4.3.1 第2课时 异面直线-【金版新学案】2023-2024学年新教材高一数学必修第二册同步课堂高效讲义教师用书（湘教版2019）

第2课时　异面直线 [课标解读]　1．从直线与直线位置关系的定义和基本事实出发，借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与直线的垂直关系．2．掌握两异面直线所成角的求法． 知识点一　异面直线判断方法 　与平面相交的直线与该平面内不过该交点的直线是异面直线． [点拨]　三棱锥(四面体)有三对异面直线，也称作三对对棱． 知识点二　异面直线所成的角 1．定义：对于异面直线a和b，在空间任取一点P，过P分别作a和b的平行线a′和b′，把a′与b′所成的锐角或直角叫作异面直线a与b所成的角． 2．范围：(0°，90°]． 3．垂直：如果两条异面直线a与b所成的角为90°，则称这两条异面直线互相垂直，记作a⊥b． [点拨]　研究异面直线所成的角，就是通过平移把异面直线转化为相交直线．这是研究空间图形的一种基本思路，即把空间图形问题转化为平面图形问题． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)如果两条平行直线中的一条与某一条直线垂直，那么另一条直线也与这条直线垂直．(　　) (2)异面直线所成的角的大小与点O的位置有关，即点O位置不同时，这一角的大小也不同．(　　) (3)若∠AOB＝110°，则分别和边OA，OB平行的两条异面直线所成的角为110°．(　　) (4)与一条直线都垂直的两条直线平行．(　　) (5)分别与两条异面直线平行的两条直线是异面直线．(　　) 答案：　(1)√　(2)×　(3)×　(4)×　(5)× 2．若a和b异面，b和c异面，则(　　) A．a∥c B．a和c异面 C．a和c异面或平行或相交 D．a和c相交 C　[在长方体ABCD－A1B1C1D1中， ①若直线AA1记为直线a，直线BC记为直线b，直线B1A1记为直线c， 则满足a和b是异面直线，b和c是异面直线， 而a和c相交； ②若直线AA1记为直线a，直线BC记为直线b，直线DD1记为直线c， 此时a和c平行； ③若直线AA1记为直线a，直线BC记为直线b，直线C1D1记为直线c，此时a和c异面． 故选C．] 3．在正方体ABCDA1B1C1D1各个面的对角线中与AD1所成的角为60°的有(　　) A．4条 B．6条 C．8条 D．10条 C　[由图可知△AB1D1和△AD1C均是等边三角形，所以B1D1，AB1，CD1，AC与AD1成60°角．根据平行关系，可知 BD，C1D，A1B，A1C1也与AD1成60°角，故满足题意的面对角线共有8条，故选C．] 4．已知正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是边AA1，AB的中点，则异面直线EF与CC1所成的角为________． 解析：　连接A1B(图略)，因为EF∥A1B，CC1∥BB1，所以∠A1BB1即为异面直线EF与CC1所成的角，所成的角为45°． 答案：　45° 探究点一　异面直线的判断 (1)若两个平面相交，则分别在这两个平面内的两条直线(　　) A．平行 B．异面 C．相交 D．以上皆有可能 (2)直线c，d与异面直线a，b都相交，则c，d的位置关系是(　　) A．平行 B．相交 C．异面 D．相交于一点或异面 解析：　(1)若α∩β＝l，a，cα，b，dβ，位置关系如右图所示： 若a∥l，b∥l，则a∥b，可知两条直线可以平行；由图可知，c与d相交，可知两条直线可以相交；由图可知，b与c异面，可知两条直线可以异面． (2)已知直线a与b是异面直线，设直线c与直线d分别与两条异面直线a与直线b相交于点A，B，C，D， 当点B与点C重合时，两条直线c与d相交， 当点B与点C不重合时，两条直线c与d异面． 答案：　(1)D　(2)D 学生用书第96页 判定两条直线是异面直线的方法 (1)定义法：由定义判断两直线不可能在同一平面内． (2) 重要结论：连接平面内一点与平面外一点的直线，与这个平面内不经过此点的直线是异面直线．用符号语言可表示为Aα，B∈α，lα，BlAB与l是异面直线(如图)．　　 即时练1．如图，点P，Q，R，S分别在正方体的四条棱上，且是所在棱的中点，则直线PQ与RS是异面直线的一个图是________． 解析：　①中PQ∥RS，②中RS∥PQ，④中RS和PQ相交． 答案：　③ 探究点二　异面直线所成的角 如图所示，点A是平面BCD外一点，AD＝BC＝2，E，F分别是AB，CD的中点，且EF＝，求异面直线AD与BC所成的角． 解析：　如图，设G是AC的中点，连接EG，FG． ∵E，F分别是AB，CD的中点， ∴EG∥BC且EG＝BC＝1， FG∥AD，且FG＝AD＝1． ∴∠EGF为异面直线AD与BC所成的角． 又EF＝，由勾股定理逆定理可得∠EGF＝90°， 即异面直线AD与BC所成的角为90°． 1．求异面直线所成