全概率之马尔科夫链问题专项训练-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

全概率之马尔科夫链问题专项训练 1．甲、乙、丙、丁4人做传接球训练，球从甲手中开始，等可能地随机传向另外3人中的1人，接球者接到球后再等可能地随机传向另外3人中的1人，如此不停地传下去，假设传出的球都能被接住.记第次传球之后球在甲手中的概率为，易知.下列选项正确的是（    ） A． B．为等比数列 C． D．第4次传球后，球落在甲手中的不同传球方式有20种 2．学校食堂每天中午都会提供A，B两种套餐供学生选择（学生只能选择其中的一种），经过统计分析发现：学生第一天选择A套餐的概率为，选择B套餐的概率为．而前一天选择了A套餐的学生第二天选择A套餐的概率为，选择B套餐的概率为；前一天选择B套餐的学生第二天选择A套餐的概率为，选择B套餐的概率也是，如此反复．记某同学第n天选择A套餐的概率为，选择B套餐的概率为．30天后，记甲、乙、丙三位同学选择B套餐的人数为X，则下列说法中正确的是（   ） A． B．数列是等比数列 C． D． 3．一只LED灯能闪烁红、黄、蓝三种颜色的光，受智能程序控制每隔1秒闪一次光，相邻两次闪光的颜色不相同.若某次闪红光，则下次有的概率闪黄光；若某次闪黄光，则下次有的概率闪蓝光；若某次闪蓝光，则下次有的概率闪红光.已知第1次闪光为红光. (1)求第4次闪光为红光的概率； (2)求第次闪光为红光的概率. 4．甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若末命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5． (1)求第2次投篮的人是乙的概率； (2)求第i次投篮的人是甲的概率． 5．甲、乙两个袋子里各有1个白球和1个黑球，每次独立地从两个袋子中随机取出1个球相互交换后放回袋中，若第次交换后，甲袋中两个球颜色相同，记，否则，． (1)求的概率； (2)求的概率； (3)记，求． 6．现有甲、乙两个袋子，每个袋子中均装有大小、形状、质地完全相同的个黑球和个红球，若每次分别从两个袋子中随机摸出个球互相交换后放袋子中，重复进行次此操作．记第次操作后，甲袋子中红球的个数为． (1)求的分布列和数学期望； (2)求第次操作后，甲袋子中恰有个红球的概率． 7．甲､乙两人进行象棋比赛，赛前每人发3枚筹码.一局后负的一方，需将自己的一枚筹码给对方；若平局，双方的筹码不动，当一方无筹码时，比赛结束，另一方最终获胜.由以往两人的比赛结果可知，在一局中甲胜的概率为0.3､乙胜的概率为0.2. (1)第一局比赛后，甲的筹码个数记为，求的分布列和期望； (2)求四局比赛后，比赛结束的概率； (3)若表示“在甲所得筹码为枚时，最终甲获胜的概率”，则.证明：为等比数列. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 1．BC 2．ABD由于每人每次只能选择A，B两种套餐中的一种，所以，故A正确．依题意，，即, 则， 又因为时，，所以数列是以为首项，以为公比的等比数列，所以，，， 当时，，所以，，． 故BD正确，C错误， 3．（1）由题意，前4次闪光的顺序为“红黄蓝红”或“红蓝黄红”， 所以. （2）设事件表示“第n次闪光为红光”，事件表示“第n次闪光为黄光”，事件表示“第n次闪光为蓝光”，且，，则， 由题意知，当时， ， 即，整理得， 所以， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以， 故，即第次闪红光的概率为. 4．（1）记“第次投篮的人是甲”为事件，“第次投篮的人是乙”为事件， 所以， . 则第2次投篮的人是乙的概率为0.6. （2）设，依题可知，，则 ， 即， 构造等比数列， 设，解得，则， 又，所以是首项为，公比为的等比数列， 即． 则第i次投篮的人是甲的概率为. 5．（1）设，则． 由于第一次取球之前，两个袋子中的两球颜色各不相同，要使取球交换之后同一个袋子内的两球颜色仍然保持不同，需要取出的两球颜色相同，则． （2）当时，由（1）得，则． 很明显，，依据全概率公式，得 ， 则， 由（1）得，则， 则． （3）由（1）（2）得的分布列，如下表所示： 1 0 则， 由得 ． 6．（1）由题知，的所有可能取值为、、， ，，， 所以，的分布列为 所以，的数学期望． （2）由题知， 又， 所以，， 整理得，， 所以，， 又因为，所以，数列是首项为，公比为的等比数列， 所以，， 所以，，即. 7．（1）的所有可能取值为， ，，， 则的分布列为： 2 3 4 0.2 0.5 0.3 . （2）当四局比赛后，比赛结束且甲胜时，第四局比赛甲胜，前三局比赛甲2胜1和， 其概率为：. 当四局比赛后，比赛结束且乙胜时，第四局比赛乙胜，前三局比赛乙2胜1和， 其概率为：， 所以四局比赛后，比赛结束的概率为. （3）因为表示“在甲所得筹码为枚时，最终甲获胜的概率”，， 在甲所得筹码为枚时，下局甲胜且最终甲获胜的概率为， 在甲所得筹码为枚时，下局平局且最终甲获胜的概率为， 在甲所得筹码为枚时，下局乙胜且最终甲获胜的概率为， 根据全概率公式得， 所以，变形得，因为， 所以，同理可得， 所以为等比数列. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $