1.6.2 正弦定理-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册教师用书word（湘教版）

1.6.2　正弦定理(教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学) [课时目标]　了解正弦定理的推导过程,掌握正弦定理的内容及公式变形.能利用正弦定理解决一些简单的三角形度量问题. 1.正弦定理 (1)语言S叙述:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等. (2)公式表达:==. (3)正弦定理的推广 设R为△ABC外接圆的半径,则===2R. 2.正弦定理的变形 (1)a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C(边化角). (2)sin A=,sin B=,sin C=(角化边). (3)a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C(边角互化). (4)===. |微|点|助|解|　 (1)如已知两边a,b和a的对角A,解的情况如下表: A> A= A< a>b 一解 一解 一解 a=b 无解 无解 一解 a<b 无解 无解 a>bsin A 两解 a=bsin A 一解 a<bsin A 无解 (2)在△ABC中,sin A>sin B⇔a>b. (3)记牢15°,75°的正弦值: sin 15°=,sin 75°=. 基础落实训练 1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)正弦定理仅适用于非直角三角形. (　　) (2)在△ABC中,若c2>a2+b2,则△ABC为钝角三角形. (　　) (3)在△ABC中,若已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两个角的类型问题,则求解时都只有一个解. (　　) 答案:(1)×　(2)√　(3)√ 2.在△ABC中,A=60°,BC=,则△ABC外接圆的半径为 (　　) A. B.1 C.2 D.3 解析:选B　设R为△ABC外接圆的半径,则由正弦定理,得2R===2,解得R=1.所以△ABC外接圆的半径为1. 3.在△ABC中,A=45°,c=2,则AC边上的高等于　　　　.  解析:AC边上的高为ABsin A=csin A=2sin 45°=. 答案: 4.在锐角三角形ABC中,角A,B所对的边分别为a,b,若2asin B=b,则A=　　　　.  解析:在△ABC中,利用正弦定理得2sin Asin B=sin B,∵sin B≠0,∴sin A=.又A为锐角,∴A=. 答案: 题型(一)　已知两角及任意一边解三角形 [例1]　(1)在△ABC中,若A=,B=,a=2,则b= (　　) A.2 B.3 C.2 D.3 (2)在△ABC中,已知a=8,B=60°,C=75°,则b=　　　　.  解析:(1)由正弦定理=, 得=,解得b=3. (2)A=180°-(B+C)=180°-(60°+75°)=45°. 由正弦定理=, 得b===4. 答案:(1)B　(2)4 |思|维|建|模| 已知两角和任意一边,解三角形的步骤 (1)求角:根据三角形内角和定理求出第三个角; (2)求边:根据正弦定理,求另外的两边. 　　[针对训练] 1.一个三角形的两个角分别等于120°和45°,若45°角所对的边长是4,那么120°角所对边长是 (　　) A.4 B.12 C.4 D.12 解析:选D　若设120°角所对的边长为x,则由正弦定理可得=,于是x===12,故选D. 2.在△ABC中,若B=135°,C=15°,a=5,则此三角形的最大边长为 (　　) A.5 B.4 C.5 D.4 解析:选C　根据题意得A=180°-135°-15°=30°,则此三角形的最大边是b,由正弦定理=,得b===5. 题型(二)　已知两边和其中一边的对角解三角形 [例2]　已知下列各三角形中的两边及其中一边的对角,判断三角形是否有解,有解的作出解答. (1)a=10,b=20,A=80°; (2)b=5,c=5,C=60°; (3)a=2,b=6,A=30°. 解:(1)∵b=20,A=80°, ∴bsin A=20sin 80°>20sin 60°=10. 又a=10,∴a<bsin A. ∴此三角形无解. (2)∵b=5,c=5, ∴b<c.又C=60°<90°,∴此三角形有解. ∵sin B===,∴B=30°. ∴A=180°-(B+C)=90°. ∴a==10. ∴A=90°,B=30°,a=10. (3)∵a=2,b=6,A=30°<90°, ∴bsin A=6sin 30°=3.∴bsin A<a<b. ∴此三角形有两解. ∵sin B===, ∴B=60°或B=120°. 当B=60°时,C=90°,c===4; 当B=120°时,C=30°,c=a=2. ∴B=60°,C=90°,c=4或B=120°,C=30°, c=2. |思|维|建|模| 已知两边及其中一边的对角,解三角形的步骤 (1)用正弦定理求出另一边所对角的正弦值,进而求出这个角; (2)用三角形内角和定理求出第三个角; (3)根据正弦定理求出第三条边. [提醒]　已知三角形的两角和任意一边,解三角形,有唯一解,已知两边和其中一边的对角,解三角形,可能出现一解,两解或无解的情况. 　　[针对训练] 3.在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,A=60°,a=.若这个三角形有两解,则b的取值范围是 (　　) A.(,2] B.(,2) C.(1,2) 　D.(1,2] 解析:选B　由正弦定理=可得,b===2sin B.要使△ABC有两解,即B有两解,则应有A<B,且sin B<1,所以=sin A<sin B<1.所以<b<2.故选B. 4.已知△ABC中,b=4,c=2,C=30°,那么此三角形 (　　) A.有一解 B.有两解 C.无解 D.解的个数不确定 解析:选C　由正弦定理和已知条件得=,∴sin B=>1.∴此三角形无解.故选C. 题型(三)　正、余弦定理的综合应用 [例3]　(2023·新课标Ⅱ卷)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知△ABC的面积为,D为BC的中点,且AD=1. (1)若∠ADC=,求tan B; (2)若b2+c2=8,求b,c. 解:(1)因为D为BC的中点, 所以S△ABC=2S△ADC=2××AD×DCsin∠ADC=2××1×DC×=, 解得DC=2, 所以BD=DC=2,a=4. 因为∠ADC=,所以∠ADB=. 在△ABD中,由余弦定理,得c2=AD2+BD2-2AD·BDcos∠ADB=1+4+2=7,所以c=. 在△ABD中,由正弦定理,得=, 所以sin B==, 所以cos B==. 所以tan B==. (2)因为D为BC的中点,所以BC=2BD. 在△ABD与△ABC中,由余弦定理,得cos B==, 整理,得2BD2=b2+c2-2=6, 得BD=,所以a=2. 在△ABC中,由余弦定理,得cos∠BAC===-, 所以S△ABC=bcsin∠BAC=bc =bc= =, 解得bc=4. 则由解得b=c=2. |思|维|建|模| 利用正、余弦定理解三角形的注意点 正、余弦定理都是用来解三角形的,但在解题过程中要有意识地考虑用哪个定理更适合,或是两个定理都要用,应抓住两个定理的特点:正弦定理“边对角”,余弦定理“边夹角”,正确选择定理是解决此类题目的关键. 　　[针对训练] 5.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,sin A-sin B+=0,则△ABC的形状一定为 (　　) A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等边三角形 D.钝角三角形 解析:选B　在△ABC中,sin A-sin B+=0,则由正弦定理得(sin A-sin B)+=·(sin A-sin B)=0.因为三角形中,A,B,C∈(0,π),所以sin C>0⇒+1≠0.所以sin A=sin B⇒a=b,则△ABC的形状一定为等腰三角形.故选B. 6.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a2-b2=2bc,sin C=3sin B,则A= (　　) A. B. C. D. 解析:选B　因为sin C=3sin B,所以由正弦定理得c=3b.又因为a2-b2=2bc,所以a2=7b2.又由余弦定理,可得cos A===.因为A∈(0,π),所以A=.故选B. 学科网（北京）股份有限公司 $