第1章 平面向量及其应用 单元测试卷-2025-2026学年高一下学期数学湘教版必修第二册

湘教版高中数学必修第二册 第一章：平面向量及其应用 单元测试卷 命题人：李文元 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 班级： 姓名： 成绩： 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：湘教版（2019）必修第二册第一章：平面向量及其应用 第一部分（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．下列说法正确的是（    ） A．长度一样的两个向量相等 B．平行的两个向量为共线向量 C．零向量的大小为0且没有方向 D．方向相反的两个向量互为相反向量 【答案】B 【分析】根据相等向量、共线向量（平行向量）、零向量、相反向量的定义逐项分析判断即可. 【详解】选项A：相等向量是指它们的长度相等且方向相同，故A错误； 选项B：平行向量与共线向量是同一概念，若两个非零向量方向相同或相反，则称这两个向量为共线向量或平行向量. 零向量与任一向量共线，故B正确； 选项C：长度为0的向量称为零向量，任何方向都可以作为零向量的方向，故C错误； 选项D：若两个向量的长度相等、方向相反，则称这两个向量互为相反向量，故D错误. 故选：B. 2．已知菱形的边长为1，，则（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】A 【分析】根据题意可得，结合向量的减法运算和模的定义求解. 【详解】如图：因为菱形的边长为1，，所以是正三角形，故，所以. 故选：A 3．如图，正四面体中，，，，为的中点，点在上，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量的加减法法则和数乘运算，将用已知向量表示出来. 【详解】根据向量加法法则，，因为为的中点，所以.又，所以， ，所以.故选：A 4．已知向量，，，则（   ） A．3 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】运用向量共线的坐标表示即可得解. 【详解】因为，，所以，解得，故选：D. 5．已知向量，满足，，，则向量，的夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用向量夹角的余弦公式求解即可. 【详解】，，，，所以， 故选：A． 6．在三角形ABC中，内角，，的对边分别为，，，且，，则角（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将代入，再结合余弦定理化简即可. 【详解】已知，又因为，所以， 又由余弦定理，又因为，所以，故选：D. 7．已知向量 满足，，则的最大值为（      ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】设且，根据题意，得到四边形是边长为2的菱形，再作，得到点在以为圆心，半径为1的圆上，结合图形和圆的性质，即可求解. 【详解】如图所示，设向量，作向量， 因为，所以四边形是边长为2的菱形，且， 再作，则， 所以点在以为圆心，半径为1的圆上， 结合图形，当三点共线时，即点在处时，取得最大值， 所以取得最大值.故选：C. 8．在三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则边上的中线长为（    ） A． B． C．6 D．10 【答案】B 【分析】根据余弦定理和数量积的定义得，然后利用中线向量表示及模的运算求解中线长即可. 【详解】中，由余弦定理得， 又，所以，所以，记边上的中点为M， 因为，所以，所以.故选：B 2、 多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列关于平面向量的说法中，正确的是（    ） A．若，，则 B．若是一组基底，则也是一组基底 C．若，，是平面上不同的三点，且，则，，三点共线 D．若，则存在唯一的实数，使得 【答案】BC 【分析】根据平面向量共线的定义、基底的定义逐项判断即可. 【详解】因为，当时，不一定共线，所以A错误； 因为是一组基底，所以不共线， 假设共线，则存在实数使得，那么， 则共线，与已知条件矛盾，所以不共线，所以也是一组基底，B正确； 由可知向量共线，结合点B为公共点，故A、B、C三点共线，C正确； 因为，若且，则不存在实数使得，所以D错误.故选：BC. 10．已知三角形ABC中，是边上靠近的三等分点，为的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，，设，，其中，，则下列结论正确的是：（   ） A． B． C． D．的最小值为 【答案】ABC 【分析】对于AB，根据平面向量的线性运算求解判断即可；对于C，由A知，，利用三点共线可得，即可判断；对于D，由C知，，根据基本不等式“1”的妙用求解判断即可. 【详解】对于A，由题意得，，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，由A知，， 由于M、O、N三点共线，可知，即，故C正确； 对于D，由C知，，且，， 所以， 当且仅当 ，即时取得等号， 所以的最小值为，故D错误.故选：ABC    11．在面积为的三角形ABC中，，则（    ） A． B． C． D．三角形ABC的外接圆半径为 【答案】AB 【分析】A利用正弦定理可得；B利用面积公式以及数量积的定义可求出；C由余弦定理以及正弦定理可得，结合取等条件可得；D根据C选项求出边长，再结合正弦定理即可. 【详解】对于A，由以及正弦定理得， 又，则，故A正确； 对于B，由得， 于是由面积得，得 于是，故B正确， 对于C，由余弦定理以及正弦定理得 ， 可知时取等，此时由得，即，故C错误； 对于D，由C可知，，则， 三角形ABC的外接圆半径，故D错误.故选：AB 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知向量不共线，且向量与方向相同，则实数的值为 . 【答案】 【分析】根据两个向量方向相同可直接构造方程组求得结果. 【详解】与方向相同， 存在正实数，使得， 又向量不共线，，解得：（舍去）或，的值为. 故答案为：. 13．记三角形ABC的内角，，的对边分别为，，，若，则 ． 【答案】 【分析】根据，利用正弦定理得到，再利用余弦定理求得. 【详解】因为，由正弦定理得， 所以，因为，所以.故答案为： 14．已知，是非零向量，是单位向量，且，，则的最小值是 . 【答案】 【分析】将向量夹角和模长条件分别转化为射线和圆，将向量差的最小值问题转换为几何上的点到曲线距离问题，利用点到直线的距离公式求出圆心到射线的距离，结合圆上点到直线的距离规律，通过比较半径得到最终的最小值. 【详解】设，由，可知的终点在从原点出发、与轴夹角为的射线上，该射线为（），即， 对于，由得：即的终点在以为圆心、半径的圆上， 表示射线上的点与圆上的点的距离， 问题转化为：求圆上的点到射线的最小距离，令射线的方程：， 圆心到该直线的距离为： 代入验算，垂足坐标为，满足且在射线上，因此可用该距离公式， 由对称性可知当射线的方程为时，结果一样， 因为圆心到射线的距离大于圆的半径， 圆上点到射线的最小距离为 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）如图所示，矩形的对角线相交于点O，点E在线段上，且，若．    (1)求的值； (2)若，，求向量与向量夹角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）已知为矩形，，所以，结合图形显示关系得出，从而得出的值，进而求出. （2）由（1）知，因为为矩形，则，结合题给条件，，求出以及，再根据求出两向量夹角的余弦值. 【详解】（1）已知为矩形，，所以， 所以， 即，，所以． （2）由（1）知：，因为为矩形，则， 所以， 所以，所以， 所以， 所以， 即向量与向量夹角的余弦值为：． 16．（15分）如图，在三角形ABC中，点，，分别在边，，上，且，，交于点.已知.    (1)若是三角形ABC所在平面内任意一点，试用，表示； (2)若，，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量的线性运算可得； （2）设，则可用及表示，再利用平面向量基本定理可求. 【详解】（1）证明：因为所以， 所以，整理得； （2）设，则 ， 又， 由平面向量基本定理得所以，解得 17．（15分）已知向量． (1)分别求出的值； (2)若，求实数的值； (3)若，求实数的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用平面向量模的运算公式进行求解即可； （2）根据平面向量线性运算的坐标表示公式进行求解即可； （3）根据平面向量线性运算和共线的坐标表示公式进行求解即可. 【详解】（1）因为，所以，. （2）因为， 所以由 ，所以. （3）因为，所以，， 因为，所以. 18．（17分）已知，，分别为三个内角，，的对边，，. (1)求的值； (2)求的值； (3)若三角形的面积为14，求． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用正弦定理，结合同角的三角函数关系中的平方和关系进行求解即可； （2）运用两角差的余弦公式、余弦和正弦的二倍角公式进行求解即可； （3）运用三角形面积公式，结合余弦定理、正弦定理进行求解即可. 【详解】（1）因为，所以，所以， 由正弦定理，得. （2）由（1）可知，，所以， ， 于是. （3）因为，三角形的面积为14， 所以有， 由（1）可知， 由余弦定理可知， 由正弦定理可知. 19．（17分）三角形ABC中，角的对边分别为．已知． (1)求的大小； (2)若，从下列三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求的面积． ①边上的中线长为； ②； ③． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别作答，按第一个解答计分． 【答案】(1) (2)①；②不唯一，不能选；③. 【分析】（1）利用正弦定理边角化及二倍角公式，结合特殊值对应特殊角即可求解； （2）①根据（1）的结论及余弦定理，结合三角形的面积公式即可求解； ②根据（1）的结论及余弦定理即可求解； ③根据（1）的结论及余弦定理，结合三角形的面积公式即可求解； 【详解】（1）由及正弦定理，得 由于，两边约去,得 利用二倍角公式得 因,可约去，得，即. 在内解得，所以. （2）由（1）知，. 若选条件①：设BC中点为D，则AD为BC边上的中线. 在中，由余弦定理得，即，解得或（舍）. 若选条件②: 在中，由余弦定理得，即，解得或. 此时有两解，不满足“存在且唯一确定”，此条件不符合要求. 若选条件③: 由与余弦定理联立得，解得或（舍）. 学科网（北京）股份有限公司 $湘教版高中数学必修第二册 第一章：平面向量及其应用单元测试卷 命题人：李文元 (考试时间：120分钟试卷满分：150分) 班级： 姓名： 成绩： 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答 题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.考试范围：湘教版(2019)必修第二册第一章：平面向量及其应用 第一部分（选择题共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 1.下列说法正确的是（) A.长度一样的两个向量相等 B.平行的两个向量为共线向量 C.零向量的大小为0且没有方向 D.方向相反的两个向量互为相反向量 【答案】B 【分析】根据相等向量、共线向量（平行向量）、零向量、相反向量的定义逐项分析判断即 可 【详解】选项A:相等向量是指它们的长度相等且方向相同，故A错误： 选项B:平行向量与共线向量是同一概念，若两个非零向量方向相同或相反，则称这两个向 量为共线向量或平行向量.零向量与任一向量共线，故B正确： 选项C:长度为0的向量称为零向量，任何方向都可以作为零向量的方向，故C错误： 选项D:若两个向量的长度相等、方向相反，则称这两个向量互为相反向量，故D错误 故选：B 2.已知菱形ABCD的边长为1，∠BAD=60°，则AB-AD=() A.1 B.2 C.3 D.2 【答案】A 【分析】根据题意可得BD=1,结合向量的减法运算和模的定义求解 【详解】如图：因为菱形ABCD的边长为1，∠BAD=60°，所以△ABD是正三角形，故BD=1, 所以B-护1.故选：A 3.如图，正四面体OABC中，OA=a,OB=b,OC=c,M为OA的中点， 点N在BC上，且BN=2NC,则MN=() + B.Ia+iB+ic 233 1÷1,2- 1+21÷ C. -a- 二b+二C D. 二a+-b+-c 333 2 3 3 【答案】A 【分析】根据向量的加减法法则和数乘运算，将M用已知向量α，五，c表示出来 【详解】根据向量加法法则，M瓜=MO+ON,因为M为OA的中点，所以M0=-OA=- 又丽=2C,所以丽=8Goc-o网c-, ow=05+w-6+号长-利-号，所以w=A6+oNa+br+子故选：A 3 3 3 4.已知向量a=（-1,2),石=(6，m),（2a+b)i,则m=（) 12 A.3 B.2 C. 5 D.-12 【答案】D 【分析】运用向量共线的坐标表示即可得解。 【详解】因为2a+万=(4，m+4),(2ā+b)/仍，所以4x=H4x6,解得m=-12,故选：D. 5.已知向量ā，满足同=5，-=1，a-=V2,则向量ā，的夹角的余弦值为() A.3 B.- 3 D.V2 3 3 C. 【答案】A 【分析】利用向量夹角的余弦公式求解即可。 【详解】：同=5，=1，a-=V2, (a-6=a-=-2a6+5-3-25x1×cos(a.)+1=2,所以co-5 故选：A. 6.在三角形ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且-2c=c2+4-b2,a=2, 则角B=() 4君 B. C. D. 3 【答案】D 【分析】将a=2代入-2c=c2+4-b2,再结合余弦定理化简即可. 【详解】已知-2c=c2+4-b2,又因为a=2,所以c2+a2-b2=-2c, 又由余弦定理6sB-口+公-产}，又因为B=(Q刊，所以B-赦选：D 2ac 4c 2 7.已知向量ab,c 满足==a+=2,a+五-1，则日的最大值为() A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】C 【分析】设OA=a,OB=五且OC=a+b,根据题意，得到四边形OAcB是边长为2的菱形， 再作OP=c,得到点P在以C为圆心，半径为1的圆上，结合图形和圆的性质，即可求解 【详解】如图所示，设向量OA=a,OB=b,作向量OC=a+b, 因为d==a+b=2,所以四边形QAc8是边长为2的菱形，且0C=2, 再作OP=c,则-a+列=oP-oc=P1, 所以点P在以C为圆心，半径为1的圆上， 结合图形，当O,C,P三点共线时，即点P在R处时，OP取得最大值2+1=3， 所以取得最大值3.故选：C B 0 8.在三角形ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,若AB.AC=-22,a=12,则边 BC上的中线长为() A.√i B.V14 C.6 D.10 【答案】B 【分析】根据余弦定理和数量积的定义得b2+c2=100,然后利用中线向量表示及模的运算 求解中线长即可 【详解】△ABC中，由余弦定理得122=b2+c2-2 bc cos4, 又AB.AC=-22,所以bc cosA=-22,所以b2+c2=100,记边BC上的中点为M, 因为-西+ac),所以-++2cosA川-o0-4)-14,所以 A☑=V14.故选：B 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.下列关于平面向量的说法中，正确的是() A.若a/1b,b11,则a11c B.若{a+i,ā-是一组基底，则{a,}也是一组基底 C.若A,B,C是平面上不同的三点，且AB/BC,则A,B,C三点共线 D.若a/1b，,则存在唯一的实数，使得i=a 【答案】BC 【分析】根据平面向量共线的定义、基底的定义逐项判断即可 【详解】因为ā/1b,b/1c,当B=0时，a,c不一定共线，所以A错误： 因为{a+b,a-是一组基底，所以a+i,a-i不共线， 假设a,b共线，则存在实数m使得a=b,那么a+b=(m+1)b,a-b=m-15, 则ā+五，a-五共线，与已知条件矛盾，所以āb不共线，所以{a,b也是一组基底，B正确： 由AB/BC可知向量共线，结合点B为公共点，故A、B、C三点共线，C正确： 因为a/1仍，若a=0且b≠0，则不存在实数元使得b=0,所以D错误.故选：BC I0.已知三角形ABC中，O是BC边上靠近B的三等分点，Q为AO的中点，过点O的直线 分别交直线AB,AC于不同的两点M,N,设AB=mAM,AC=AN,其中>0，n>0, 则下列结论正确的是：（) A.A0-24B+LAC B.BO--24B+1AC 33 3 C.2m+n=3 D.1+1的最小值为3+2N5 nn 【答案】ABC 【分析】对于AB,根据平面向量的线性运算求解判断即可；对于C,由A知， 40:智，利用三点共线可得智1，即可：对于D,由c刻智号背1 3 3 根据基本不等式“1”的妙用求解判断即可 【详解】对于A由题意得，A0-西+B0-亚+C-A6+(aC-西)号+号4C, 故A正确： 对于B.0-函+0-孤+o-4B+子+c-亚+。c,故B正确： 对于C,由A知，40=B+月 3 3 由于M,0、N三点共线，可知2m+”=1,即2m+n=3,故C正确： 3T31 对于D.由C知，+兮1，且0>0>0 所以0到票+2份 巴2m142足 mnmn八333'3 3 当且仅当2”。即132V2,=36W5-)时取得等号。 3m 3n 2 所以上+的最小值为1+2W5,故D错误故选：ABC 3 > 1.在面积为25的三角形ABC中，sim4+sinB=3sinC,coC=g,则（） A.AC+BC<4ABcosC B.AC.BC=7 C.AB=AC D.三角形ABC的外接圆半径为5 4 【答案】AB 【分析】A利用正弦定理可得：B利用面积公式以及数量积的定义可求出；C由余弦定理以 及正弦定理可得c0sC≥g,结合取等条件可得：D根据C选项求出边长，再结合正弦定理 即可 【详解】对于A,由sinA+sinB=3sinC以及正弦定理得BC+AC=3AB, 盟1V件00过FP>O058F,2=OS03-8/-Xg=/s=Og+O/M‘二=OS00X 7 对于B,由C∈(0，m)得sinC=-cosC-4y5 9 于是由面积得2V2-14C-BCsi血C=254C-BC,得AC-BC=9 2 9 于是AC.BC=AC BCcosC=7,故B正确， 对于C,由余弦定理以及正弦定理得cosC=1C+BC-AB 2AC.BC sinA+sinB sin2A+sin2B- 8 sin2A+sinB） 3 9 1 8sinAsinB 1 7, 2sinAsinB 2sinAsinB 9 9sinAsinB 99 可知sinA=sinB时取等，此时由A+B∈(O,)得A=B,即BC=AC,故C错误： 对于D,由C可知，BC=4AC=3,则4B=AC+BC =2, 3 AB 29W2 三角形ABC的外接圆半径R= 2sinC 2×4V28,，故D错误故选：AB 9 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知向量a,b不共线，且向量a+乃与(2-1)ā+2b方向相同，则实数的值为 【答案】2 【分析】根据两个向量方向相同可直接构造方程组求得结果。 【详解】：a+5与(2-1)ā+2b方向相同， .存在正实数k,使得(-1)ā+2b=k(a+b)=a+k5, 「-1=k k=-2 k=1 又向量a6不共线，2k2,解得： 2=-1(舍去)或2=2的值为2 故答案为：2. 13.记三角形ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,C,若bsinB+csinC-asin4A=v2 bsinC, 则A= 【答案】乃 4 【分析】根据bsinB+csinc-sin4=V2 bsinC,利用正弦定理得到b'+c2-a2=√bc,再利用 余弦定理求得A=牙 【详解】因为bsinB+csinc-asinA=2 bsinC,由正弦定理得b2+c2-a2=Vc, 所以cosA= +口-5，因为A0),所以4=牙故答案为：牙 2bc 2 4 14。已知a,6是非零向量，©是单位向量，且位)-石，6个1，则收-的最小值 是 【答案】 2 【分析】将向量夹角和模长条件分别转化为射线和圆，将向量差的最小值问题转换为几何上 的点到曲线距离问题，利用点到直线的距离公式求出圆心到射线的距离，结合圆上点到直线 的距离规律，通过比较半径得到最终的最小值 【详解】设：-(L0),由◆a8◆石，可知ā的终点在从原点出发、与x轴夹角为名的射线 上，该射线为1：y=±5x(x≥0，即x士5y=0≥0)， 3 对于6，由5-3=1得：(x-3)2+y2=1,即万的终点在以C(3,0)为圆心、半径r=1的圆上， ā-表示射线I上的点A与圆c上的点B的距离， 问题转化为：求圆C上的点到射线I的最小距离，令射线1的方程：x-√3y=0(x≥0)， 3-3.0 3 圆心C(3,0)到该直线的距离为：d= V1+(3)月 2 代入验算，垂足坐标为 93W3 满足x≥0且在射线上，因此可用该距离公式， 44 由对称性可知当射线1的方程为x+√3y=0(x≥0)时，结果一样， 因为圆心到射线的距离d=?大于圆的半径，=1， 2 圆上点到射线的最小距离为d-1=21 1 故答案为：号 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分)如图所示，矩形ABCD的对角线相交于点O,点B在线段OB上，且OB=OB, 若AE=AB+LAD(,L∈R). E (1)求元-4的值： (2)若AB=2,AD=1,求向量A正与向量AB夹角的余弦值. 【容案】0A4} @9 【分析】(1)己知ABCD为矩形，OB=OB,所以B正=BO=BD,结合图形显示关系 3 得出AE=AB+LAD,从而得出2，的值，进而求出2-u (2)由(1)知4证=2AB+4D,因为ABCD为矩形，则ABAD=Dcos90'=0, 结合题给条件AB=2,AD=1,求出AE以及A正AB,再根据c0sAE,AB= AE·AB AEAB 求出 两向量夹角的余弦值， 【详解】(1)已知ABCD为矩形，OB=OB,所以BE=二BO=1BD, 3 所以A=0+m=+兮D=瓜+aD-到-号+4D=M+uD, 即22 3 （2由(D知：亚-亚+}D,因为4BcD为矩形，期∠B=0, 所以AB.AD=AAdc0s90=2x1×0=0, m以网亚}j-专而55。，所西 所以西西-亚+D西=西+西0-， 8 所以cos(AE,AB AFAB 3 4w17 AE AB 17 即向量A正与向量AB夹角的余弦值为： 4W17 17 16.(15分)如图，在三角形ABC中，点D,E,F分别在边AB,BC,AC上，且AE, 2 BF,CD交于点M.己知AD=。DB 3 B (I)若O是三角形ABC所在平面内任意一点，试用OA,OD表示OB: (2诺AF=4C,Cm=xCD,求x的值 、 【答案】(1)05=0D- 5 (2)x= 2 8 【分折】1)根据向量的线性运鲜可得O丽-0D-多0， 2 5 (2)设BM=yBF,则可用AB,AC及X,y表示AM,再利用平面向量基本定理可求x= 【详解】(1)证明：因为AD=D丽所以AD=2丽， 所以0D-aA-号(O丽-0网，整理得丽-00-0 (2)设BM=yBF,则AM=AB+BM=AB+yBF=AB+yAF-AB） =丽+34c-@y亚+ac, 又M-c+-4c+⑦-4c+而-a0)=Ac+居-4C-子+1-ac, 2 1-y= 由平面向量基本定理得所以 3y1-x 解得x= 8 17.(15分)己知向量a=1,3)五=(3,4)，c=1,-2). ①)分别求出，园的值： (2)若c=ma+nb,求实数m,n的值； (3)若（ā-b11(-b+kc),求实数k的值. 【答案】()同=0，=5 (2)m=-2,n=1 (3)k=-1 【分析】(1)利用平面向量模的运算公式进行求解即可： (2)根据平面向量线性运算的坐标表示公式进行求解即可： (3)根据平面向量线性运算和共线的坐标表示公式进行求解即可 【详解】(1)因为ā=1,3)，6=3,4)，所以=P+32=0,=32+4=5. (2)因为a=1,3),b=(3,4),c=1,-2), 所以由c=ma+b→(1，-2)=m(1,3)十n(3,4尸1，-2上u,31,41） 、m=-2 →(1，-2)=(m+3n,3+4n)户 1=m+3n→) -2=3m+4nn=1,所以m=-2,n-1 (3)因为a=1,3)nb=(3,4),c=(1,-2),所以a-b=（2,-1), -b+kc=(-3,-4)Hk,-2k)上(3+k,-4-2k), 因为(a-b/1(-b+kc,所以-2(-4-2h)=-(-3+h→k=-1 18.(17分)己知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边，asin B=4,cosA= 3 (1)求b的值： -2A的值： (2)求co83 (3)若三角形△ABC的面积为14，求sinC. 【答案】(1)5 2)245-7 37V5 50 10 【分析】(1)利用正弦定理，结合同角的三角函数关系中的平方和关系进行求解即可： (2)运用两角差的余弦公式、余弦和正弦的二倍角公式进行求解即可： (3)运用三角形面积公式，结合余弦定理、正弦定理进行求解即可. 【详解】(1)因为A∈(0，π)，所以sinA>0,所以sinA=V1-cos2A 5 a b 4b 由正弦定理，得 →asin B=bsinA=4→4= →b=5 sinA sin B 5湘教版高中数学必修第二册 第一章：平面向量及其应用单元测试卷 命题人：李文元 (考试时间：120分钟试卷满分：150分) 班级： 姓名： 成绩： 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答 题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.考试范围：湘教版(2019)必修第二册第一章：平面向量及其应用 第一部分（选择题共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题給出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的. 1.下列说法正确的是() A.长度一样的两个向量相等 B.平行的两个向量为共线向量 C.零向量的大小为0且没有方向 D.方向相反的两个向量互为相反向量 2.已知菱形ABCD的边长为1，∠BAD=60°，则AB-AD=() A.1 B.√2 C.5 D.2 3.如图，正四面体OABC中，OA=a,OB=b,OC=c,M为OA的中点，点N在BC上， 且BN=2NC,则MN=() 4+ 1-1-1- B. a+二b+ 3 23°3 D.-a+2+ 2 3 2 4.已知向量a=(-1,2),五=(6，m),(2a+)1i,则m=（) A.3 B.2 c号 D.-12 5.已知向量ā，6满足=5，=1，a-=V2,则向量a,6的夹角的余弦值为() A.5 B.-3 3 C. D. 2 3 2 6.在三角形ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且-2c=c2+4-b2,a=2, 则角B=() A.君 C. D. 2π 3 7.已知向量a,c满足同==a+=2,a+石-d=1,则日的最大值为() A.1 B.2 C.3 D.4 8.在三角形ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,若AB.AC=-22,a=12,则边 BC上的中线长为() A.11 B.V14 C.6 D.10 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.下列关于平面向量的说法中，正确的是() A.若a11b,b/1心，则a/1c B.若{a+b,a-是一组基底，则{a,b}也是一组基底 C.若A,B,C是平面上不同的三点，且AB/IBC,则A,B,C三点共线 D.若a/B,则存在唯一的实数入，使得b= I0.已知三角形ABC中，O是BC边上靠近B的三等分点，Q为AO的中点，过点O的直线 分别交直线AB,AC于不同的两点M,N,设AB=mM,AC=nAN,其中m>0,n>0, 则下列结论正确的是：() A.A0=24B+LAC 3 B.西-号西+6c C.2m+n=3 D.1+的最小值为3+2W5 nn 11.在面积为22的三角形ABC中，sA+snB=3inC,cosC=7 ,则() A.AC+BC<4ABcosC B.AC.BC=7 C.AB=AC D.三角形ABC的外接圆半径为 4 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知向量a,五不共线，且向量ā+仍与(2-1)ā+2b方向相同，则实数元的值为 13.记三角形ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若bsinB+csinC-sinA=V2 bsinC, 则A=」 14.已知a,8是非零向量，e是单位向量，且a,e)-无，b个1，则a-的最小值 是 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)如图所示，矩形ABCD的对角线相交于点O,点E在线段OB上，且OB=OB, 若AE=AB+LAD(,L∈R). B O D (1)求元-4的值： (2)若AB=2,AD=1,求向量AE与向量AB夹角的余弦值. 16.(15分)如图，在三角形ABC中，点D,E,F分别在边AB,BC,AC上，且AE, BF,CD交于点M.已知AD=2DB 3 D B E (1)若O是三角形ABC所在平面内任意一点，试用OA,OD表示OB: 2若AF=4C,Cw=CD,求x的值 17.(15分)已知向量a=1,3),i=(3,4),c=1,-2) (1)分别求出d,的值： (2)若c=ma+nb,求实数m,n的值： (3)若(a-11(-i+kC),求实数k的值. 18.(17分)已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,日，C的对边，aiB=4,cosA=3 (1)求b的值； ②求co(G24的值： (3)若三角形ABC的面积为14，求sinC. 19.(17分)三角形ABC中，角AB,C的对边分别为a,bc.已知csinB-√励sinC=0 (1)求∠C的大小： (2)若α=4，从下列三个条件中选择一个作为已知，使三角形ABC存在且唯一确定，求三 角形ABC的面积， ①BC边上的中线长为I9: ②c=V13: ③b2+c2=46. 注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别作 答，按第一个解答计分。 湘教版高中数学必修第二册 第一章：平面向量及其应用 单元测试卷 命题人：李文元 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 班级： 姓名： 成绩： 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：湘教版（2019）必修第二册第一章：平面向量及其应用 第一部分（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．下列说法正确的是（    ） A．长度一样的两个向量相等 B．平行的两个向量为共线向量 C．零向量的大小为0且没有方向 D．方向相反的两个向量互为相反向量 2．已知菱形的边长为1，，则（   ） A．1 B． C． D．2 3．如图，正四面体中，，，，为的中点，点在上，且，则（    ） A． B． C． D． 4．已知向量，，，则（   ） A．3 B．2 C． D． 5．已知向量，满足，，，则向量，的夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 6．在三角形ABC中，内角，，的对边分别为，，，且，，则角（   ） A． B． C． D． 7．已知向量 满足，，则的最大值为（      ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．在三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则边上的中线长为（    ） A． B． C．6 D．10 2、 多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列关于平面向量的说法中，正确的是（    ） A．若，，则 B．若是一组基底，则也是一组基底 C．若，，是平面上不同的三点，且，则，，三点共线 D．若，则存在唯一的实数，使得 10．已知三角形ABC中，是边上靠近的三等分点，为的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，，设，，其中，，则下列结论正确的是：（   ） A． B． C． D．的最小值为 11．在面积为的三角形ABC中，，则（    ） A． B． C． D．三角形ABC的外接圆半径为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知向量不共线，且向量与方向相同，则实数的值为 . 13．记三角形ABC的内角，，的对边分别为，，，若，则 ． 14．已知，是非零向量，是单位向量，且，，则的最小值是 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）如图所示，矩形的对角线相交于点O，点E在线段上，且，若．    (1)求的值； (2)若，，求向量与向量夹角的余弦值． 16．（15分）如图，在三角形ABC中，点，，分别在边，，上，且，，交于点.已知.    (1)若是三角形ABC所在平面内任意一点，试用，表示； (2)若，，求的值. 17．（15分）已知向量． (1)分别求出的值； (2)若，求实数的值； (3)若，求实数的值． 18．（17分）已知，，分别为三个内角，，的对边，，. (1)求的值； (2)求的值； (3)若三角形ABC的面积为14，求． 19．（17分）三角形ABC中，角的对边分别为．已知． (1)求的大小； (2)若，从下列三个条件中选择一个作为已知，使三角形ABC存在且唯一确定，求三角形ABC的面积． ①边上的中线长为； ②； ③． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别作答，按第一个解答计分． 学科网（北京）股份有限公司 $