8 课时精练(八) 数量积的坐标表示及其计算-【正禾一本通】2024-2025学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套练习（湘教版2019）

课时精练(八)　数量积的坐标表示及其计算 (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) [基础过关] 1．已知＝(－2，1)，＝(0，2)且∥，BC⊥AB，则点C的坐标是(　　) A．(2，6) B．(－2，－6) C．(2，－6) D．(－2，6) D　[设C(x，y)，则＝(x＋2，y－1)，＝(x，y－2)，＝(2，1) ，∵∥，∴2(x＋2)＝0①．∵BC⊥AB，∴2x＋y－2＝0②．由①②可得∴C(－2，6)．故选D．] 2．若a＝(2，3)，则与向量a垂直的单位向量的坐标为(　　) A．(3，2) B． C．或 D．以上都不对 C　[设单位向量坐标为(x，y)，则 解得：或故选C．] 3．已知a＝(－5，5)，b＝(0，－3)，则a与b的夹角为(　　) A． B． C．π D．π D　[∵|a|＝5，|b|＝3，a·b＝－15， ∴cos 〈a，b〉＝＝＝－， 又∵a与b的夹角范围为[0，π], ∴a与b的夹角为π．故选D．] 4．如图，正方形ABCD的边长为2，E为BC的中点，＝2，则·的值为(　　) A． B．－ C． D．－ A　[以D为原点，建立如图所示的平面直角坐标系： 正方形ABCD的边长为2，E为BC的中点， ∴D(0，0)，A(0，2)，B(2，2)，C(2，0)，E(2，1)， ∵＝2， ∴＝，∴F(，0)， ∴＝(2，－1)，＝(－，－2)， ∴·＝－＋2＝，故选A．] 5．已知在△OAB中，OA＝OB＝2，AB＝2，动点P位于线段AB上，当·取得最小值时，向量与的夹角的余弦值为(　　) A．－ B． C．－ D． C　[以AB所在的直线为x轴，以A为原点，建立平面直角坐标系， 则A(0，0)，B(2，0)，O(，1)， 设点P(x，0)，x∈[0，2]，向量与的夹角为θ， 可得·＝(－x，0)·(－x，1)＝－x(－x)＝x2－x＝(x－)2－， 故当x＝时，·取最小值为－， 此时，||＝，||＝， 则cos θ＝＝＝－， 故选C．] 6．如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ADC＝90°，AB＝3，AD＝，E为BC中点，若·＝3，则·＝________． 解析：　以A点为原点，AB所在的直线为x轴，AD为y轴，建立如图所示的坐标系， ∵AB＝3，AD＝，E为BC中点， ∴A(0，0)，B(3，0)，D(0，)， 设C(x，)， ∴＝(3，0)，＝(x，)， ∵·＝3， ∴3x＝3， 解得x＝1， ∴C(1，)， ∵E为BC中点， ∴E(，)，即为(2，)， ∴＝(2，)，＝(－2，)， ∴·＝2×(－2)＋×＝－4＋1＝－3． 答案：　－3 7．若{α，β}是一个基，向量γ＝xα＋yβ(x，y∈R)，则称(x，y)为向量γ在基{α，β}下的坐标．现已知p＝(1，－1)，q＝(2，1)，m＝(－1，1)，n＝(1，2)，向量a在基{p，q}下的坐标为(－2，2)，则a在基{m，n}下的坐标为____________． 解析：　∵a在基{p，q}下的坐标为(－2，2)， ∴a＝－2p＋2q＝(2，4)． 设a＝xm＋yn＝(－x＋y，x＋2y)(x，y∈R)， 则解得∴a在基{m，n}下的坐标为(0，2)． 答案：　(0，2) 8．已知⊥，||＝，||＝t，若点P是△ABC所在平面内一点，＝＋，则· 的最大值等于________． 解析：　由题意建立如图所示的坐标系， 可得A(0，0)，B(，0)，C(0，t)， ∵＝＋， ∴P(1，4)， ∴＝(－1，－4)，＝(－1，t－4)， ∴·＝－(－1)－4(t－4) ＝17－(＋4t)， 由基本不等式可得＋4t≥2＝4， ∴17－(＋4t)≤17－4＝13， 当且仅当＝4t，即t＝时取等号， ∴·的最大值为13． 答案：　13 9．已知a＝(3，2)，b＝(1，－1)． (1)求a·b，|a|，|b|及a与b的夹角θ的余弦值； (2)求(a－b)·(2a＋b)． 解析：　(1)a·b＝3×1＋2×(－1)＝1，|a|＝＝，|b|＝＝，cos θ＝＝＝． (2)方法一：(a－b)·(2a＋b)＝2a2－a·b－b2＝2×13－1－2＝23． 方法二：由已知条件知，a－b＝(2，3)， 2a＋b＝(7，3)， ∴(a－b)·(2a＋b)＝2×7＋3×3＝23． 10．在直角梯形ABCD中，已知AB∥CD，∠DAB＝90°，AB＝6，AD＝CD＝3，对角线AC交BD于点O，点M在AB上，且OM⊥BD． (1)求·的值； (2)若N为线段AC上任意一点，求·的取值范围． 解析：　(1)因为∠DAB＝90°， 所以以A为坐标原点，AB、AD分别为x、y轴，建立平面直角坐标系如下图： 因为AB∥CD，AB＝6，AD＝CD＝3， 所以A(0，0)，B(6，0)，C(3，3)，D(0，3)． 又因为对角线AC交BD于点O， 所以由＝t得＝(3t，3t)，即O(3t，3t)， 因此＝(3t，3t－3)，＝(6，－3)， 而∥，所以－3×3t－6×(3t－3)＝0，解得t＝， 因此O(2，2)． 又因为点M在AB上，所以设M(m，0)， 因此＝(m－2，－2)，＝(－6，3)， 而OM⊥BD，所以·＝－6(m－2)－6＝0， 解得m＝1，即M(1，0)， 因此＝(1，0)，而＝(－6，3)， 所以·＝－6， 即·的值为－6． (2)因为N为线段AC上任意一点， 所以由(1)知：可设N(n，n)(0≤n≤3)(包括端点)， 因此＝(n，n)，＝(n－1，n)， 所以·＝n(n－1)＋n2＝2n2－n． 因为函数y＝2n2－n的图象开口向上，对称轴为n＝， 所以当n＝时，ymin＝－，当n＝3时，ymax＝15， 所以函数y＝2n2－n的值域为， 即·的取值范围是． [能力提升] 11．已知向量＝(3，1)，＝(－1，3)，＝m－n(m>0，n>0)，若m＋n＝1，则||的最小值为(　　) A． B． C． D． C　[向量＝(3，1)，＝(－1，3)，＝m－n＝(3m＋n，m－3n)， 因为m＋n＝1， 所以＝(3m＋n，m－3n)＝(2m＋1，4m－3)， 则||＝ ＝＝， 则当m＝时，||的最小值为， 故选C．] 12．设向量a，b，c满足|a|＝|b|＝1，a·b＝，(a－c)·(b－c)＝0，则|c|的最小值是(　　) A． B． C． D．1 B　[建立坐标系，以向量a，b的角平分线所在的直线为x轴，使得a，b的坐标分别为，，设c的坐标为(x，y)， 因为(a－c)·(b－c)＝0， 所以·＝0，化简得＋y2＝， 即C(x，y)在以为圆心，为半径的圆上， 则|c|的最小值表示圆上的点到原点的距离的最小值， 因为圆心到原点的距离为，所以圆上的点到原点的距离的最小值为－．故选B．] 学科网（北京）股份有限公司 $$