6.4 数学建模案例（二）：曼哈顿距离-【金版教程】2024-2025学年高中数学必修第二册创新导学案word（湘教版2019）

学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 D.zxxk.com. 您身边的互联网+教辅专家 第6章 数学建模 DIIUZHANG 6.4 数学建模案例(二):曼哈顿距离 公路设计 如图,某地为了开发旅游资源,欲修建一条连接风景点P和居民区O的公路,点P所在的山 坡面与山脚所在水平面a所成的二面角为o(0{<890*),且sin8=25,点P到平面a的距离 PH-0.4km,沿山脚原有一段笔直的公路AB可供利用,从点O到山脚修路的造价为a万 元/km,原有公路改建费用为a2万元/km.当山坡上公路长度为7km(1今1<2)时,其造价为(/ +1)a万元.已知OA1AB,PB1AB,AB=1.5km,OA=3km (1)在AB上求一点D,使沿折线PDAO修建公路的总造价最小; (2)对于(1)中得到的点D,在DA上求一点E,使沿折线PDEO修建公路的总造价最小 (3)在AB上是否存在两个不同的点D,E',使沿折线PDFO修建公路的总造价小于(2)中得 到的最小总造价?证明你的结论 解 (1)如图,PHa,HBCa,PB AB, 由直线与平面垂直的判定定理知,AB1HB,所以 PBH是山坡与平面a所成二面角的平面角 ,则 PBH-6,PB-PHsin-1(km). 设BD-xkm,0<x<1.5. 则PD-x2+PB2-x2+1E[1,1.8]. 记总造价为f(x)万元, 根据题设有fi(x)=avs4allcol(PD2+I+(12)AD+AO)a=avs4alcol(x2-f(1113) -avs4allcol(x-jf(14))a+avs4allcoI(f(4316)+v(3)a 当x=14,即BD-14km时,总造价f(x)最小,且最小总造价为alvs4allcol(0f(4316)+ r(3)a万元. (2)设AE-ykm,0<y<54,总造价为f()万元. _ 学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 B.zxxk.Com 您身边的互联网+教辅专家 根据题设有f)=PD2+1+r(y2+3rc\14)-y)a=avs4lallcolry2+3)-fy2))a+4316a 则/2()=avs4alcol(f(yy2+3)2)a 由/2(v)-0,得-1. 当yE(0,1)时,f2(y)0,f()在(0,1)内是减函数; 当yEalvs4lal)col(1,f(54)时,f2>0,f)在aivs4allcol(1,f(54)内是增函数 故当y=1,即AE=1km时,总造价f()最小,且最小总造价为6716a万元. (3)解法一:不存在这样的点D,E. 事实上,在AB上任取不同的两点D,E',为使总造价最小,E'显然不能位于D与B之间 .故可设E位于D与A之间,且BD=xikm,AE'=yvkm,0<x+y<32,总造价为$万 元,则s-2121avs4alco1(x-fxly+3114)a.类似于(1)(2)讨论知,x21-x12-116,21y +3-vl2二32,当且仅当x=14,=1同时成立时,上述两个不等式等号同时成立,此时 BD'=14km,AE=1km,S取得最小值6716a,点D,E'分别与点D,E重合,所以不存在 这样的点D,E',使沿折线PDEO修建公路的总造价小于(2)中得到的最小总造价 解法二:同解法一得 S-2121avs4alcol(x-f(xly+3114)a =vs4allcol(x1-f(14))2a+143(②ly+3-y)+(②1y+3+ya+4316 14×221213(y+3)-yl)(ry+3)+yl)×a+4316a=6716a. 当且仅当x-14且3(21y+3-y)-21y+3+y,即x-14,y=1同时成立时,s取得最小值 6716a: 以下同解法一: