1.6.2 正弦定理同步练习-2025-2026学年高一下学期数学湘教版必修第二册

1.6.2　正弦定理 一、必备知识基础练 1.在△ABC中,已知a=8,∠B=60°,∠C=75°,则b等于(　　) A.4 B.4 C.4 D. 2.在△ABC中,若a=3,b=,∠A=,则角C的大小为(　　) A. B. C. D. 3.在△ABC中,AB=2,BC=5,△ABC的面积为4,则cos∠ABC等于(　　) A. B.± C.- D.± 4.某市在“旧城改造”工程中计划在如图所示的一块三角形空地上种植草皮以美化环境.已知这种草皮的价格为a元/m2,则购买这种草皮需要(　　) A.450a元 B.225a元 C.150a元 D.300a元 5.在△ABC中,内角∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c.若bsin=csin B,则∠C的大小为(　　) A. B. C. D. 6.(2025甘肃庆阳高一期末)在△ABC中,内角∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c,已知a=4,c=2,∠A=,则∠C=　　　　　.  7. (北师大版教材例题)如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=5,AC=9,∠BCA=30°,∠ADB=45°.求∠BAD的正弦值和BD的长. 二、关键能力提升练 8.在△ABC中,∠A=60°,a=4,b=4,则∠B等于(　　) A.45°或135° B.135° C.45° D.以上答案都不对 9.在△ABC中,∠A=60°,a=,则等于(　　) A. B. C. D.2 10.(2025甘肃白银高一期末)在△ABC中,内角∠A,∠B,∠C所对应的边分别为a,b,c.若2bccos A=a2且bc=3,则△ABC的面积的最大值为(　　) A. B. C. D. 三、学科素养创新练 11.在△ABC中,D是边BC上的点,AD平分∠BAC,△ABD的面积是△ADC的面积的2倍. (1)求; (2)若AD=1,DC=,求BD和AC的长. 参考答案 1.A　∵∠A+∠B+∠C=180°,又∠B=60°,∠C=75°, ∴∠A=180°-∠B-∠C=45°. 由正弦定理, 得b==4.故选A. 2.D　由正弦定理,得sin B=. 因为a>b,所以∠A>∠B,所以∠B=,所以∠C=π-. 3.B　由S=AB·BC·sin∠ABC,得4=×2×5sin∠ABC,解得sin∠ABC=,从而cos∠ABC=±. 4.C　由已知可求得草皮的面积为S=×20×30sin 150°=150(m2),则购买草皮的费用为150a元. 5.B　因为∠A+∠B+∠C=π,bsin=csin B, 所以bsin=csin B,即bcos=csin B, 所以由正弦定理得sin Bcos=sin Csin B. 因为∠B∈(0,π),所以sin B≠0, 所以cos=2sincos. 因为∠C∈(0,π),所以cos≠0, 所以sin, 所以,即∠C=. 故选B. 6.　由正弦定理得, 又a=4,c=2,∠A=,所以sin C=. 其中c<a,则∠C<∠A,故∠C为锐角,所以∠C=. 7.解 在△ABC中,AB=5,AC=9,∠BCA=30°. 由正弦定理,得,sin∠ABC=. 因为AD∥BC,所以∠BAD=180°-∠ABC, 于是sin∠BAD=sin∠ABC=. 在△ABD中,由正弦定理,得,BD=. 8.C　∵sin B=, ∴∠B=45°或135°. 又∵a>b,∴∠B=45°,故选C. 9.B　由a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C得=2R=. 10.B　在△ABC中,b2+c2-2bccos A=a2, 又2bccos A=a2,∴b2+c2=2a2. 故cos A=,当且仅当b=c=时取等号. ∵∠A∈(0,π),∴sin A=, ∴S△ABC=bcsin A≤×3×,当且仅当b=c=a=时取等号, ∴△ABC的面积的最大值为.故选B. 11.解(1)S△ABD=AB·ADsin∠BAD, S△ADC=AC·ADsin∠CAD. 因为S△ABD=2S△ADC,∠BAD=∠CAD, 所以AB=2AC. 由正弦定理可得. (2)因为S△ABD∶S△ADC=BD∶DC, 所以BD=2DC=. 在△ABD和△ADC中,由余弦定理知, AB2=AD2+BD2-2AD·BDcos∠ADB, AC2=AD2+DC2-2AD·DCcos∠ADC. 故AB2+2AC2=3AD2+BD2+2DC2=6. 由(1)知AB=2AC, 所以AC=1. 4 学科网（北京）股份有限公司 $