2.3 第3课时 简单的三角恒等变换的应用-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册教师用书word（湘教版）

第3课时　简单的三角恒等变换的应用 (教学方式：拓展融通课——习题讲评式教学) 题型(一)　利用辅助角公式研究三角函数性质 (1)辅助角公式asin x+bcos x=sin(x+φ)可以由两角和的正弦公式推导. (2)辅助角公式中tan φ=，且辅助角φ的终边经过点(a，b)，一般地，辅助角φ的范围是[0，2π). (3)辅助角公式能够把形如f(x)=asin ωx+bcos ωx(ab≠0)的函数，都可以化为asin ωx+bcos ωx=sin(ωx+φ)的形式. [例1]　若函数f(x)=(1+tan x)cos x，0≤x<. (1)把f(x)化成Asin(ωx+φ)或Acos(ωx+φ)的形式; (2)判断f(x)在上的单调性，并求f(x)的最大值. 解：(1)f(x)=(1+tan x)cos x=cos x+sin x=2=2sin. (2)因为0≤x<，所以f(x)在上单调递增，在上单调递减.所以当x=时，f(x)有最大值2. |思|维|建|模| (1)为了研究函数的性质，往往要充分利用三角变换公式转化为正弦型(余弦型)函数，这是解决问题的前提. (2)解此类题时要充分运用两角和(差)、二倍角公式、辅助角转换公式消除差异，减少角的种类和函数式的项数，为讨论函数性质提供保障. 　　[针对训练] 1.已知函数f(x)=2asin ωxcos ωx+2cos2ωx-(a>0，ω>0)的最大值为2，且最小正周期为π. (1)求函数f(x)的解析式及其对称轴方程; (2)若f(α)=，求sin的值. 解：(1)f(x)=asin 2ωx+cos 2ωx=·sin(2ωx+φ).由题意知f(x)的最小正周期为π，由=π，知ω=1.由f(x)的最大值为2，得 =2， 又a>0，∴a=1.∴f(x)=2sin. 令2x+=+kπ(k∈Z)， 解得f(x)的对称轴为x=+(k∈Z). (2)由f(α)=，知2sin=， 即sin=，∴sin =sin=-cos=-1+2sin2=-1+2×=-. 题型(二)　三角恒等变换与解三角形相结合 [例2]　(2023·全国甲卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知=2. (1)求bc; (2)若-=1，求△ABC面积. 解：(1)由余弦定理知cos A=， 代入=2， 得2bc=2，故bc=1. (2)由正弦定理及-=1， 得-=1， 化简得-=1. ∵A+B=π-C，∴sin(A+B)=sin C， ∴sin(A-B)-sin B=sin C=sin(A+B)， ∴sin Acos B-cos Asin B-sin B =sin Acos B+cos Asin B， ∴-2cos Asin B=sin B.∵B∈(0，π)， ∴sin B≠0，∴cos A=-. ∵A∈(0，π)， ∴sin A==. 由(1)知bc=1， 故△ABC的面积S=bcsin A=×1×=. 　　 [针对训练] 2.(2023·全国乙卷)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若acos B-bcos A=c，且C=，则B= (　　) A. B. C. D. 解析：选C　因为acos B-bcos A=c，所以由正弦定理得sin Acos B-sin Bcos A=sin C=sin(B+A)，则2sin Bcos A=0.在△ABC中，sin B≠0，则cos A=0，A=.所以B=π-A-C=π--=，故选C. 3.(2023·新课标Ⅰ卷)已知在△ABC中，A+B=3C，2sin(A-C)=sin B. (1)求sin A; (2)设AB=5，求AB边上的高. 解：(1)因为A+B=3C，所以3C=π-C，所以C=. 因为2sin(A-C)=sin B， 所以2sin(A-C)=sin[π-(A+C)]=sin(A+C)， 所以2sin Acos C-2cos Asin C=sin Acos C+cos Asin C， 所以sin Acos C=3cos Asin C， 所以sin A=3cos A.由sin2A+cos2A=1， 得sin A=. (2)由(1)知sin A=，tan A=3>0，所以A为锐角，所以cos A=， 所以sin B=sin=(cos A+sin A)=×=， 由正弦定理=， 得AC===2， 故AB边上的高为AC×sin A=2×=6. 题型(三)　三角恒等变换的实际应用问题 [例3]　如图，某工人要从一块圆心角为45°的扇形木板中割出一块一边在半径上的内接长方形桌面，若扇形的半径长为1 m，求割出的长方形桌面的最大面积. 解：如图，连接OC，设∠COB=θ，则0°<θ<45°，OC=1. 因为AB=OB-OA=cos θ-AD=cos θ-sin θ， 所以S矩形ABCD=AB·BC=(cos θ-sin θ)·sin θ=-sin2θ+sin θcos θ=-(1-cos 2θ)+sin 2θ=(sin 2θ+cos 2θ)-=cos(2θ-45°)-. 当2θ-45°=0°，即θ=22.5°时，Smax=(m2)， 所以割出的长方形桌面的最大面积为 m2. 　　|思|维|建|模| 应用三角函数解决实际问题的方法及注意事项 方法 解答此类问题，关键是合理引入辅助角，确定各量之间的关系，将实际问题转化为三角函数问题，再利用三角函数的有关知识求解 注意 在求解过程中，要注意三点：①充分借助平面几何性质，寻找数量关系.②注意实际问题中变量的范围.③重视三角函数有界性的影响 　　 [针对训练] 4.在这春光明媚的季节里某市高级中学“校长杯”班级足球联赛正如火如荼地举行，在高一年级某场比赛中，两个班级的比赛场地为矩形ABCD(如图)，现已知矩形中AB=25米，AD=25米，宽为5米的足球门EF在边AD的中间放置. (1)比赛中，同学甲在距离AD为18米，离AB为12米的地点O处获得直接任意球机会，准备直接射门，求其有效射门角度;(求出∠FOE的某个三角函数值即可) (2)同学乙在边线BA上带球突破(视作点P在BA边上移动)，准备起脚向球门EF射门，求该同学应在何处(PA长为多少米时)射门角度最佳.(即使∠EPF最大)(以上问题不考虑场上其他因素) 解：(1)分别作OM⊥AB，ON⊥AD，垂足分别为M，N， 由题意可知EF=5米，DE=AF=10米，OM=12米，ON=18米，所以NF=2米，NE=3米，在Rt△ONE中，tan∠EON==， 在Rt△ONF中，tan∠FON==，所以tan∠EOF=tan(∠EON+∠FON)==. (2)设AP=x，x∈(0，25)，tan∠EPA=，tan∠FPA=，tan∠EPF=tan(∠EPA-∠FPA)==≤=， 当且仅当x=，即x=5∈(0，25)时等号成立，此时∠EPF最大，所以该同学应在距离点A为5时射门角度最佳. 学科网（北京）股份有限公司 $