1.6.1 余弦定理 课时跟踪检测-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册配套练习word（湘教版）

1.6.1　余弦定理 [课时跟踪检测] 1.在△ABC中,若AB=,BC=3,∠C=120°,则AC= (　　) A.1 B.2 C.3 D.4 解析:选A　在△ABC中,由余弦定理得AB2=BC2+AC2-2AC·BCcos C,可得13=9+AC2+3AC,解得AC=1或AC=-4(舍去).故选A. 2.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a=,b=4,c=3,则B+C等于 (　　) A. B. C. D. 解析:选B　在△ABC中,由余弦定理得cos A===,而0<A<π,则A=,所以B+C=π-A=. 3.在△ABC中,a=2b=,C=60°,则S△ABC= (　　) A.2 B. C. D. 解析:选D　因为a=2b=,所以a=,b=.又因为C=60°,所以S△ABC=absin C=×××=.故选D. 4.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若>0,则△ABC (　　) A.一定是锐角三角形 B.一定是直角三角形 C.一定是钝角三角形 D.是锐角或直角三角形 解析:选C　由>0得-cos C>0,所以cos C<0,从而C为钝角,因此△ABC一定是钝角三角形. 5.(多选)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a=2,c=2,cos A=,且b<c,则 (　　) A.b=2 B.b=2 C.B=60° D.B=30° 解析:选AD　由a2=b2+c2-2bccos A,得4=b2+12-6b⇒b2-6b+8=0⇒(b-2)(b-4)=0,由b<c,得b=2.又a=2,cos A=,所以B=A=30°,故选AD. 　 6.在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,若(a-b-c)(a-b+c)+ab=0且sin A=,则B= (　　) A. B. C. D. 解析:选A　由(a-b-c)(a-b+c)+ab=0,可得a2+b2-c2=ab,所以cos C==.又C∈(0,π),所以C=.因为sin A=,A∈(0,π),所以A=或A=.当A=时,B=;当A=时,A+C>π,不合题意.故选A. 7.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若A=,a=4,则bc的最大值为 (　　) A. B.16 C. D.32 解析:选B　由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccos A,因为A=,a=4,所以16=b2+c2-bc,因为b2+c2≥2bc,所以16+bc≥2bc,即bc≤16,当且仅当b=c=4时等号成立. 8.(多选)已知△ABC是钝角三角形,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=3,b=4,则最大的边c的取值可能是 (　　) A.5 B.6 C. D.7 解析:选BC　因为△ABC是钝角三角形,且C最大,所以cos C<0,故a2+b2-c2<0,进而c2>25⇒c>5.所以B、C均符合要求,而D不符合两边之和大于第三边,故选BC. 9.(5分)在△ABC中,a=2,b=3,C=60°,则c=　　　　,△ABC的面积为　　　　.  解析:在△ABC中,由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos C,易知c= =,△ABC的面积为×2×3×=. 答案:　 10. (5分)在△ABC中,a=8,c=7,cos A=,则b=　　　　,∠C=　　　　.  解析:由余弦定理可得64=b2+49-2×b×7×=b2-2b+49,故b2-2b-15=0,故b=-3(舍去)或b=5,故cos∠C==,而∠C为三角形内角,故∠C=. 答案:5　 11. (5分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且acos B+acos C=b+c,则△ABC的形状为　　　　.  解析:在△ABC中,acos B+acos C=b+c,∴a·+a·=b+c,∴=b+c,∴a2-b2-c2+2bc=2bc,∴a2=b2+c2,则A=,所以△ABC为直角三角形. 答案:直角三角形 12.(10分)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,面积为,B=,a2+c2=3ac,求b. 解:∵B=,a2+c2=3ac,∴cos B===,得b2=2ac.又S△ABC=acsin B=ac=,∴ac=4.由b>0,∴b==2. 13.(10分)已知△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,(a+b+c)(b+c-a)=3bc. (1)求A的大小;（5分） (2)若b+c=2a=2,试判断△ABC的形状.（5分） 解:(1)∵(a+b+c)(b+c-a)=3bc, ∴a2=b2+c2-bc. 而a2=b2+c2-2bccos A,∴2cos A=1. ∴cos A=. ∵A∈(0,π),∴A=. (2)在△ABC中,a2=b2+c2-2bccos A,且a=, ∴()2=b2+c2-2bc·=b2+c2-bc.　① 又∵b+c=2,与①联立,解得bc=3. ∴解得b=c=. ∴△ABC为等边三角形. 　　　　　　　　　　　　　　　 14.(10分)在△ABC中,点D在边BC上,AB=,CD=3,B=45°,∠ADB=60°,求AC的长. 解:由题意,作AE⊥BD交BD于E,如图,因为AB=,CD=3,B=45°,∠ADB=60°,所以AE=AB=,则AD===2,在△ACD中,由余弦定理可得,AC2=AD2+CD2-2AD·CDcos∠ADC=22+32-2×2×3×cos 120°=19.所以AC=. 15.(14分)已知四边形ABCD的内角A与C互补,AB=1,BC=3,CD=DA=2. (1)求C和BD;(7分) (2)求四边形ABCD的面积.（8分） 解:(1)由题设及余弦定理得, BD2=BC2+CD2-2BC·CDcos C=13-12cos C,　① BD2=AB2+DA2-2AB·DAcos A=5-4cos A=5+4cos C.　② 由①②得cos C=.因为0°<C<180°,所以C=60°,从而BD=. (2)因为角A与角C互补,所以sin A=sin C. 故四边形ABCD的面积S=AB·DAsin A+BC·CDsin C=sin 60°=2. 学科网（北京）股份有限公司 $