精品解析：黑龙江哈尔滨市第六中学校2025-2026学年高二下学期3月阶段性检测考试数学试题

哈尔滨市第六中学校2024级高二下学期 3月阶段性检测考试 数学试题 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．) 1. 命题p：一个内角为．命题q：的三内角的度数成等差数列．则（     ） A. p是q的充分不必要条件 B. p是q的必要不充分条件 C. p是q的充要条件 D. p是q的既不充分也不必要条件 2. 已知数列等比数列，若，，则（     ） A. B. 4 C. D. 8 3. 已知数列为等差数列，前n项和为，若，则（     ） A. 12 B. 16 C. 20 D. 24 4. 已知数列满足，则数列的最小项是第（    ）项 A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 5. 已知等比数列的前n项和为，则下列结论一定成立的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 6. 已知等比数列的公比，前项和为，且，，成等差数列，若，则（    ） A. B. 4 C. D. 2 7. 正项等比数列的前项和为，，，则等于（　　） A. 90 B. 50 C. 40 D. 30 8. 设是数列的前n项和，若，则＝（       ） A. B. C. D. 二、多选题(本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分．) 9. 下列说法中，正确的是（     ） A. 若，则成等比数列 B. 若数列为等差数列，则数列为等比数列 C. 若等比数列的前项和，则 D. 等差数列中，若，则 10. 已知等差数列的首项为，公差为，前项和为，若，则下列说法正确的是（     ） A. 的公差为 B. 当时，最大 C. 使得成立的最小自然数 D. 数列中最小项为 11. 任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）.如取正整数，根据上述运算法则得出，共需经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”）.现给出冰雹猜想的递推关系如下：，且（为正整数），设数列的前项和为，则下列说法正确的有（    ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，要经过12步雹程使得 D. 若，则所有可能的取值集合为 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分．) 12. 设数列的前项和，则________. 13. 用砖砌墙，第一层用去了全部砖块的一半多一块，第二层用去了剩下的一半多一块，以此类推，每一层都用去了上次剩下砖块的一半多一块，到第8层恰好把砖块用完，则此次砌墙一共用了______块砖. 14 若等差数列满足，则_____________. 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答时要求写出必要的文字说明证明过程演算步骤．） 15. 设等差数列的前项和为，等比数列的前项和为，. （1）若，求数列和的通项公式； （2）若，求. 16. 已知数列的首项，且满足． （1）证明：数列为等比数列，并求出数列的通项公式； （2）若数列的前项和小于120，求的最大值． 17. 在数列中，，，，且等差数列. （1）求的值和数列的通项公式； （2）证明：. 18. 已知数列是公差为正数等差数列，其前项和为，且，. （1）求数列的通项公式； （2）数列满足，求数列的前项和； （3）若对任意恒成立，求实数的取值范围． 19. 在数列的任意相邻两项之间插入这两项的和，称为对数列进行一次“和生长”，插入这两项的积，称为对数列进行一次“积生长”．现对数列分别进行两种操作：进行一次“和生长”得到数列，两次“和生长”得到数列；进行一次“积生长”得到数列，两次“积生长”得到数列．进行次“和生长”后得到的数列为，进行次“积生长”后得到的数列为．记． （1）当时，求的值； （2）证明：数列为等比数列； （3）求数列的前项和． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 哈尔滨市第六中学校2024级高二下学期 3月阶段性检测考试 数学试题 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．) 1. 命题p：的一个内角为．命题q：的三内角的度数成等差数列．则（     ） A. p是q的充分不必要条件 B. p是q的必要不充分条件 C. p是q的充要条件 D. p是q的既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【详解】设的三个内角为，且. ①若成立，即成等差数列，则. 结合，得，，故成立，即. ②若成立，不妨设，则， 所以成等差数列，即成立，故. 因此，是充要条件. 2. 已知数列为等比数列，若，，则（     ） A. B. 4 C. D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】由等比数列通项公式将条件转化为和的等式，作除法即可求得，进而可求解. 【详解】由题意得，解得， 则. 3. 已知数列为等差数列，前n项和为，若，则（     ） A. 12 B. 16 C. 20 D. 24 【答案】A 【解析】 【分析】利用等差数列的性质和等差数列前项和公式，化简求得的值. 【详解】因为，所以 则. 4. 已知数列满足，则数列的最小项是第（    ）项 A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】分析数列的单调性，确定数列中最小的项. 【详解】由； 由. 所以数列中，当时；当时， 所以数列中，最小. 即数列的最小项是第8项. 5. 已知等比数列的前n项和为，则下列结论一定成立的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】AB利用等比数列的通项公式判断；C利用等比数列的前项和公式判断；D取特殊数列判断. 【详解】对于A，因为，所以，故A错误； 对于B，因为，所以，故B错误； 对于C，由，得， 当时，则，所以， 当时，则， 所以， 综上所述，若，则，故C正确； 对于D，当时，，满足， 此时，故D错误. 6. 已知等比数列的公比，前项和为，且，，成等差数列，若，则（    ） A. B. 4 C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，利用等比数列的前项和公式，化简得到，求得，再根据，求出，即可得解. 【详解】由等比数列的前项和公式， 可得， 因为，，成等差数列，可得， 整理得，即，即， 所以，解得或（舍去）， 由，可得， 所以. 故选：D. 7. 正项等比数列的前项和为，，，则等于（　　） A. 90 B. 50 C. 40 D. 30 【答案】B 【解析】 【分析】由，可得，由等比数列前n项和性质可得，代入求解即可. 【详解】解：因为是正项等比数列的前项和， 所以， 所以， 又因为，， 所以， 所以， 解得或(舍). 故选：B. 8. 设是数列的前n项和，若，则＝（       ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】递推条件后相减构造出，即可将问题转化为，利用幂指数运算与等差数列的前项和即可求解. 【详解】由题意得，则， 两式相减得，其中， 则有， 则. 二、多选题(本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分．) 9. 下列说法中，正确的是（     ） A. 若，则成等比数列 B. 若数列为等差数列，则数列为等比数列 C. 若等比数列前项和，则 D. 等差数列中，若，则 【答案】BD 【解析】 详解】对于A，当时，满足，但，，不成等比数列，故A错误; 对于B，数列为等差数列，设等差数列的公差为，则 ，且首项 数列是为首项，为公比的等比数列，故B正确; 对于C，， 当时，; 当时， 数列为等比数列，，即，解得，故C错误; 对于D，数列为等差数列，设等差数列的公差为， 又，，即 ，， ，故D正确. 10. 已知等差数列的首项为，公差为，前项和为，若，则下列说法正确的是（     ） A. 的公差为 B. 当时，最大 C. 使得成立的最小自然数 D. 数列中最小项为 【答案】ACD 【解析】 【分析】通过判断，，的正负，使用判断公差的正负，并分析，的正负情况，以的取值分类讨论的最小项. 【详解】因为，所以，，， ，，，选项正确； ，，是前项和的最大值，而非，选项错误； 因为，，所以使得成立的最小自然数，选项正确； 当时，，，， 当时，，，， 当时，，，所以， 当时，，，，所以数列中最小项为，选项正确. 故选： 11. 任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）.如取正整数，根据上述运算法则得出，共需经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”）.现给出冰雹猜想的递推关系如下：，且（为正整数），设数列的前项和为，则下列说法正确的有（    ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，要经过12步雹程使得 D. 若，则所有可能的取值集合为 【答案】BCD 【解析】 【分析】该题以冰雹猜想递推关系为背景,考查数列周期性、求和与逆向推理. 【详解】选项A：若，则，，，，易得周期为， 即，不是，故A错误； 选项B：周期为3，一个周期和为，因为， 故，B正确； 选项C：，依次得： ， 共12步到1，C正确； 选项D：逆推，依次往前推得所有可能初始值： 已知，由后往前推. 逆推规则： 设，若为偶数，则； 若能被3整除且结果为正奇数，则,所以递推如下： ①由：， ②由：， ③由：或， (1)取， ④由：， ⑤由：或， ⑥分两种情况： 若，则；或， 若，则；或； (2) 取， ，；，； ① ②， 的所有可能取值为，D正确. 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分．) 12. 设数列的前项和，则________. 【答案】 【解析】 【分析】利用数列的通项与前n项和的关系求解. 【详解】数列的前项和， 当时，， 当时，， 因为适合上式，所以. 故答案： 13. 用砖砌墙，第一层用去了全部砖块的一半多一块，第二层用去了剩下的一半多一块，以此类推，每一层都用去了上次剩下砖块的一半多一块，到第8层恰好把砖块用完，则此次砌墙一共用了______块砖. 【答案】510 【解析】 【分析】通过建立剩余砖块数的递推关系，构造等比数列求解通项，再利用第8层恰好用完的条件建立方程，最终求出砖块总数. 【详解】设第层用完后剩余砖块数为，总数为，则，由题可知递推关系为. 设，展开得. 与原式比较系数，得，解得. 于是数列是首项为，公比为的等比数列. 通项公式为. 由题可知第8层用完砖块，即，代入得：. 解得. 14. 若等差数列满足，则_____________. 【答案】 【解析】 【详解】因为数列为等差数列，且， 所以， 所以， 同理， 又， 所以. 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答时要求写出必要的文字说明证明过程演算步骤．） 15. 设等差数列的前项和为，等比数列的前项和为，. （1）若，求数列和的通项公式； （2）若，求. 【答案】（1） （2）21或 【解析】 【小问1详解】 设等差数列的公差为，等比数列的公比为，且不为0. 由，，得，即. 由，得，即. 联立，解得(舍去)，或. 故，； 【小问2详解】 由，得. 即，解得或. 当时，，； 当时，，. 综上所述，或. 16. 已知数列的首项，且满足． （1）证明：数列为等比数列，并求出数列的通项公式； （2）若数列的前项和小于120，求的最大值． 【答案】（1）答案见解析 （2） 【解析】 【小问1详解】 由题可知，且， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列． 所以，即，所以 【小问2详解】 由（1）知，，则， 则， 令，整理得， 因为函数在上单调递增，在上单调递减 所以函数在上单调递增 所以易得在上单调递增. 且， 所以，的最大值为． 17. 在数列中，，，，且是等差数列. （1）求的值和数列的通项公式； （2）证明：. 【答案】（1）， （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）设差分构造等差数列，通过等差中项求出首项和公差，进而可求的通项公式； （2）将通项裂项为相邻两项之差，通过裂项相消求和，进而证明不等式成立. 【小问1详解】 设，则， 因为是等差数列，即是等差数列， 则有，即，解得. ，则的公差为2，首项为6，则，即， 则 . 【小问2详解】 由（1）知，， 则 ， 则， 因为，则，则，得证. 18. 已知数列是公差为正数的等差数列，其前项和为，且，. （1）求数列的通项公式； （2）数列满足，求数列的前项和； （3）若对任意恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用等差数列通项公式与前项和建立方程组，求出首项与公差，进而得到通项； （2）按奇偶分类写出的具体表达式，再分别对为偶数和奇数情况求和，得到分段形式的； （3）计算的分段表达式，转化为关于的最小值问题，由此求解即可. 【小问1详解】 设等差数列的首项为，公差为， 由题意得，，解得：， ； 【小问2详解】 由（1）知， 当为偶数时， 当为奇数时，为偶数， 所以 【小问3详解】 当为偶数时，得 当时，有最小值，所以 当为奇数时，，所以 因为单调递增，单调递减，单调递减，单调递增， 则单调递增， 所以当时，有最小值，所以． 综上，实数的取值范围是 19. 在数列的任意相邻两项之间插入这两项的和，称为对数列进行一次“和生长”，插入这两项的积，称为对数列进行一次“积生长”．现对数列分别进行两种操作：进行一次“和生长”得到数列，两次“和生长”得到数列；进行一次“积生长”得到数列，两次“积生长”得到数列．进行次“和生长”后得到的数列为，进行次“积生长”后得到的数列为．记． （1）当时，求的值； （2）证明：数列为等比数列； （3）求数列的前项和． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）利用积生长构造出等比数列，得到的表达式进行求解； （2）结合题意构造数列证明即可； （3）通过构造数列得到数列的通项公式，再求出的通项公式，整理得到，利用错位相减法和公式法对数列求和即可. 【小问1详解】 设第次“积生长”后共插入项，即， 共有个间隔，且，则第次“积生长”后再插入项， 则，可得，且， 故数列是以首项为，公比为的等比数列， 则，故， 所以当时，； 【小问2详解】 设第次“和生长”后得到的数列各项之和为， 则第次“和生长”后，新插入的各项之和为， 故， . 而，是以为首项，为公比的等比数列； 【小问3详解】 设第次“积生长”后得到的数列各项之积为， 则. 第次“积生长”后，新插入的各项之积为 ， 故， 因此， ， 即是以为首项，为公比的等比数列， ， 由（2）可得， ， 记， 则， ， ， 则数列的前项和． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $