9 课时精练(九) 余弦定理-【正禾一本通】2024-2025学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套练习（湘教版2019）

课时精练(九)　余弦定理 (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) [基础过关] 1．在△ABC中，已知a2＝b2＋c2＋bc，则角A为(　　) A． B． C． D．或 C　[在△ABC中，由余弦定理，得cos A＝＝＝－． ∵A∈(0，π)，∴A＝．] 2．已知在△ABC中，a＝1，b＝2，C＝60°，则c等于(　　) A． B． C． D．5 A　[在△ABC中，a＝1，b＝2，C＝60°，由余弦定理，得c2＝12＋22－2×1×2cos 60°＝3，所以c＝．] 3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，A＝60°，且a＝2b－c，则△ABC的形状为(　　) A．钝角三角形 B．等腰直角三角形 C．直角三角形 D．等边三角形 D　[由余弦定理得：＝cos 60°， 即b2＋c2－bc＝a2＝(2b－c)2， 整理得：b2＝bc，所以b＝c． 又A＝60°，所以a＝b＝c． 故△ABC的形状为等边三角形． 故选D．] 4．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若(a2＋c2－b2)tan B＝ac，则角B的值为(　　) A． B． C．或 D．或 C　[∵(a2＋c2－b2)tan B＝ac， ∴＝， 即2cos B＝， 即cos Btan B＝，所以sin B＝， 又B∈(0，π)，∴B＝或． 故选C．] 5．(多选)在△ABC中，B＝60°，b2＝ac，则△ABC一定不是(　　) A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 ABC　[由余弦定理可知b2＝a2＋c2－2accos B，而B＝60°，b2＝ac，所以ac＝a2＋c2－2ac·，即(a－c)2＝0，所以a＝c．又B＝60°，所以△ABC一定是等边三角形．故选ABC．] 6．在△ABC中，若a＝2，b＝2，c＝＋，则A＝________． 解析：　由余弦定理的推论得cos A＝＝＝， ∵0°<A<180°，∴A＝60°． 答案：　60° 7．在△ABC中，AB＝，BC＝1，C＝，则AC＝____________． 解析：　由题知，在△ABC中，AB＝，BC＝1，C＝，则由余弦定理AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos C，可得3＝AC2＋1－2AC×1×(－)，整理可得AC2＋AC－2＝0，解得AC＝1或－2(舍去)． 答案：　1 8．若长度为x2＋4，4x，x2＋8的三条线段可以构成一个钝角三角形，则x的取值范围是________． 解析：　∵x2＋8>x2＋4≥4x>0，可得x2＋8为最大边． 由于此三角形为钝角三角形，设边x2＋8所对的角为θ， ∴cos θ＝<0，化为x2<6， ∴由x>0，解得0<x<． 又∵x2＋4＋4x>x2＋8，解得x>1， ∴x的取值范围为1<x<． 答案：　(1，) 9．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a＝7，b＝8，cos A＝，求最大角的余弦值． 解析：　由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，得72＝82＋c2－2×8×c，解得c＝3或c＝5． 故最大边为b，则最大角为B． 由余弦定理的推论得cos B＝＝－或． 故最大角的余弦值是－或． 10．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos2(＋A)＋cos A＝． (1)求A； (2)若b－c＝a，证明：△ABC是直角三角形． 解析：　(1)因为cos2(＋A)＋cos A＝， 所以sin2A＋cos A＝， 即1－cos2A＋cos A＝，解得cos A＝． 又0<A<π，所以A＝． (2)证明：由(1)知cos A＝＝， 即b2＋c2－a2＝bc．① 又b－c＝a，② 所以将②代入①得，b2＋c2－3(b－c)2＝bc， 整理可得2b2－5bc＋2c2＝0， 解得b＝2c或b＝． 又因为b－c＝a>0，所以b＝2c， 所以a＝c，故b2＝a2＋c2，所以△ABC是直角三角形． [能力提升] 11．八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形ABCDEFGH，其中OA＝1，则以下结论不正确的是(　　) A．·＝0 B．·＝－ C．＋＝－ D．|－|＝ D　[对A，因八卦图为正八边形，故中心角为45°，∠FOD＝90°，所以·＝0，故A对；分析可知，∠AOD＝135°＝，·＝||·||cos ＝－，B对；对C，与的夹角为90°，又因||＝||，根据平行四边形法则＋＝＝－，C对；对D，|－|＝|＋|＝||，∠AOF＝，在△AOF中，由余弦定理可得|AF|2＝|OA|2＋|OF|2－2|OA|·|OF|cos ＝2＋，|AF|＝ ，D错．故选D．] 12．如图所示，等边△ABC中，已知AB＝1，点M在线段BC上，且满足BM＝2CM，N为线段AB的中点，CN与AM相交于点P，则cos∠MPN＝________． 解析：　由题意得，AN＝BN＝，BM＝，CM＝， 在△ABM中，由余弦定理可知， cos∠ABM＝， 即＝，解得AM＝， 同理求出NC＝， 设＝λ， ∴＝λ＝λ(－) ＝λ＝＋， ∵P、C、N三点共线，∴＋＝1，解得λ＝， ∴AP＝AM＝， 若设＝μ，同理可得，利用A、P、M三点共线，可知μ＝， ∴CP＝CN＝， 在△APC中，由余弦定理可知， cos∠APC＝ ＝＝－＝cos∠MPN． 答案：　－ 学科网（北京）股份有限公司 $$