1.4.1 向量分解及坐标表示 课时跟踪检测-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册配套练习word（湘教版）

1.4.1　向量分解及坐标表示 [课时跟踪检测] 1.平面内任一向量m都可以表示成λa+μb(λ，μ∈R)的形式，下列关于向量a，b的说法正确的是 (　　) A.向量a，b的方向相同 B.向量a，b中至少有一个是零向量 C.向量a，b的方向相反 D.当且仅当λ=μ=0时，λa+μb=0 解析：选D　因为任一向量m=λa+μb(λ，μ∈R)，根据平面向量的基本定理得，向量a，b不共线，故A、C不正确.因为a，b是一个基，所以不能为零向量，故B不正确.因为a，b不共线，且不能为零向量，所以若λa+μb=0，当且仅当λ=μ=0，故D正确.故选D. 2.已知e1，e2是不共线的非零向量，则以下向量可以作为基的是 (　　) A.a=0，b=e1-e2 B.a=3e1-3e2，b=e1-e2 C.a=e1-2e2，b=e1+2e2 D.a=e1-2e2，b=2e1-4e2 解析：选C　对于A，零向量与任意向量均共线，所以这两个向量不可以作为基.对于B，因为a=3e1-3e2，b=e1-e2，所以a=3b.所以这两个向量不可以作为基.对于C，设a=λb，即e1-2e2=λ(e1+2e2)，则无解，所以这两个向量不共线，可以作为一组基.对于D，因为a=e1-2e2，b=2e1-4e2，所以a=b.所以这两个向量不可以作为基.故选C. 3.(多选)在平面直角坐标系中，点A(2，3)，B(-3，4)，如图所示，x轴、y轴正方向上的两个单位向量分别为i和j，则下列说法正确的是 (　　) A.=2i+3j B.=3i+4j C.=-5i+j D.=5i-j 解析：选ACD　i，j互相垂直，故可取{i，j}作为一组基，由平面向量基本定理，知=2i+3j，=-3i+4j，==-5i+j，==5i-j，故A、C、D正确. 4.在△ABC中，=，DE∥BC，且与边AC相交于点E，△ABC的中线AM与DE相交于点N，设=a，=b，则在基{a，b}下的坐标为 (　　) A. B. C. D. 解析：选D　由题意得==()=()=(b-a)，所以在基{a，b}下的坐标为.故选D. 5.设{e1，e2}是某一平面内所有向量的一组基，若3xe1+(10-y)e2=(4y-7)e1+2xe2，则实数y的值为 (　　) A.3 B.4 C.- D.- 解析：选B　因为3xe1+(10-y)e2=(4y-7)e1+2xe2，所以(3x-4y+7)e1+(10-y-2x)e2=0. 又因为{e1，e2}是某一平面内所有向量的一组基， 所以解得 6.若=a，=b，=λ(λ≠-1)，则= (　　) A.a+λb B.λa+(1-λ)b C.λa+b D.a+b 解析：选D　∵=λ， ∴=λ()， ∴(1+λ)=+λ， ∴=+=a+b. 7.（5分）已知O是坐标原点，点A在第二象限，||=6，∠xOA=150°，则向量的坐标为　　　　.  解析：设点A(x，y)，则x=||cos 150°=6cos 150°=-3，y=||sin 150°=6sin 150°=3，即A(-3，3)，所以=(-3，3). 答案：(-3，3) 8. （5分）设i=(1，0)，j=(0，1)，a=3i+4j，b=-i+j，则a+b与a-b的坐标分别为　　　　　　　.  解析：由已知a=3i+4j，b=-i+j，得a+b=(3i+4j)+(-i+j)=2i+5j，a-b=(3i+4j)-(-i+j)=4i+3j，又i=(1，0)，j=(0，1)，所以a+b，a-b的坐标分别是(2，5)，(4，3). 答案：(2，5)，(4，3) 9. （5分）如图，在三角形ABC中，D是BC上靠近点C的三等分点，E为AD的中点，若=x+y，则x=　　　　.  解析：因为D是BC上靠近点C的三等分点，所以=+.又E为AD的中点，所以===-+.所以x=-. 答案：- 　 10.（5分）已知向量=，则绕原点按逆时针方向旋转得到的向量=　　　　.  解析：因为=，所以以OA为终边的角可为，故=.因为是绕原点按逆时针方向旋转得到的，所以==. 答案： 11.（5分）已知在平行四边形ABCD中，E为CD的中点，=y=x，其中x，y∈R，且均不为0.若∥，则=　　　　　.  解析：==x-y，由∥，可设=λ，即x-y=λ()=λ=-+λ，所以则=. 答案： 12.(10分)如图，在△OAB中，延长BA到点C，使AC=BA，在OB上取点D，使DB=OB，设=a，=b，求在基{a，b}下的坐标. 解：因为=+=+=+=2a-b，===2a-b-b=2a-b，所以在基{a，b}下的坐标为(2，-1)，在基{a，b}下的坐标为. 13.(10分)已知边长为1的正方形ABCD中(如图所示)，与x轴正半轴成30°角，求与的坐标. 解：由题知平移正方形ABCD，使得点A与原点O重合， 平移后的正方形为OB1C1D1，此时B1，D1分别是30°，120°角的终边与单位圆的交点. 设B1(x1，y1)，D1(x2，y2)， 由三角函数的定义，得x1=cos 30°=，y1=sin 30°=， 所以B1，所以==， 同理：x2=cos 120°=-，y2=sin 120°=， 所以D1，所以==. 14.(10分)如图，在△ABC中，点D是AC的中点，点E是BD的中点，设=a，=c. (1)用a，c表示向量；（5分） (2)若点F在AC上，且=a+c，求AF∶CF. （5分） 解：(1)因为==c-a，所以==(c-a).所以=(+)=+=-a+(c-a)=c-a. (2)设=λ，所以=+=+λ=a+λ(c-a)=(1-λ)a+λc.又=a+c，所以λ=.所以=.所以AF∶CF=4∶1. 15.(15分)如图，在平行四边形ABCD中，AD⊥AC，E为DC上靠近D的三等分点，G为BC上靠近C的三等分点，且HI∶IB恰为3∶5，若以A为原点，AC为x轴，AD为y轴，{}为基. (1)求的坐标；（7分） (2)求的坐标.（8分） 解：(1)如图，作EK∥CG交DG于K，又AD∥CG， 则EK∥AD，∴==， EK=CG=BC=AD. ∴==9，AH=AE. ∵=+=+=+()， ∴=+. ∴==×=+.∴的坐标为. (2)∵=+=+=+()，∴=+=+()=. ∴的坐标为. 学科网（北京）股份有限公司 $