5 课时精练(五) 向量分解及坐标表示-【正禾一本通】2024-2025学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套练习（湘教版2019）

课时精练(五)　向量分解及坐标表示 (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) [基础过关] 1．如图，以e1，e2为基，且e1＝(1，0)，e2＝(0，1)，则向量a的坐标为(　　) A．(1，3) B．(3，1) C．(－1，－3) D．(－3，－1) A　[由图可知，a＝e1＋3e2，又e1＝(1，0)，e2＝(0，1)，则a＝(1，3)，故选A．] 2．如图所示，已知在△ABC中，D是边AB上的中点，则＝(　　) A．－ B．－＋ C．－－ D．＋ B　[＝－＝－＝－＋．故选B．] 3．如果e1，e2是平面α内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基的是(　　) A．e1与2e1＋e2 B．e1－2e2与e1＋2e2 C．e1＋e2与e1－3e2 D．e1＋3e2与6e2＋2e1 D　[对于A：设2e1＋e2＝λe1，则所以无解；对于B：设e1－2e2＝λ(e1＋2e2)，则所以无解；对于C：设e1＋e2＝λ(e1－3e2)，则所以无解；对于D：设e1＋3e2＝λ(6e2＋2e1)，则解得λ＝，所以此两向量是共线向量；故D中向量不能作为平面内所有向量的一组基．故选D．] 4．如图，正方形ABCD中，M是BC的中点，若＝λ＋μ，则λ＋μ＝(　　) A． B． C． D．2 B　[＝＋＝＋，＝－； ∴＝λ＋μ ＝λ(＋)＋μ(－) ＝(λ－μ)＋(＋μ)； 又＝＋， ∴由平面向量基本定理得： 解得λ＝，μ＝； ∴λ＋μ＝． 故选B．] 5．在正方形ABCD中，设＝a，＝b．已知E，F，G分别是AB，DE，CF的中点，则＝(　　) A．a＋b B．a－b C．a＋b D．a＋b D　[由题中几何图形可知，＝＋＝＋＝(＋)＋＝(＋)＋＝(－＋)＋＝＋＝a＋b．故选D．] 6．已知向量e1，e2不共线，a＝e1＋2e2，b＝2e1＋λe2，若a，b能作为表示平面内任意向量的一组基，则实数λ的取值范围为____________． 解析：　根据题意，要使a，b作为平面内所有向量的一组基，则a与b不共线， 当a与b共线时，必存在实数m使b＝ma，m∈R； 即2e1＋λe2＝m(e1＋2e2)， 故可得解得m＝2，λ＝4； 故要使两向量作基，必有λ≠4． 答案：　(－∞，4)∪(4，＋∞) 7．已知a＝e1＋e2，b＝2e1－e2，c＝－2e1＋4e2(e1，e2是同一平面内的两个不共线向量)，则c＝________．(用a，b表示) 解析：　设c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则－2e1＋4e2＝λ(e1＋e2)＋μ(2e1－e2)＝(λ＋2μ)e1＋(λ－μ)e2， 因为e1，e2不共线，则解得因此c＝2a－2b． 答案：　2a－2b 8．已知△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，＝t，＝x＋y，则xy的最大值为________． 解析：　因为D，E分别为AB，AC的中点，＝t， 所以＝＋＝＋t＝＋t(－) ＝＋t＝(1－t)＋t， 又＝x＋y，所以 所以x＋y＝， 所以xy≤＝，当且仅当x＝y＝时取等号．故xy的最大值为． 答案：　 9．如图，在△AOB中，D是边OB的中点，C是边OA上靠近O的三等分点，AD与BC交于M点．设＝a，＝b． (1)用a，b示； (2)过点M的直线与边OA，OB分别交于E，F．设＝p，＝q，求＋的值． 解析：　(1)设＝xa＋yb， 则＝－＝(x－1)＋y ＝(x－1)a＋yb， ＝－＝－a＋b， ＝－＝xa＋(y－1)b， ＝－＝a－b． ∵A，M，D三点共线，∴，共线， 从而(x－1)＝－y①， 又C，M，B三点共线，∴，共线， 同理可得(y－1)＝－x②， 联立①②，解得故＝a＋b． (2)∵＝－＝a＋b－pa ＝(－p)a＋b， ＝－＝qb－pa． 又，共线，∴(－p)q＝－p， 整理得＋＝5． 10．若点M是△ABC所在平面内一点，且满足＝＋． (1)求△ABM与△ABC的面积之比； (2)若N为AB的中点，AM与CN交于点O，设＝x＋y，求x，y的值． 解析：　(1)如图，由＝＋可知M，B，C三点共线，所以存在实数λ， 使＝λ＝＋＝＋λ＝＋λ(－)＝(1－λ)＋λλ＝， 所以＝，即△ABM与△ABC的面积之比为1∶4． (2)由＝x＋y，可得＝x＋，＝＋y，由O，M，A三点共线及O，N，C三点共线，可得解得 [能力提升] 11．如图，直角梯形ABCD 中，已知AB∥CD，∠BAD＝ 90°，AD＝AB＝2，CD＝1，动点P在线段BC上运动，且＝m＋n(m，n∈R)，则＋的最小值是(　　) A．3 B．3＋2 C．4 D．4＋2 C　[设＝λ．因为＝＋＋＝－＋＋＝－＋，所以＝＋＝＋λ＝＋λ(－＋)＝(1－λ)＋λ，所以m＝1－λ，n＝λ，所以2m＋n＝2，＋＝＋＝1＋＋＋1≥2＋2＝4，当且仅当＝，即n＝2m时取等号，此时λ＝1，P与C重合，符合题意．故选C．] 12．已知△ABC，点P是平面上任意一点，且＝λ＋μ(λ，μ∈R)，给出以下命题： ①若λ＝，μ＝，则P为△ABC的内心； ②若λ＝μ＝1，则直线AP经过△ABC的重心； ③若λ＋μ＝1，且μ>0，则点P在线段BC上； ④若λ＋μ>1，则点P在△ABC外； ⑤若0<λ＋μ<1，则点P在△ABC内． 其中真命题为________________． 解析：　①若λ＝，μ＝，则＝＋，因为，是和，同向的单位向量，则P在∠BAC的角平分线上，但不一定是内心，故①错误； ②若λ＝μ＝1，则＝＋，则根据平行四边形法则可得，P在BC边中线的延长线上，故直线AP经过△ABC的重心，故②正确； ③若λ＋μ＝1，且μ>0，则＝(1－μ)＋μ＝－μ＋μ，即－＝－μ＋μ＝μ(－)，即＝μ，则点P在线段BC上或BC的延长线上，故③错误； ④若λ＋μ>1，＝λ＋(1－λ)＋(λ＋μ－1)，整理可得＝λ＋(λ＋μ－1)，λ＋μ－1>0，根据向量加法的平行四边形法则可判断点P在△ABC外，故④正确； ⑤若0<λ＋μ<1，可令λ＝－，μ＝，则＝－＋，则根据向量加法的平行四边形法则可判断点P在△ABC外，故⑤错误． 答案：　②④ 学科网（北京）股份有限公司 $$