数，不是二次根式，故该选项不符合题意； B： 和 的最简形式分别为 和 ，被开方数不同，故该选项不符合题意； C：，，两者化简后均为的倍数，被开方数均为3，是同类二次根式，故该选项符合题意； D：，，被开方数分别为和，不同，故该选项不符合题意； 故选：C． 2. 下列关于x的方程中，是一元二次方程的为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义，即只含有一个未知数，且未知数最高次数为2的整式方程，逐一判断各选项即可． 【详解】解：一元二次方程需同时满足三个条件：①是整式方程；②只含有一个未知数；③未知数最高次数为2， 选项A中，的未知数最高次数为1，是一元一次方程，不符合要求； 选项B中，原方程整理得，满足一元二次方程的全部条件，符合要求； 选项C中，展开整理原方程：左边展开得，右边为，移项合并得：，未知数最高次数为1，是一元一次方程，不符合要求； 选项D中，未说明，当时，未知数最高次数不是2，不满足定义，不符合要求． 3. 下面各组变量的关系中，成正比例关系的有（ ） A. 人的身高与年龄 B. 汽车从甲地到乙地，所用时间与行驶速度 C. 正方形的面积与它的边长 D. 圆的周长与它的半径 【答案】D 【解析】 【分析】根据正比例函数的定义，逐项判断即可求解． 【详解】解：、人的身高与年龄不成比例，故此选项不符合题意； 、汽车从甲地到乙地，所用时间与行驶速度成反比例关系，故此选项不符合题意； 、正方形的面积与它的边长的平方成正比例，故此选项不符合题意； 、圆的周长与它的半径成正比例关系，故此选项符合题意； 故选：D 【点睛】本题主要考查了正比例函数的定义，熟练掌握形如（ 为常数） 的函数叫正比例函数是解题的关键． 4. 已知函数中，在每个象限内，y随x的增大而增大，那么它和函数y＝kx（k≠0）在同一直角坐标平面内的大致图象是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据反比例函数图象的性质判断出k的范围，再确定其所在象限，进而确定正比例函数图象所在象限即可解答． 【详解】解：∵函数中，在每个象限内，y随x的增大而增大， ∴k＜0， ∴双曲线在第二、四象限，函数y＝kx的图象经过第二、四象限， ∴B选项满足题意 故选：B． 【点睛】本题主要考查了反比例函数图象的性质与正比例函数图象的性质，掌握k对正比例函数和反比例函数图象的影响成为解答本题的关键． 5. 已知a、b、c是△ABC的三边，下列条件中，能判断是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题根据三角形内角和定理与勾股定理逆定理，逐个判断选项即可得到结果． 【详解】解：选项A，∵ ，， 设，则， ∴ ，解得， ∴ ，故是直角三角形； 选项B，∵ ，设，，， ∴ ， 解得， 最大角，故不是直角三角形； 选项C，∵ ，设， ∴ ，，，是最大边， ∴ ，，，故不是直角三角形； 选项D，∵ ，，， ∴ ，，，故不是直角三角形． 6. 如图，在△中，是钝角，以点为圆心、的长为半径画弧，再以点为圆心、的长为半径画弧，这两条弧相交于点，连接，延长交于点．下列结论中一定正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查作图基本作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．连接，，证明垂直平分线段可得结论． 【详解】解：连接，． 由作图可知，， 垂直平分线段， ， ． 故选：C． 二、填空题（本大题共12题，每题2分，满分24分） 7. 化简：____________________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的性质解答即可． 【详解】解：． 8. 函数的自变量的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式有意义的条件是分母不为零即可得到答案． 【详解】解：由题意得：． 9. 方程的解为___． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，先移项，再提出公因式x，得到两个因式乘积的形式，即可得解． 【详解】解：， ， ， 或， ，， 故答案为：，． 10. 如果关于x的一元二次方程（m+1）x2﹣2x﹣1＝0有两个实数根，那么m的取值范围是 ___． 【答案】m-2且m≠-1 【解析】 【分析】根据二次项系数非零及根的判别式Δ≥0，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程（m+1）x2-2x-1=0有两个实数根， ∴， 解得：m-2且m≠-1． 故答案为：m-2且m≠-1． 【点睛】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，牢记“当Δ≥0时，方程有两个实数根”是解题的关键． 11. 在实数范围内分解因式：______. 【答案】 【解析】 【分析】可将x2-2x先配成一个完全平方式，再应用平方差公式进行分解即可. 【详解】原式= 故填： 【点睛】本题考查配方法的应用，用平方差公式因式分解.能想到分组因式分解是解决此题的关键. 12. 元旦期间某商场为了吸引顾客，对某种商品连续两次降价，每次降价的百分率相同．已知该商品原来每件售价为元，降价两次后每件售价为元，则每次降价的百分率是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．设每次降价的百分率为，根据连续两次降价后价格的关系列出方程，解方程得到的值，并验证合理性． 【详解】解：设每次降价的百分率为，则第一次降价后价格为元，第二次降价后价格为元． 根据题意，有 解得：或（舍去） 故答案为：． 13. 如果点P在y轴上，点A坐标是，且，那么点P的坐标是_________． 【答案】或 【解析】 【分析】根据y轴上点的坐标特征设出点P的坐标，再利用两点间距离公式列方程求解，即可得到点P的坐标． 【详解】解：∵点P在y轴上． ∴设点P的坐标为， ∵点A坐标是，且， ∴， 解得或， ∴点P的坐标为或． 14. 经过定点A且半径为的圆的圆心的轨迹是____________________． 【答案】以点A为圆心，为半径的圆 【解析】 【分析】根据题意可知该圆的圆心到点A的距离为，则该圆的圆心的轨迹是以点A为圆心，为半径的圆． 【详解】解：∵该圆经过定点A，且该圆的半径为， ∴该圆的圆心到点A的距离为， ∴该圆的圆心在以A为圆心，半径为的圆上， 即该圆的圆心的轨迹是以点A为圆心，为半径的圆． 15. “等腰三角形的两个底角相等．”请写出它的逆命题：__________． 【答案】有两个角相等的三角形是等腰三角形 【解析】 【分析】根据互逆命题的定义，将原命题的题设和结论互换，即可得到原命题的逆命题 【详解】解：将原命题改写为“如果一个三角形是等腰三角形，那么这个三角形的两个底角相等”， 其中题设为“一个三角形是等腰三角形”，结论为“这个三角形的两个底角相等”， 互换题设和结论后，得到逆命题为“有两个角相等的三角形是等腰三角形” 16. 如图，在中，，的角平分线交于点，，，则的面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】过作于点，通过角平分线的性质可得，再由面积公式即可求解． 【详解】解：如图，过作于点， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴的面积是． 17. 如图，正方形的一边在x轴的正半轴上，顶点A、E在直线上，如果正方形边长是，那么点F的坐标是___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据正方形的性质，得到的长，进而求出点坐标，求出的长，进而求出点坐标，再根据正方形的性质，求出点坐标即可. 【详解】解：∵正方形，且正方形边长是， ∴，， ∴， ∵顶点A、E在直线上， ∴时，， ∴， ∴， 当时，， ∴， ∴，即. 18. 如图，在中，，，，将绕着点顺时针旋转得到，其中点的对应点分别为点，连接，当时，的长是______． 【答案】或 【解析】 【分析】当在内部时，如图，过作交延长线于，则，当在外部时，然后通过旋转的性质，勾股定理，直角三角形性质即可求解． 【详解】解：当在内部时，如图，过作交延长线于，则， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 根据旋转的性质，， 在中，， ∴， ∴， ∴； 当在外部时，如图， ∵，， ∴，， ∴三点共线， ∴， 根据旋转的性质，， ∴， 综上可得：的长是或． 三、简答题（本大题共4题，每题6分，满分24分） 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和分母有理化是解决问题的关键． 先根据二次根式的乘法和分母有理化的方法运算，然后化简后合并即可． 【详解】解： ． 20. 利用配方法解方程：． 【答案】，． 【解析】 【分析】利用配方法得到，然后利用直接开平方法解方程即可． 【详解】 所以原方程的解为，． 故答案为，． 【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：将一元二次方程配成（x+m）2=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． 21. 小海同学解一元二次方程的过程如下： 解：，， 或 所以，原方程的根是，． （1）小海的求解过程从 步开始出现错误． （2）请你写出这个方程正确的解题步骤，并求出方程的根． 【答案】（1）； （2），． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，掌握解法是解题的关键． （）根据原方程没有变形为一般形式就进行求解即可进行判断； （）先变形为方程的一般形式，再根据公式法求解即可． 【小问1详解】 解：∵原方程没有变形为一般形式就进行求解， ∴小海的求解过程从第步开始出现错误， 故答案为：； 【小问2详解】 解：， ， ，，， ， ， ∴，． 22. 某水果生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种水果，如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度与时间之间的函数关系，其中线段、表示恒温系统开启后阶段，双曲线的一部分表示恒温系统关闭阶段，请根据图中信息解答下列问题： （1）求这天的温度y与时间的函数关系式； （2）求恒温系统设定的恒定温度； （3）若大棚内的温度低于不利于新品种水果的生长，问这天内，相对有利于水果生长的时间共多少小时？ 【答案】（1）； （2）； （3）小时． 【解析】 【分析】（）根据图象利用待定系数法即可求出函数解析式； （）由（）得，根据图象即可求出恒定温度； （）根据各时间段的函数解析式算出时的值，相减即可； 此题考查了一次函数、反比例函数和常函数解析式，解答时应注意临界点的应用． 【小问1详解】 设直线的函数解析式为：， 根据图象经过点， ∴，解得：， ∴直线 ∴与时间的函数关系式为； 【小问2详解】 由（）得与时间的函数关系式为；， 则当时，， ∴恒定温度为：； 【小问3详解】 设小时内函数解析式为：， 根据图象经过点 ∴，解得：， ∴函数解析式为：， 当时，，解得：， 当时，，解得：， ∴不低于时间共小时， 即相对有利于水果生长的时间共17.5小时． 四、解答题（本大题共3题，第23题10分、第24题12分，第25题12分，满分34分） 23. 已知：如图，点在上，垂直平分线段． （1）求证：； （2）连接，求证：是等腰直角三角形． 【答案】（1） 证明：∵垂直平分线段， ∴， 在 和 中, ， ， ， ， ， ， ∴； （2） 证明：延长交的延长线于， 由（1）知， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴ ， ， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴,， ∴是等腰直角三角形． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． （1）根据全等三角形的判定和性质定理，线段垂直平分线的性质，垂直的定义即可得到结论； （2）根据全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 24. 如图，在平面直角坐标系中，点、分别在函数（）、（，为常数）的图象上，轴，垂足为，，． （1）求的值； （2）当点在函数（）的图象上，且，求点的坐标； （3）在（2）的条件下，如果轴上有一点，使得是等腰三角形，请直接写出所有满足条件的点的坐标． 【答案】（1） （2） （3）或或或 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义、等腰三角形的性质、勾股定理以及两点间的距离等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）由 结合反比例函数k的几何意义可得，进一步即可求出结果； （2）由题意可得的纵坐标为，再利用待定系数法解答即可； （3）先求出的长，然后分三种情况：①若，可直接写出点N的坐标；②若，根据等腰三角形的性质解答；③若，根据两点间的距离解答． 【小问1详解】 解：∵，． ∴， ， ， ∴，解得， ∵， ∴； 【小问2详解】 ∵，， ∴的纵坐标为 ∵在（）的图象上， ∴，解得： ∴ 【小问3详解】 ∵， ∴ 是等腰三角形， ①当时，或 ②当时，则为对称轴，则， ③当时，设， ∴ 解得： ∴ 综上所述，或或或． 25. 如图，在中，点D在边上，将沿所在直线翻折，点A恰好与边的中点E重合． （1）与之间有怎样的数量关系，并说明理由； （2）当时，连接，设，求y关于x的表达式； （3）当，时，求的面积． 【答案】（1） 解：，理由如下： ∵将沿所在直线翻折，点A恰好与边的中点E重合， ∴，， ∴， ∴； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据折叠的性质，结合线段中点的定义，即可得出结论； （2）作，根据折叠的性质，得到，，易得垂直平分，进而得到，求出，进而求出的长，利用三角形的面积公式，求出表达式即可； （3）过B作于H，易得，勾股定理求出的长，进而求出的长，进而求出的面积，再利用三角形的中线平分面积，求出的面积即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：作， ∵翻折，， ∴，，， 又∵为的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，，， ∴，， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：过B作于H， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年上海市静安区风华初级中学八年级（上）期末数学试卷 一、选择题（本大题共6题，每题3分，满分18分） 1. 下列各组二次根式中，是同类二次根式的为（　） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 2. 下列关于x的方程中，是一元二次方程的为（ ） A. B. C. D. 3. 下面各组变量的关系中，成正比例关系的有（ ） A. 人的身高与年龄 B. 汽车从甲地到乙地，所用时间与行驶速度 C. 正方形的面积与它的边长 D. 圆的周长与它的半径 4. 已知函数中，在每个象限内，y随x的增大而增大，那么它和函数y＝kx（k≠0）在同一直角坐标平面内的大致图象是（　　） A. B. C. D. 5. 已知a、b、c是△ABC的三边，下列条件中，能判断是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在△中，是钝角，以点为圆心、的长为半径画弧，再以点为圆心、的长为半径画弧，这两条弧相交于点，连接，延长交于点．下列结论中一定正确的是（　　） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共12题，每题2分，满分24分） 7. 化简：____________________． 8. 函数的自变量的取值范围是________． 9. 方程的解为___． 10. 如果关于x的一元二次方程（m+1）x2﹣2x﹣1＝0有两个实数根，那么m的取值范围是 ___． 11. 在实数范围内分解因式：______. 12. 元旦期间某商场为了吸引顾客，对某种商品连续两次降价，每次降价的百分率相同．已知该商品原来每件售价为元，降价两次后每件售价为元，则每次降价的百分率是______． 13. 如果点P在y轴上，点A坐标是，且，那么点P的坐标是_________． 14. 经过定点A且半径为的圆的圆心的轨迹是____________________． 15. “等腰三角形的两个底角相等．”请写出它的逆命题：__________． 16. 如图，在中，，的角平分线交于点，，，则的面积是______． 17. 如图，正方形的一边在x轴的正半轴上，顶点A、E在直线上，如果正方形边长是，那么点F的坐标是___________． 18. 如图，在中，，，，将绕着点顺时针旋转得到，其中点的对应点分别为点，连接，当时，的长是______． 三、简答题（本大题共4题，每题6分，满分24分） 19. 计算：． 20. 利用配方法解方程：． 21. 小海同学解一元二次方程的过程如下： 解：，， 或 所以，原方程的根是，． （1）小海的求解过程从 步开始出现错误． （2）请你写出这个方程正确的解题步骤，并求出方程的根． 22. 某水果生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种水果，如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度与时间之间的函数关系，其中线段、表示恒温系统开启后阶段，双曲线的一部分表示恒温系统关闭阶段，请根据图中信息解答下列问题： （1）求这天的温度y与时间的函数关系式； （2）求恒温系统设定的恒定温度； （3）若大棚内的温度低于不利于新品种水果的生长，问这天内，相对有利于水果生长的时间共多少小时？ 四、解答题（本大题共3题，第23题10分、第24题12分，第25题12分，满分34分） 23. 已知：如图，点在上，垂直平分线段． （1）求证：； （2）连接，求证：是等腰直角三角形． 24. 如图，在平面直角坐标系中，点、分别在函数（）、（，为常数）的图象上，轴，垂足为，，． （1）求的值； （2）当点在函数（）的图象上，且，求点的坐标； （3）在（2）的条件下，如果轴上有一点，使得是等腰三角形，请直接写出所有满足条件的点的坐标． 25. 如图，在中，点D在边上，将沿所在直线翻折，点A恰好与边的中点E重合． （1）与之间有怎样的数量关系，并说明理由； （2）当时，连接，设，求y关于x的表达式； （3）当，时，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $