3.1 复数的概念 课时跟踪检测-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册配套练习word（湘教版）

3.1　复数的概念 [课时跟踪检测] 1.(多选)下列说法不正确的是 (　　) A.复数2+3i的虚部是3i B.形如a+bi(b∈R)的数一定是虚数 C.若a∈R，a≠-3，则(a+3)i是纯虚数 D.若两个复数能够比较大小，则它们都是实数 解析：选AB　复数2+3i的虚部是3，故A不正确;形如a+bi(b∈R)的数不一定是虚数，例如，当a∈R，b=0时，a+bi不是虚数，故B不正确;只有当a∈R，a+3≠0，即a≠-3时，(a+3)i是纯虚数，故C正确;因为虚数不能比较大小，所以若两个复数能够比较大小，则它们都是实数，故D正确. 2.已知复数z=m(m-1)+mi为纯虚数，则实数m的值为 (　　) A.-1 B.1 C.1或-1 D.-1或0 解析：选B　因为z是纯虚数，所以解得m=1.故选B. 3.若x+(y-2)i=3y-(x-2)i(x，y∈R)，则x-yi= (　　) A.3-i B.i-3 C.10 D. 解析：选A　因为x+(y-2)i=3y-(x-2)i，所以解得故选A. 4.(多选)若复数a+bi>c+di，则下列结论正确的是 (　　) A.a>c B.a=c=0 C.b=d=0 D.b>d 解析：选AC　因为虚数不能比较大小，若复数a+bi>c+di，则说明a+bi与c+di均为实数，所以b=d=0且a>c. 5.设集合C={复数}，A={实数}，B={纯虚数}，若全集S=C，则下列结论正确的是 (　　) A.A∪B=C B.∁SA=B C.A∩∁SB=∅ D.B∪∁SB=C 解析：选D　复数1+i∈C，但1+i∉A∪B，所以A∪B≠C，A错误;复数1+i∈∁SA，但1+i∉B，所以∁SA≠B，B错误;A∩∁SB=A，C错误;B∪∁SB=C，D正确.故选D. 6.(多选)已知复数z=sin θ-icos 2θ(0<θ<2π)的实部与虚部互为相反数，则θ的值可以为 (　　) A. B. C. D. 解析：选ACD　由条件知，sin θ=cos 2θ，∴2sin2θ+sin θ-1=0，解得sin θ=-1或sin θ=.∵0<θ<2π，∴θ的值可以为或. 7.“a=1”是“复数z=(a2-1)+2(a+1)i(a∈R)为纯虚数”的 (　　) A.充要条件 B.必要而不充分条件 C.充分而不必要条件 D.既不充分又不必要条件 解析：选A　若a=1，则复数z=4i是纯虚数.若复数z=(a2-1)+2(a+1)i是纯虚数，则a2-1=0且a+1≠0，解得a=1.因此“a=1”是“复数z=(a2-1)+2(a+1)i(a∈R)为纯虚数”的充要条件. 8. （5分）定义运算=ad-bc，如果(x+y)+(x+3)i=(i为虚数单位)，那么实数x，y的值分别为　　　　.  解析：由=ad-bc，得 =3x+2y+yi， 故有(x+y)+(x+3)i=3x+2y+yi. 因为x，y为实数，所以 即解得 答案：-1，2 9. （5分）定义：复数b+ai是z=a+bi(a，b∈R)的转置复数，已知a，b∈R，i是虚数单位，若a+2i=1-bi，则复数z=a+bi的转置复数是　　　　.  解析：由a+2i=1-bi，得a=1，b=-2.所以复数z=a+bi=1-2i，故复数z=1-2i的转置复数是-2+i. 答案：-2+i 10. （5分）设复数z=log2(m2-3m-3)+ilog2(3-m)(m∈R)，如果z是纯虚数，则m的值是　　　　，z的虚部为　　　　.  解析：因为z是纯虚数， 所以解得m=-1.因为z=ilog2(3-m)=ilog222=2i，所以z的虚部为2. 答案：-1　2 11. （5分）复数z=cos+isin，且θ∈，若z是实数，则θ的值为　　　　;若z为纯虚数，则θ的值为　　　　.  解析：z=cos+isin=-sin θ+icos θ.当z是实数时，cos θ=0， ∵θ∈，∴θ=±. 当z为纯虚数时，有 又θ∈，∴θ=0. 答案：±　0 12.(10分)已知复数z1=3-m2+(m-)i，z2=μ+sin θ+(cos θ-)i，其中i是虚数单位，m，μ，θ∈R. (1)若z1为纯虚数，求m的值;（4分） (2)若z1=z2，求μ的取值范围. （6分） 解：(1)因为z1为纯虚数， 所以解得m=-. (2)由z1=z2，得 因此μ=3-cos2θ-sin θ=sin2θ-sin θ+2=+. 因为-1≤sin θ≤1，所以当sin θ=时，μmin=;当sin θ=-1时，μmax=4.故μ的取值范围是. 13.(10分)已知i是虚数单位，若m为实数，z1=m2+1+(m3+3m2+2m)i，z2=4m+2+(m3-5m2+4m)i，那么使z1>z2的m值的集合是什么?使z1<z2的m值的集合又是什么? 解：∵z1>z2，∴z1，z2为实数. 当z1为实数时，m3+3m2+2m=0， 解得m=0或m=-1或m=-2. ∴z1=1或z1=2或z1=5. 当z2为实数时，m3-5m2+4m=0，解得m=0或m=1或m=4.∴z2=2或z2=6或z2=18. 上面m的公共值为m=0，此时z1，z2同时为实数， 即z1=1，z2=2.∴使z1>z2的m值的集合是空集，使z1<z2的m值的集合是{0}. 学科网（北京）股份有限公司 $