36 课时精练(三十三) 几种简单几何体的表面积和体积-【正禾一本通】2024-2025学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套练习（湘教版2019）

课时精练(三十三)　几种简单几何体的表面积和体积 (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) [基础过关] 1．长方体的高为2，底面积等于12，过不相邻两侧棱的截面(对角面)的面积为10，则此长方体的侧面积为(　　) A．12 B．24 C．28 D．32 C　[设长方体底面矩形的长与宽分别为a，b，则ab＝12．又由题意知×2＝10，解得a＝4，b＝3或a＝3，b＝4．故长方体的侧面积为2×(4＋3)×2＝28．故选C．] 2．已知正四棱锥的底面边长是2，侧棱长是，则该正四棱锥的表面积为(　　) A． B．12 C．8 D．4 B　[如图所示，在正四棱锥SABCD中，取BC中点E，连接SE，则△SBE为直角三角形，所以SE＝＝＝2，所以表面积S＝S正方形ABCD＋4×S△SBC＝2×2＋4××2×2＝12．故选B．] 3．若正三棱台上、下底面边长分别是a和2a，棱台的高为a，则此正三棱台的侧面积为(　　) A．a2 B．a2 C．a2 D．a2 C　[如图，O1，O分别为上、下底面的中心，D，D1分别是AC，A1C1的中点，过D1作D1E⊥OD于点E．在直角梯形ODD1O1中，OD＝××2a＝a，O1D1＝××a＝a， ∴DE＝OD－O1D1＝a． 在Rt△DED1中，D1E＝a， 则D1D＝ ＝ ＝a． ∴S侧＝3×(a＋2a)a＝a2．故选C．] 4．已知AB，CD是某一棱长为2的正方体展开图中的两条线段，则原正方体中几何体ABCD的表面积为(　　) A．2＋4＋2 B．2＋2＋2 C．2＋2＋4 D．2＋4＋4 A　[由所给正方体的展开图得到直观图，如图： 则几何体ABCD为三棱锥，此三棱锥的表面积为：S△BCD＋S△ABC＋S△ADC＋S△ABD＝×2×2＋×2×2＋×2×2＋×2×2×＝2＋4＋2．故选A．] 5．如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为(　　) A． cm3 B． cm3 C． cm3 D． cm3 A　[设球的半径为R cm，根据已知条件，知正方体的上底面与球相交所得截面圆的半径为4 cm，球心到截面圆的距离为(R－2)cm， 所以由42＋(R－2)2＝R2，得R＝5， 所以球的体积为V＝πR3＝π×53＝(cm3)．] 6．如图，长方体ABCD－A1B1C1D1的体积是120，E为CC1的中点，则三棱锥E－BCD的体积是________． 解析：　设长方体的长、宽、高分别为a，b，c，则长方体的体积为abc＝120，三棱锥E－BCD的体积为S△BDC×c＝×ab×c＝abc＝10． 答案：　10 7．张衡(78年～139年)是中国东汉时期伟大的天文学家、文学家、数学家、地理学家，他的数学著作有《算罔论》，他曾经得出结论：圆周率的平方除以十六等于八分之五，已知正方体的外接球与内切球上各有一个动点A，B，若线段AB的最小值为－1，利用张衡的结论可得该正方体的内切球的表面积为________． 解析：　设正方体的棱长为a，正方体的内切球半径为r＝，正方体的外接球半径R满足：R2＝＋，则R＝a．由题意知R－r＝a－＝－1，则a＝2，R＝，r＝1，该正方体的内切球的表面积为4π，因为圆周率的平方除以十六等于八分之五，即＝，所以π＝，所以内切球的表面积为4． 答案：　4 8．一个长方体的过同一顶点的三个面的面积分别是，，，则这个长方体的体积为________，表面积为________________． 解析：　设长方体的棱长分别为a，b，c，则三式相乘可知(abc)2＝6， 所以长方体的体积V＝abc＝， 表面积为S＝2＋2＋2． 答案：　　2＋2＋2 9．如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，求三棱锥A1AB1D1的高． 解析：　设三棱锥A1AB1D1的高为h， 则VA1AB1D1＝h××(a)2＝． 又VA1AB1D1＝VB1AA1D1＝a×a2＝， 所以＝，所以h＝a， 所以三棱锥A1AB1D1的高为a． 10．如图，在三棱锥A－BCD中，三角形ABC和三角形BCD都是边长为2a的等边三角形，且AD＝2a，若从AB的中点M沿着三棱锥表面到达CD的中点N，求最短路线的长． 解析：　有四种展开形式： (1)沿AC把平面ABC和平面ACD展成一个平面图形，此时相对短的路线是线段MN． 延长DC，与过点M且与AC平行的直线交于点P，PM与BC相交于点Q． ∵M为AB的中点，∴Q为BC的中点，MQ＝AC＝a，QC＝a，∵AC2＋CD2＝AD2，∴∠ACD＝90°，又MP∥AC，∴∠QPC＝90°． 在Rt△QPC中，∠QCP＝90°－60°＝30°， PC＝a，PQ＝a． 在Rt△ACD中，AD＝2a，CD＝2a，CN＝a， 在Rt△MPN中，MP＝MQ＋QP＝a，PN＝PC＋CN＝a． 于是MN＝＝a． (2)沿BD把平面ABD和平面BDC展成一个平面图形，与(1)类似可以推得MN＝ a． (3)沿BC把平面ABC和平面BDC展成一个平面图形，构成菱形ABDC， 则MN∥BD，MN＝BD，∴MN＝2a． (4)沿AD把平面ACD和平面ABD展成一个平面图形，构成正方形ABCD，此时MN＝2a． ∵4＋>4，∴a>2a． ∴最短路线的长为2a． [能力提升] 11．已知正方体ABCDA1B1C1D1的各棱长均为2，下列结论不正确的是(　　) A．该正方体外接球的直径为2 B．该正方体内切球的表面积为4π C．若球O与正方体的各棱相切，则该球的半径为 D．该正方体外接球的体积为4 D　[若正方体的棱长为2，则：①若球为正方体的外接球，则外接球直径等于正方体体对角线长，即2R＝＝2，故A正确，外接球体积为πR3＝4π，故D错误；②若球为正方体的内切球，则内切球半径为棱长的一半，故R＝1，球的表面积为4πR2＝4π，故B正确；③若球与正方体的各棱相切，则球的直径等于正方形的对角线长，即2R＝＝2，球的半径为R＝，故C正确．] 12．一块边长为10 cm的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形作侧面，以它们的公共顶点P为顶点，加工成一个如图所示的正四棱锥形容器．当x＝6 cm时，该容器的容积为________cm3． 解析：　如图所示，由题意可知，这个正四棱锥形容器的底面是以6 cm为边长的正方形，侧面的斜高PM＝5 cm，高PO＝＝＝4(cm)，所以所求容积为V＝×62×4＝48(cm3)． 答案：　48 学科网（北京）股份有限公司 $$