4.1.1 第1课时 棱柱、棱锥、棱台-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册教师用书word（湘教版）

本讲义聚焦高中数学“立体几何初步”中棱柱、棱锥、棱台的结构特征，从空间几何体的基本元素及多面体、旋转体概念切入，通过定义解析、图示辅助、微点辨析逐步构建知识体系，形成从基础概念到具体几何体特征的学习支架。 采用逐点理清式教学，设置“定义-图示-微点助解-微点练明”环节，结合实物模型观察（如判断足球是否为多面体）、截面问题分析、展开图最短路径计算等实例，培养学生空间观念（数学眼光）、逻辑推理（数学思维）及用数学语言描述几何体的能力。课中助力教师系统授课，课后通过练习与典例解析帮助学生巩固知识、查漏补缺。

　立体几何初步 4.1　空间的几何体 4.1.1　几类简单几何体 第1课时　棱柱、棱锥、棱台(教学方式：基本概念课——逐点理清式教学) [课时目标] 1.了解构成空间几何体的基本元素，理解多面体的特点. 2.通过对实物模型的观察，归纳认识棱柱、棱锥、棱台的结构特征. 3.能运用棱柱、棱锥、棱台的结构特征描述生活中简单物体的结构，并进行有关计算. 逐点清(一)　空间几何体 　　　　　　 　　　 [多维理解] 1.空间几何体的定义 如果我们只考虑某些物体的形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形称为空间几何体. 2.多面体和旋转体 类别 多面体 旋转体 定义 把由若干个平面多边形(包括三角形)所围成的封闭体，叫作多面体 把平面上一条封闭曲线内的区域绕着该平面内的一条定直线旋转而成的几何体称为旋转体 图形 相关 概念 (1)面：围成多面体的各个多边形; (2)棱：两个面的公共边; (3)顶点：棱和棱的交点 轴：形成旋转面所绕的定直线 |微|点|助|解|　 (1)多面体的对角线：连接不在同一个面上的两个顶点的线段叫作多面体的对角线.例如图中的对角线BD'.并不是所有的多面体都有对角线. (2)多面体的面对角线：围成多面体的面的对角线.例如图中的面对角线AD'. (3)多面体的截面：用一个平面去截一个多面体，平面与多面体的交线是一个封闭的平面多边形，这个多边形就是多面体的截面.例如图中的截面ACE. [微点练明] 1.下列实物不能近似看成多面体的是 (　　) A.钻石 B.骰子 C.足球 D.金字塔 解析：选C　钻石、骰子、金字塔的表面都可以近似看成平面多边形，所以它们都能近似看成多面体.足球的表面不是平面多边形，故不能近似看成多面体. 2.如图所示，下列判断正确的是 (　　) A.①是多面体，②是旋转体 B.①是旋转体，②是多面体 C.①②都是多面体 D.①②都是旋转体 答案：A 3.(多选)满足如图所示的几何体，以下说法正确的是 (　　) A.该几何体是一个多面体 B.该几何体有9条棱，5个顶点 C.该几何体有7个面 D.该几何体是旋转体 答案：AB 逐点清(二)　棱柱的结构特征 　　　　　　 　　　　　 　　　　　 [多维理解] 1.棱柱的结构特征 定义 一般地，有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面围成的多面体叫作棱柱 图示及 相关 概念 如图可记作： 棱柱ABCDEF⁃ A'B'C'D'E'F' 底面(底)：两个互相平行的面(它们是全等的多边形); 侧面：其余各面(都是平行四边形); 侧棱：相邻两个侧面的公共边; 顶点：侧棱与底面的公共顶点 分类 按底面多边形的边数分：三棱柱、四棱柱、五棱柱等 2.几种特殊的棱柱 (1)直棱柱：侧面都是矩形的棱柱(如图①③); (2)斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱(如图②④); (3)正棱柱：底面是正多边形的直棱柱(如图③); (4)底面和侧面都是矩形的棱柱为长方体，而所有棱长都相等的长方体就是正方体; (5)平行六面体：两个底面是平行四边形的棱柱(如图④). [微点练明] 1.下列说法正确的是 (　　) A.棱柱的侧面可以是三角形 B.四棱柱的底面一定是平行四边形 C.一个棱柱至少有六个顶点、九条棱、五个面 D.棱柱的各条棱都相等 解析：选C　棱柱的侧面是平行四边形，不可能是三角形，所以A不正确;四棱柱的底面是四边形，不一定是平行四边形，所以B不正确;棱柱的侧棱与底面边长不一定相等，所以D不正确;易知C正确. 2.下列说法正确的是 (　　) A.有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱 B.有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱 C.棱柱的侧棱总与底面垂直 D.九棱柱有9条侧棱，9个侧面，侧面均为平行四边形 解析：选D　选项A、B都不正确，反例如图所示;C不正确，棱柱的侧棱可能与底面垂直，也可能不垂直.根据棱柱的定义知D正确. 3.已知如图所示的长方体ABCD⁃A1B1C1D1. (1)这个长方体是棱柱吗?如果是，是几棱柱?为什么? (2)用平面BCNM把这个长方体分成两部分，各部分形成的几何体还是棱柱吗?若是，请指出它们的底面. 解：(1)长方体是四棱柱.因为它有两个平行的平面ABCD与平面A1B1C1D1，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边互相平行，这符合棱柱的定义. (2)用平面BCNM把这个长方体分成两部分，其中一部分有两个平行的平面BB1M与平面CC1N，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边互相平行，这符合棱柱的定义，所以是三棱柱，可用符号表示为三棱柱BB1M⁃CC1N.同理，另一部分也是棱柱，可以用符号表示为四棱柱ABMA1⁃DCND1. 逐点清(三)　棱锥、棱台的结构特征 　　　　　　 　　　　　 　　　　　 [多维理解] 1.棱锥的结构特征 定义 有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，这样的多面体叫作棱锥 图示及 相关概念 如图可记作： 棱锥S⁃ABCDE 侧面：具有同一个公共顶点的三角形面; 顶点：公共顶点; 侧棱：相邻两个侧面的公共边; 底面：除了侧面外，剩下的那一个多边形面 分类 按底面多边形的边数分：三棱锥、四棱锥、五棱锥等，其中三棱锥又叫四面体.如果棱锥的底面是正多边形，将底面水平放置后，它的顶点又在过正多边形中心的铅垂线上，则这样的棱锥称为正棱锥 |微|点|助|解|　　 有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体不一定是棱锥，因为“其余各面都是三角形”并不等价于“其余各面是有一个公共顶点的三角形”.如图所示的几何体便不是棱锥. 2.棱台的结构特征 定义 过棱锥任一侧棱上不与侧棱端点重合的一点，作一个与底面平行的平面去截棱锥，截面和原棱锥底面之间的这部分多面体叫作棱台 图示及 相关概念 如图可记作：棱台 ABCD⁃A'B'C'D' 上底面：截面; 下底面：原棱锥的底面; 侧面：其余各面(都是梯形); 侧棱：相邻侧面的公共边; 顶点：侧面与上(下)底面的公共顶点 分类 按由几棱锥截得分：三棱台、四棱台、五棱台等. 由正棱锥截得的棱台称为正棱台 |微|点|助|解|　 (1)正确认识棱台的结构特征 ①上底面与下底面是互相平行的相似多边形; ②侧面都是梯形; ③侧棱延长线必交于一点. (2)正棱台的结构特征 ①各侧棱相等，侧面是全等的等腰梯形; ②两底面及平行于底面的截面是相似多边形; ③正棱台的对角面是等腰梯形. [微点练明] 1.下列说法正确的有 (　　) ①由五个面围成的多面体只能是四棱锥; ②仅有两个面互相平行的五面体是棱台; ③两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台. A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 解析：选A　由五个面围成的多面体还可能是三棱台、三棱柱等，故①错误.三棱柱是只有两个面平行的五面体，故②错误.如图，可知③错误. 2.一个多边形沿垂直于多边形所在平面的方向平移一段距离，且各边长度缩短为原来的，则形成的几何体为 (　　) A.棱柱 B.棱锥 C.棱台 D.长方体 解析：选C　由题意得，平移前多边形和平移后多边形所在的平面平行，平移后的多边形与原多边形相似，且相对应的顶点的连线能相交于一点，符合棱台的结构特征，故形成的几何体为棱台，故选C. 3.用一个平面去截一个四棱锥，截面形状不可能是 (　　) A.四边形 B.三角形 C.五边形 D.六边形 解析：选D　一般情况下，截面与几何体的几个面相交就得到几条交线，截面就是几边形，而四棱锥只有5个面，所以截面形状不可能是六边形，故选D. 4.如图所示，在三棱台A'B'C'⁃ABC中，截去三棱锥A'⁃ABC，则剩余部分是 (　　) A.三棱锥　　　　　　 B.四棱锥 C.三棱柱 D.三棱台 解析：选B　由题图知剩余的部分是四棱锥A'⁃BCC'B'. 逐点清(四)　空间几何体的平面展开图 　　　　　　　　　　　　　　　　 [典例]　(1)画出如图所示的几何体的平面展开图(画出其中一种即可). (2)如图，在长方体ABCD⁃A1B1C1D1中，AB=4，BC=3，BB1=5，一只蚂蚁从点A出发沿表面爬行到点C1，求蚂蚁爬行的最短路线长. 解：(1)平面展开图如图所示， (2)沿长方体的一条棱剪开，有三种剪法： ①如图(1)，以A1B1为轴展开，AC1= ==4. ②如图(2)，以BC为轴展开，AC1= ==3. ③如图(3)，以BB1为轴展开，AC1= =. 相比较可得蚂蚁爬行的最短路线长为. |思|维|建|模| 1.多面体的展开与折叠 (1)在解题过程中，常常给多面体的顶点标上字母，先把多面体的底面画出来，然后依次画出各侧面，便可得到其平面展开图. (2)由展开图复原几何体：若是给出多面体的平面展开图，来判断是由哪一个多面体展开的，则可把上述过程逆推. 2.距离最短问题的解题策略 求从几何体的表面上一点，沿几何体表面运动到另一点，所走过的最短距离，常将几何体的侧面展开，转化为求平面上两点间的最短距离问题. 　 　[针对训练] 　如图是三个几何体的侧面展开图，请问各是什么几何体? 解：①为五棱柱;②为五棱锥;③为三棱台. 学科网（北京）股份有限公司 $