1.5.1 第2课时 平面向量数量积及其运算性质的应用 课时跟踪检测-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册配套练习word（湘教版）

1.5.1 第2课时 平面向量数量积及其运算性质的应用 [课时跟踪检测] 1.已知a和b为非零向量，且|2a+b|=|2a-b|，a与b的夹角为 (　　) A. B. C. D. 解析：选C　因为|2a+b|=|2a-b|，则|2a+b|2=|2a-b|2，即4a2+4a·b+b2=4a2-4a·b+b2，所以a·b=0，又因为a和b为非零向量，则a与b的夹角为. 2.在△ABC中，(+)·=0，则△ABC一定是 (　　) A.等边三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.直角三角形 解析：选B　由已知得，(+)·()=0，=0，∴||=||. 3.(2024·新课标Ⅱ卷)已知向量a，b满足|a|=1，|a+2b|=2，且(b-2a)⊥b，则|b|= (　　) A. B. C. D.1 解析：选B　因为(b-2a)⊥b，所以(b-2a)·b=0，即b2=2a·b，又因为|a|=1，|a+2b|=2，所以1+4a·b+4b2=1+6b2=4，从而|b|=. 4.已知菱形ABCD的边长为2，·=2，则||= (　　) A. B.2 C.1 D.2 解析：选B　根据题意可得=+=， ∵·=2，即·(+)=+·=2，∴·=-2， ||2==-2·+=12，即||=2，故选B. 5.早在公元前十一世纪，数学家商高就提出“勾三股四弦五”.《周髀算经》中曾有记载，大意为：“当直角三角形的两条直角边分别为3(勾)和4(股)时，斜边(弦)则为5”，勾股定理也称为商高定理.现有△ABC的三边满足“勾三股四弦五”，其中勾AC的长为3，点A在弦BC上的射影为点D，则()·= (　　) A. B. C.- D.- 解析：选B　由题意可得，AD==，AD⊥BC，所以cos∠CAD===，()·=·=cos∠CAD=3××=. 6.如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，CD=1，∠BAD=，若·=2·，则·= (　　) A.3 B.4 C.5 D.6 解析：选C　∵·=2·，∴··=·，即·=·.∵AB∥CD，CD=1，∠BAD=，∴||=||||cos ，∴||=2，∴·=·(+)=||2+·=22+2×1×cos =5. 7.(多选)在△ABC中，下列结论错误的是 (　　) A.= B.·<||·|| C.若(+)·()=0，则△ABC是等腰三角形 D.若·>0，则△ABC是锐角三角形 解析：选AD　由向量减法法则可得=，故A错误；·=||·||·cos<><||·||，故B正确；设BC的中点为D，(+)·()=2·=0，则⊥，因为BD=CD，所以由三线合一得AB=AC，所以△ABC是等腰三角形，故C正确；由·>0，可以得到∠BAC是锐角，不能得到△ABC是锐角三角形，故D错误. 8.(多选)设a，b，c是三个非零向量，且相互不共线，则下列说法正确的是 (　　) A.若|a+b|=|a-b|，则a⊥b B.若|a|=|b|，则(a+b)⊥(a-b) C.若a·c=b·c，则a-b不与c垂直 D.(b·c)a-(a·c)b不与c垂直 解析：选AB　由|a+b|=|a-b|，平方可得a2+b2+2a·b=a2+b2-2a·b⇒a·b=0⇒a⊥b，故A正确；若|a|=|b|，则(a+b)·(a-b)=a2-b2=|a|2-|b|2=0，所以(a+b)⊥(a-b)，故B正确；若a·c=b·c，则(a-b)·c=a·c-b·c=0⇒(a-b)⊥c，故C错误；[(b·c)a-(a·c)b]·c=(b·c)a·c-(a·c)b·c=(b·c)(a·c)-(a·c)(b·c)=0，所以[(b·c)a-(a·c)b]⊥c，故D错误. 9.(多选)若平面向量a，b，c两两的夹角相等，且|a|=1，|b|=1，|c|=3，则|a+b+c|= (　　) A. B.2 C. D.5 解析：选BD　|a+b+c|==，因为平面向量a，b，c两两的夹角相等，所以夹角有两种情况，即a，b，c两两的夹角为0°或120°.当夹角为0°时，a·b=|a||b|cos 0°=1，a·c=|a||c|cos 0°=3，b·c=|b||c|cos 0°=3，|a+b+c|==5.当夹角为120°时，a·b=|a||b|cos 120°=-，a·c=|a||c|cos 120°=1×3×=-，b·c=|b||c|cos 120°=1×3×=-，|a+b+c|= =2.所以|a+b+c|=2或5，故选BD. 10.（5分）已知|a|=2，|b|=3，且a⊥b，则(a+b)·(2a-b)=　　　　.  答案：-1 11. （5分）已知|a|=2，|b|=3，a与b的夹角为，且a+b+c=0，则|c|=　　　　.  解析：因为a+b+c=0，所以c=-a-b，所以c2=(-a-b)2=a2+2a·b+b2=22+2×2×3cos+32=4-6+9=7，所以|c|=. 答案： 12. （5分）已知向量a，b满足|a|=1，|b|=2，|a-b|=，则a与b的夹角为　　　　.  解析：∵|a-b|2=a2-2a·b+b2=1-2a·b+4=5-2a·b=7，∴a·b=-1.又θ∈[0，π]， ∴cos θ==-，∴θ=. 答案： 13.(10分)如图，在△ABC中，∠BAC=90°，BC=4，A是线段EF的中点，EF=2.若与的夹角为60°，求·. 解：·=(+)·(+)=·+·+·+·.∵∠BAC=90°，∴·=0. 又A是线段EF的中点，∴=-，∴·=··=·-1=4×1×cos 60°-1=1. 14.(15分)已知向量a，b满足|a|=1，|b|=2，且a，b的夹角为60°. (1)若(2a+3b)⊥(a-kb)，求实数k的值；(5分) (2)求a+b与a-b的夹角的余弦值.（10分） 解：(1)因为(2a+3b)⊥(a-kb)， 所以(2a+3b)·(a-kb)=2a2+(3-2k)a·b-3kb2=2|a|2+(3-2k)a·b-3k|b|2=0，即2+(3-2k)×1×2×cos 60°-3k×4=0，解得k=. (2)因为|a+b|====， |a-b|====， 所以cos<a+b，a-b>====-， 故a+b与a-b的夹角的余弦值为-. 15.(15分)已知平面向量a，b，c的模均为1，它们相互之间的夹角均为120°. (1)求证：向量a-b垂直于向量c；（5分） (2)若|ka+b+c|>1(k∈R)，求k的取值范围.（10分） 解：(1)证明：因为|a|=|b|=|c|=1，且a，b，c之间的夹角均为120°，所以(a-b)·c=a·c-b·c=|a|·|c|·cos 120°-|b|·|c|·cos 120°=0. 所以向量a-b垂直于向量c. (2)|ka+b+c|>1⇔|ka+b+c|2>1⇔(ka+b+c)2>1，所以k2a2+b2+c2+2ka·b+2ka·c+2b·c>1. 因为a·b=a·c=b·c=cos 120°=-， 所以k2-2k>0，解得k<0或k>2. 故k的取值范围为(-∞，0)∪(2，+∞). 学科网（北京）股份有限公司 $