1.4.2 向量线性运算的坐标表示 课时跟踪检测-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册配套练习word（湘教版）

1.4.2　向量线性运算的坐标表示 [课时跟踪检测] 1.已知向量a=(2，4)，a+b=(3，2)，则b等于 (　　) A.(1，-2) B.(1，2) C.(5，6) D.(2，0) 解析：选A　b=a+b-a=(3，2)-(2，4)=(1，-2). 2.下列向量组中，能作为表示它们所在平面内所有向量的一组基的是 (　　) A.a=(0，0)，b=(2，3) B.a=(1，-3)，b=(2，-6) C.a=(4，6)，b=(6，9) D.a=(2，3)，b=(-4，6) 解析：选D　只有D选项中两个向量不共线，可以作为表示它们所在平面内所有向量的一组基，故选D. 3.若三点A(4，3)，B(5，m)，C(6，n)在一条直线上，则下列式子一定正确的是 (　　) A.2m-n=3 B.n-m=1 C.m=3，n=5 D.m-2n=3 解析：选A　因为三点A(4，3)，B(5，m)，C(6，n)在一条直线上，所以=λ，所以(1，m-3)=λ(2，n-3)，所以λ=，所以m-3=(n-3)，即2m-n=3. 4.设向量a=(1，-3)，b=(-2，4)，c=(-1，-2)，若表示向量4a，4b-2c，2(a-c)，d的有向线段首尾相连能构成四边形，则向量d= (　　) A.(2，6) B.(-2，6) C.(2，-6) D.(-2，-6) 解析：选D　设d=(x，y)，由题意知4a=(4，-12)，4b-2c=(-6，20)，2(a-c)=(4，-2)，易知4a+4b-2c+2(a-c)+d=0，解得x=-2，y=-6，所以d=(-2，-6). 5.已知A(1，-3)，B，且A，B，C三点共线，则点C的坐标可以是 (　　) A.(-9，1) B.(9，-1) C.(9，1) D.(-9，-1) 解析：选C　设点C的坐标是(x，y)，因为A，B，C三点共线，所以∥.因为=-(1，-3)==(x，y)-(1，-3)=(x-1，y+3)，所以7(y+3)-(x-1)=0，整理得x-2y=7，经检验可知点(9，1)符合要求，故选C. 6.已知a=(1，2sin α)，b=(cos α，sin α)，α∈，若a∥b，则α= (　　) A. B. C.π D. 解析：选C　∵a=(1，2sin α)，b=(cos α，sin α)，α∈，且a∥b， ∴1×sin α=cos α×2sin α. 当α=π时，sin α=0，此时a=(1，0)，b=(-1，0)，满足a∥b； 当α≠π时，sin α≠0，要使a∥b，只需cos α=，又α∈，∴不存在满足题意的α. 综上所述，α=π. 7.（5分）与向量a=(-3，4)平行的单位向量是　　　　.  解析：设与a平行的单位向量为e=(x，y)， 则∴或 答案：或 8. （5分）已知平面向量a=(1，2)，b=(-2，m)，且a∥b，则2a+3b等于　　　　.  解析：∵a∥b，∴1×m-(-2)×2=0， ∴m=-4，∴a=(1，2)，b=(-2，-4)， ∴2a+3b=2(1，2)+3(-2，-4)=(-4，-8). 答案：(-4，-8) 9. （5分）已知向量a=(2，-3)，b=(1，2)，p=(9，4)，若p=ma+nb，则m+n=　　　　.  解析：由于p=ma+nb，即(9，4)=(2m，-3m)+(n，2n)=(2m+n，-3m+2n)， 所以解得所以m+n=7. 答案：7 10.（5分）如图，在四边形ABCD中，已知A(2，6)，B(6，4)，C(5，0)，D(1，0)，则直线AC与BD交点P的坐标为　　　　.  解析：由题意知=(5，4)，=(-3，6)，=(4，0). 由B，P，D三点共线可得=λ=(5λ，4λ). 又因为==(5λ-4，4λ)， 由与共线得，(5λ-4)×6+12λ=0. 解得λ=，所以==， 所以P的坐标为. 答案： 11.(10分)已知两点A(3，-4)，B(-9，2)，点P在直线AB上，且||=||，求点P的坐标. 解：设点P的坐标为(x，y)， ①若点P在线段AB上，则=， ∴(x-3，y+4)=(-9-x，2-y). 解得x=-1，y=-2， ∴P(-1，-2). ②若点P在线段BA的延长线上， 则=-， ∴(x-3，y+4)=-(-9-x，2-y). 解得x=7，y=-6，∴P(7，-6). 综上可得，点P的坐标为(-1，-2)或(7，-6). 12.(10分)已知向量a=(2，3)，b=(-1，2)，若ma+4b与a-2b共线，求m的值，并判断ma+4b与a-2b是同向还是反向. 解：ma+4b=(2m，3m)+(-4，8)=(2m-4，3m+8)，a-2b=(2，3)-(-2，4)=(4，-1)， 因为ma+4b与a-2b共线， 所以4(3m+8)-(-1)×(2m-4)=0，得m=-2. 当m=-2时，ma+4b=(-8，2)， 所以ma+4b=-2(a-2b)， 所以ma+4b与a-2b方向相反. 13.(15分)设A，B，C，D为平面内的四点，且A(1，3)，B(2，-2)，C(4，1). (1)若=，求D点的坐标；(5分) (2)设向量a=，b=，若向量ka-b与a+3b平行，求实数k的值.（10分） 解：(1)设D(x，y)，因为=，所以(2，-2)-(1，3)=(x，y)-(4，1)，整理得(1，-5)=(x-4，y-1)，即有解得 所以D(5，-4). (2)因为a==(1，-5)，b==(4，1)-(2，-2)=(2，3)，所以ka-b=k(1，-5)-(2，3)=(k-2，-5k-3)，a+3b=(1，-5)+3(2，3)=(7，4). 因为向量ka-b与a+3b平行，所以7(-5k-3)-4(k-2)=0，解得k=-. 所以实数k的值为-. 14.(15分)在平面直角坐标系中，A(1，1)，B(3，4)，C(2x-1，4x). (1)若A，B，C三点共线，求x的值；（7分） (2)若D在AB的延长线上，且|AD|=3|AB|，求D点的坐标.（8分） 解：(1)由题意得=(2，3)，=(2x-2，4x-1)， ∵A，B，C三点共线，∴∥.由∥得，2×(4x-1)=3×(2x-2)，解得x=-2. (2)由题意得，=3，设D点坐标为(m，n)，于是=(m-1，n-1)，∴(m-1，n-1)=3(2，3)=(6，9)，解得m=7，n=10， ∴D点的坐标为(7，10). 学科网（北京）股份有限公司 $