1.6.1 余弦定理-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册教师用书word（湘教版）

1.6　解三角形 1.6.1　余弦定理(教学方式：深化学习课——梯度进阶式教学) [课时目标] 通过向量的运算探索三角形边长与角度的关系，掌握余弦定理.能利用余弦定理解决简单的实际问题. 1.解三角形 三条边和三个内角是三角形最基本的六个元素，通常只要知道了三个元素(其中至少包括一条边)就可以求出其余三个未知元素.这种从已知三角形的某些元素出发求这个三角形其他元素的过程叫作解三角形. 2.余弦定理及变形 公式表达 a2=b2+c2-2bccos A；b2=a2+c2-2accos B；c2=a2+b2-2abcos C 语言叙述 三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍 变形 cos A=；cos B=；cos C= |微|点|助|解|　 (1)余弦定理的特点 ①适用范围：余弦定理对任意的三角形都成立. ②揭示的规律：余弦定理指的是三角形中三条边与其中一个角的余弦之间的关系，它含有四个不同的量，知道其中的三个量，就可求得第四个量. (2)余弦定理的特例(勾股定理) 在△ABC中，c2=a2+b2⇔C为直角；c2>a2+b2⇔C为钝角；c2<a2+b2⇔C为锐角. 3.△ABC的面积公式 (1)S△ABC=a·ha=b·hb=c·hc(ha，hb，hc分别为边a，b，c上的高)； (2)S△ABC=absin C=acsin B=bcsin A. 基础落实训练 1.在△ABC中，已知a=9，b=2，C=150°，则c等于 (　　) A. B.8 C.10 D.7 解析：选D　由余弦定理得 c= ==7. 2.在△ABC中，若a=，b=3，c=2，则A= (　　) A.30° B.60° C.45° D.90° 解析：选B　因为a=，b=3，c=2，所以由余弦定理得cos A===.又0°<A<180°，则A=60°.故选B. 3. 在△ABC中，若a2-c2+b2=ab，则cos C=　　　　.  解析：∵a2-c2+b2=ab，∴c2=a2+b2-ab.又∵c2=a2+b2-2abcos C，∴2cos C=1.∴cos C=. 答案： 4.在△ABC中，已知a=9，b=2，C=150°，则△ABC的面积为　　　　.  解析：由面积公式得S△ABC=absin C=×9×2sin 150°=. 答案： 题型(一)　已知两边及一角解三角形 [例1]　(1)在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b=3，c=2，A=30°，求a的值； (2)在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b=3，c=3，B=30°，解这个三角形. 解：(1)由余弦定理，得a2=b2+c2-2bccos A=32+(2)2-2×3×2×cos 30°=3.所以a=. (2)由余弦定理b2=a2+c2-2accos B， 得32=a2+(3)2-2a×3×cos 30°， 即a2-9a+18=0，解得a=3或a=6. 当a=3时，A=B=30°，C=120°； 当a=6时，由余弦定理得cos A==0， 又0°<A<180°，所以A=90°，C=60°. 综上，当a=3时，A=30°，C=120°； 当a=6时，A=90°，C=60°. |思|维|建|模| 已知两边及一角解三角形的两种情况 (1)若已知角是其中一边的对角，可用余弦定理列出关于第三边的一元二次方程求解. (2)若已知角是两边的夹角，则直接运用余弦定理求出另外一边，再用余弦定理和三角形内角和定理求其他角. 　　[针对训练] 1.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=2，b=，B=60°，则c= (　　) A.1 B. C.3 D.1或3 解析：选C　由余弦定理b2=a2+c2-2accos B，得7=4+c2-2c，即(c-3)(c+1)=0，解得c=3.故选C. 2.在△ABC中，a=2，c=+，B=45°，解这个三角形. 解：根据余弦定理得，b2=a2+c2-2accos B=(2)2+(+)2-2×2×(+)×cos 45°=8，∴b=2，又∵cos A= ==，0°<A<180°， ∴A=60°，C=180°-(A+B)=75°. 题型(二)　已知三边(三边关系)解三角形 [例2]　(2025·全国Ⅱ卷)在△ABC中，BC＝2，AC＝1＋，AB＝，则A＝(　　) A．45° B．60° C．120° D．135° 解析：选A　∵cos A＝ ＝＝＝，且0°<A<180°，∴A＝45°. |思|维|建|模|　已知三角形的三边求角的基本步骤 求第一个角 先利用余弦定理的推论求一个角的余弦值，再判定此角的取值，求得第一个角(一般先求最小角) 求第二个角 继续用余弦定理求另一个角 求第三个角 最后用三角形内角和定理求出第三个角 　　[针对训练] 3.设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若(a+b-c)(a+b+c)=ab，则角C=　　　　.  解析：∵(a+b)2-c2=ab， ∴cos C==-，C=. 答案： 4.已知△ABC中，a∶b∶c=2∶∶(+1)，求△ABC中各角的度数. 解：已知a∶b∶c=2∶∶(+1)，可令a=2，b=，c=+1， 由余弦定理，得 cos A===， ∵0°<A<180°，∴A=45°. cos B===， ∵0°<B<180°，∴B=60°. ∴C=180°-A-B=180°-45°-60°=75°. 题型(三)　余弦定理的综合应用 [例3]　在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，c=2acos B. (1)判断△ABC的形状； (2)若c=1，C=，求△ABC的面积. 解：(1)∵c=2acos B，∴c=2a·，∴a2+c2-b2=c2，即a2=b2，∴a=b，△ABC为等腰三角形. (2)由(1)知a=b，∴cos C===，解得a2=2+，∴S△ABC=absin C=a2sin C=. |思|维|建|模| (1)余弦定理及其推论把“边、角、边”和“边、边、边”判定三角形全等的定理从数量化的角度进行了刻画，使其变成了可以计算的公式. (2)余弦定理及其推论在结构上有所不同，在应用它们解三角形时要根据条件灵活选择. (3)因为余弦函数y=cos x在(0，π)上是减函数，此时，由cos α=m(-1<m<1)来确定α是唯一的，因此用余弦定理求解三角形的内角时就不必分情况讨论了. 　　[针对训练] 5.在△ABC中，bcos A=acos B，则△ABC是 (　　) A.等边三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.锐角三角形 解析：选B　因为bcos A=acos B，所以b·=a·. 所以b2+c2-a2=a2+c2-b2.所以a2=b2.所以a=b.故此三角形是等腰三角形. 6.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若C=，c=2，则△ABC面积的最大值为　　　　.  解析：由C=及c=2可得4=a2+b2-2abcos， 即a2+b2-ab=4， 由不等式a2+b2≥2ab可得2ab-ab≤4， 即ab≤4，当且仅当a=b=2时取等号. 所以S=absin C=ab≤×4=，故△ABC面积的最大值为. 答案： 学科网（北京）股份有限公司 $