4.1.2 空间几何体的直观图-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册教师用书word（湘教版）

本高中数学讲义聚焦空间几何体直观图的斜二测画法，衔接空间几何体认识与后续计算，通过步骤分解、微点助解、基础训练及题型分类（平面图形、空间几何体、还原计算）构建学习支架，帮助学生掌握画法规则与应用。 资料以梯度进阶设计为特色，通过“微点助解”抽象建系原则与图形关系培养数学眼光，“思维建模”总结画法技巧发展推理能力，如例1画直角梯形直观图的步骤引导与例3还原图形的逻辑分析。课中助力分层教学，课后基础训练与针对训练帮助学生查漏补缺，强化空间观念与应用意识。

4.1.2　空间几何体的直观图(教学方式：深化学习课——梯度进阶式教学) [课时目标]　了解平行投影、斜二测画法.能用斜二测画法画出简单空间图形(球、圆柱、圆锥、棱柱及其简单组合体)的直观图. 1.用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤 2.空间几何体直观图的画法规则 (1)在已知图形中取水平平面，取互相垂直的轴Ox，Oy，再取Oz轴，使∠xOz=90°，且∠yOz=90°. (2)画直观图时，把它们画成对应的轴O'x'，O'y'，O'z'，使∠x'O'y'=45°(或135°)，∠x'O'z'=90°，x'O'y'所确定的平面表示水平平面. (3)已知图形中平行于x轴，y轴或z轴的线段，在直观图中分别画成平行于x'轴，y'轴或z'轴的线段. (4)已知图形中平行于x轴或z轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于y轴的线段，长度取原来的一半. |微|点|助|解|　 (1)斜二测画法中的建系原则 在已知图形中建立平面直角坐标系，理论上在任何位置建立坐标系都可以，但实际作图时，一般建立特殊的平面直角坐标系，尽量运用原有直线或图形中的垂直直线为坐标轴. (2)直观图与原图的关系 “三变” “三不变” 基础落实训练 1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)水平放置的正方形的直观图不可能是平行四边形. (　　) (2)平行四边形的直观图仍是平行四边形. (　　) (3)两条相交直线的直观图可能是平行直线. (　　) (4)两条垂直的直线的直观图仍互相垂直. (　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)× 2.用斜二测画法画水平放置的△ABC时，若∠A的两边分别平行于x轴、y轴，且∠A=90°，则在直观图中∠A'= (　　) A.45° B.135° C.45°或135° D.90° 答案：C 3.如图为棱柱的直观图，则直观图中△ABC对应的真实图形是 (　　) A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.长方形 答案：C 题型(一)　用斜二测画法画平面图形的直观图 [例1]　画出如图水平放置的直角梯形的直观图. 解：(1)在已知的直角梯形OBCD中，以底边OB所在直线为x轴，垂直于OB的腰OD所在直线为y轴建立平面直角坐标系.画出相应的x'轴和y'轴，使∠x'O'y'=45°，如图①②所示. (2)在x'轴上截取O'B'=OB，在y'轴上截取O'D'=OD，过点D'作x'轴的平行线l，在l上沿x'轴正方向取点C'使得D'C'=DC.连接B'C'，如图②. (3)擦去辅助线x'轴、y'轴和直线l，所得四边形O'B'C'D'就是直角梯形OBCD的直观图，如图③. 　　|思|维|建|模| 画水平放置的平面图形的直观图的技巧 (1)在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的坐标系是关键，一般要使得平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上，以便于画点. (2)在直观图中，确定坐标轴上的对应点以及与坐标轴平行的线段端点的对应点都比较容易，但是如果原图中的点不在坐标轴上或不在与坐标轴平行的线段上，就需要我们经过这些点作与坐标轴平行的线段，将其转化到与坐标轴平行的线段上来确定. (3)同一个图形选取坐标系的角度不同，得到的直观图可能不同. 　　[针对训练] 1.用斜二测画法画(如图所示)边长为4 cm的水平放置的正三角形的直观图. 解：(1)如图①，以BC边所在的直线为x轴，以BC边上的高线AO所在的直线为y轴. (2)画对应的x'轴、y'轴，使∠x'O'y'=45°.在x'轴上截取O'B'=O'C'=2 cm，在y'轴上截取O'A'=OA，连接A'B'，A'C'，如图②. (3)擦去辅助线x'轴和y'轴，则三角形A'B'C'即为正三角形ABC的直观图. 题型(二)　用斜二测画法画空间几何体的直观图 [例2]　用斜二测画法画一个上底面边长为1 cm，下底面边长为2 cm，高(两底面之间的距离，即两底面中心连线的长度)为2 cm的正四棱台. 解：(1)画轴.如图①所示，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使∠xOy=45°，∠xOz=90°. (2)画下底面.在平面xOy上画边长为2 cm的正方形的直观图，即平行四边形ABCD. (3)画上底面.在轴Oz上截取OO'=2 cm，过O'分别作平行于轴Ox、轴Oy的轴O'x'、轴O'y'，在平面x'O'y'上用画正四棱台下底面直观图的方法画出正四棱台的边长为1 cm的上底面的直观图，即平行四边形A'B'C'D'. (4)依次连接AA'，BB'，CC'，DD'，整理(去掉辅助线，将被遮挡部分改成虚线)得到正四棱台的直观图，如图②所示. 　　|思|维|建|模|　画空间几何体的直观图的关键 (1)对于一些常见简单几何体(柱、锥、台、球)的直观图，应该记住它们的大致形状，以便快速准确地画出. (2)画空间几何体的直观图比画平面图形的直观图增加了一个z轴，表示竖直方向. (3)平行于z轴(或在z轴上)的线段，方向与长度都与原来保持一致. 　　[针对训练] 2.用斜二测画法画棱长为2 cm的正方体ABCD⁃A'B'C'D'的直观图. 解：(1)画轴.如图①，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使∠xOy=45°，∠xOz=90°. (2)画底面.以点O为中心，在x轴上取线段MN，使MN=2 cm; 在y轴上取线段PQ，使PQ=1 cm. 分别过点M和N作y轴的平行线，过点P和Q作x轴的平行线， 设它们的交点分别为A，B，C，D， 四边形ABCD就是正方体的底面ABCD. (3)画侧棱.过A，B，C，D各点分别作z轴的平行线，并在这些平行线上分别截取2 cm长的线段AA'，BB'，CC'，DD'. (4)成图.顺次连接A'B'，B'C'，C'D'，D'A'，并加以整理(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)，就得到正方体的直观图(如图②). 题型(三)　平面直观图的还原与计算 [例3]　(1)一平面四边形OABC的直观图O'A'B'C'如图所示，其中O'C'⊥x'，A'B'⊥x'，B'C'∥y'，则四边形OABC的面积为 (　　) A. B.3 C.3 D. (2)如图所示，矩形O'A'B'C'是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O'A'=6 cm，C'D'=2 cm，则原图形是　　　　　.  解析：(1)由题图知∠x'O'y'=45°，O'C'=O'A'=1，∴A'B'=2. ∴S四边形O'A'B'C'=(1+2)×1=， ==， 解得S四边形OABC=3. (2)如图所示， 在原图形OABC中，应有OD=2O'D'=2×2=4(cm)，CD=C'D'=2(cm)， ∴OC===6(cm). ∴OA=OC，故四边形OABC是菱形. 答案：(1)B　(2)菱形 |思|维|建|模| (1)由直观图还原平面图形关键有两点： ①平行于x'轴的线段长度不变，平行于y'轴的线段变为原来的2倍; ②对于相邻两边不与x'轴，y'轴平行的顶点可通过作x'轴、y'轴平行线变换确定其在xOy中的位置. (2)一个平面图形与其斜二测画法所画直观图的面积间的关系是=. 　　[针对训练] 3.如图为一平面图形的直观图，则此平面图形可能是 (　　) 解析：选C　根据该平面图形的直观图，该平面图形为一个直角梯形，且在直观图中平行于y'轴的边与底边垂直. 4.若△ABC为边长为2 cm的正三角形，则其水平放置(斜二测画法)的直观图的面积为　　　　，其直观图的周长为　　　　.  解析：如图所示. △ABC为边长为2 cm的正三角形，则其水平放置的直观图△A'B'C'的面积为S△A'B'C'=·B'C'·O'A'·sin 45°=×2××sin 45°=. 其直观图△A'B'C'的周长为 L=A'B'+B'C'+C'A' =+ 2+ =+2+=2+. 答案：　2+ 学科网（北京）股份有限公司 $