1.6.2 正弦定理 课时跟踪检测-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册配套练习word（湘教版）

1.6.2　正弦定理 [课时跟踪检测] 1.在△ABC中,已知a=,b=,B=60°,则角A的度数为 (　　) A.30° B.45° C.45°或135° D.60° 解析:选B　由a=,b=得a<b,于是A<B,由正弦定理得sin A===,∴A=45°,故选B. 2.已知△ABC外接圆的周长为4π,∠BAC=,则BC= (　　) A.4 B.2 C.4 D.2 解析:选B　因为△ABC外接圆的周长为4π,所以△ABC外接圆的半径为2,则根据正弦定理可得==2BC=4,解得BC=2.故选B. 3.在△ABC中,内角A,B,C所对的边为a,b,c,若a=4,b=4,A=,则角B的大小为 (　　) A. B.或 C. D. 解析:选B　由=,则sin B==,而B∈(0,π),故B=或B=,显然,所得角B均满足0<A+B<π.故选B. 4.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且c=8,B=.若△ABC有两解,则b的值可以是 (　　) A.4 B.6 C.8 D.10 解析:选B　如图,过点A作AD⊥BC,垂足为D,则AD=csin B.因为△ABC有两解,所以AD<AC<AB,则csin B<b<c,即8sin <b<8,得4<b<8.故选B. 5.如图,在△DEF中,M在线段DF上,DE=DM=EM=2,sin F=,则边EF的长为 (　　) A.2 B. C. D. 解析:选D　在△DEM中,DE=DM=EM=2,所以△DEM为等边三角形.所以∠EMD=60°,则∠EMF=120°.在△EFM中,由正弦定理得=,所以EF==.故选D. 6.在△ABC中,若sin C=3sin A,b2=2ac,则cos B= (　　) A. B. C. D. 解析:选C　因为sin C=3sin A,由正弦定理可得c=3a,且b2=2ac,由余弦定理可得cos B===.故选C. 7.(2024·全国甲卷)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若B=,b2=ac,则sin A+sin C= (　　) A. B. C. D. 解析:选C　法一:由正弦定理得sin Asin C=sin2B,因为B=,所以sin Asin C=sin2B=.由余弦定理得b2=a2+c2-2accos B=a2+c2-ac=ac,所以a2+c2=ac,即sin2A+sin2C=sin Asin C,所以(sin A+sin C)2=sin2A+sin2C+2sin Asin C=sin Asin C=.又sin A>0,sin C>0,所以sin A+sin C=. 法二:由余弦定理,得b2=a2+c2-2accos B=a2+c2-ac=(a+c)2-3ac.又b2=ac,所以3ac=b2,所以(a+c)2=b2+3ac=,a+c=b.由正弦定理得sin A+sin C=sin B=. 8.(多选)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且sin A∶sin B∶sin C=3∶4∶5,则下列结论正确的是 (　　) A.a∶b∶c=3∶4∶5 B.△ABC为直角三角形 C.若b=4,则△ABC外接圆半径为5 D.若P为△ABC内一点,满足+2+=0,则△APB与△BPC的面积相等 解析:选ABD　由正弦定理得sin A∶sin B∶sin C=a∶b∶c=3∶4∶5,A正确;由A知a∶b∶c=3∶4∶5,故a2+b2=c2,故△ABC为直角三角形,B正确;由B知,sin B=,又b=4,由正弦定理得2R===5,故△ABC外接圆半径为R=,C错误;取AC的中点E,则+=2,因为+2+=0,所以=-,即P点在AC的中线上,故△APB与△BPC的面积相等,D正确. 9.（5分）在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,若A=60°,a=,则=　　　　.  解析:由正弦定理可得2R=====2,a=2sin A,b=2sin B,c=2sin C,则==2. 答案:2 10. （5分）记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且△ABC外接圆的面积为4π,请写出一组满足上述条件的边和角:a=　　　　,A=　　　　.  解析:依题意,△ABC的外接圆半径R=2,由正弦定理得=2R=4,即a=4sin A,又0<A<π,取A=,则a=2. 答案:2(答案不唯一)　(答案不唯一) 11. （5分）如图,某中学某班级课外学习兴趣小组为了测量某座山峰的高度,先在山脚A处测得山顶C处的仰角为60°,又利用无人机在离地面高300 m的M处(即MD=300 m),观测到山顶C处的仰角为15°,山脚A处的俯角为45°,则山高BC=　　　　m.  解析:依题意∠AMD=45°,则AM=MD=300,∠CMA=45°+15°=60°,∠CAB=60°,故∠MAC=180°-60°-45°=75°,∠ACM=180°-75°-60°=45°,在△MAC中,由正弦定理得=,即=,解得AC=300,则BC=ACsin 60°=450. 答案:450 12.（10分)在△ABC中,已知b=6,c=6,∠C=30°,求a的值. 解:由正弦定理,得=,得sin B==.因为b>c,所以∠B>∠C=30°,所以∠B=60°或120°.当∠B=60°时,∠A=90°,a===12.当∠B=120°时,∠A=30°,a===6,所以a的值为6或12. 13.(10分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且c=2,C=. (1)若△ABC的面积等于,求a,b;（4分） (2)若sin B=2sin A,求△ABC的面积.（6分） 解:(1)由余弦定理,得a2+b2-ab=4　①,又△ABC的面积等于,所以absin C=,得ab=4　②, 联立①②得方程组解得 (2)由正弦定理及sin B=2sin A,得b=2a　③, 联立①③得方程组解得 所以△ABC的面积S=absin C=. 14.(15分)在△ABC中,角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,b=a+1,c=a+2. (1)若2sin C=3sin A,求△ABC的面积; (2)是否存在正整数a,使得△ABC为钝角三角形?若存在,求出a的值;若不存在,请说明理由. 解:(1)由2sin C=3sin A及正弦定理可得2c=3a,结合b=a+1,c=a+2,解得a=4,b=5,c=6.在△ABC中,由余弦定理得cos C===,所以sin C==, S△ABC=absin C=×4×5×=. (2)设存在正整数a满足条件,由已知c>b>a,所以∠C为钝角, 所以cos C=<0⇒a2+b2<c2⇒a2+(a+1)2<(a+2)2⇒(a+1)(a-3)<0, 因为a为正整数,所以a=1,2. 当a=1时,b=2,c=3,不能构成三角形,舍去. 当a=2时,b=3,c=4,满足条件. 综上,当a=2时,△ABC为钝角三角形. 15.(15分)在△ABC中,设角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,且c=2b-2acos C. (1)求角A;（5分） (2)若△ABC的面积S=,c=,求sin Bsin C的值.（10分） 解:(1)因为c=2b-2acos C, 由余弦定理得c=2b-2a·, 整理得bc=b2+c2-a2,即a2=b2+c2-bc. 又由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A, 所以2cos A=1,即cos A=. 因为0<A<π,所以A=. (2)由(1)得A=,因为△ABC的面积S=, 所以bcsin A=bcsin =.所以bc=6. 因为c=,所以b=2. 又由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A=12+3-6=9, 所以a=3.所以2R==2. 所以由正弦定理得bc=(2R)2sin Csin B=12sin C·sin B=6.所以sin Bsin C=. 学科网（北京）股份有限公司 $