1.3 第1课时 向量的数乘-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册教师用书word（湘教版）

1.3　向量的数乘 第1课时　向量的数乘(教学方式：基本概念课——逐点理清式教学) [课时目标] 1.通过实例分析，掌握平面向量数乘运算及运算法则，理解其几何意义. 2.理解两个平面向量共线的含义.了解平面向量的线性运算性质及其几何意义. 逐点清(一)　向量的实数倍 [多维理解] 1.向量的数乘 定义 一般地，实数λ与向量a的乘积是一个向量，记作λa，称为a的λ倍，它的长度|λa|=|λ||a|.求向量的实数倍的运算称为向量的数乘 规定 当λ≠0且a≠0时 当λ>0时，λa的方向与a同向 当λ<0时，λa的方向与a反向 当λ=0或a=0时 λa=0a=0或λa=λ0=0 几何意义 把向量a沿着a的方向或a的反方向放大或缩小 2.向量的线性运算 我们把向量的加法、减法、数乘运算统称为向量的线性运算. [微点练明] 1.下列各式不表示向量的是 (　　) A.0·a　　　　　　 B.a+3b C.|3a| D.e(x，y∈R，且x≠y) 答案：C 2.若|a|=1，|b|=2，且a与b方向相同，则下列关系式正确的是 (　　) A.b=2a B.b=-2a C.a=2b D.a=-2b 答案：A 3.点C是线段AB靠近点B的三等分点，下列关系式正确的是 (　　) A.=3 B.=2 C.= D.=2 解析：选D　由题意可知=-3=-2=2.故只有D正确. 4.(多选)已知a，b是两个非零向量，则下列说法正确的是 (　　) A.-2a与a的方向相反，且-2a的模是a的模的2倍 B.3a与5a的方向相同，且3a的模是5a的模的 C.-2a与2a是一对相反向量 D.a-b与-(b-a)是一对相反向量 解析：选ABC　∵-2<0，∴-2a与a方向相反.又|-2a|=2|a|，∴A正确. ∵3>0，∴3a与a方向相同，且|3a|=3|a|. ∵5>0，∴5a与a方向相同，且|5a|=5|a|. ∴3a与5a方向相同，且3a的模是5a的模的. ∴B正确.按照相反向量的定义可以判断C正确. ∵-(b-a)=-b+a=a-b，∴a-b与-(b-a)为相等的向量.∴D不正确. 逐点清(二)　共线向量及其运算 [多维理解] 1.向量平行或共线 (1)定义：当非零向量a，b方向相同或相反时，我们既称a，b共线，也称a，b平行，并且用符号“∥”来表示它们共线(或平行)，记作a∥b. (2)向量平行(或共线)的充要条件 两个向量平行⇔其中一个向量是另一个向量的实数倍，即a∥b⇔存在实数λ，使得b=λa或a=λb. 2.向量的夹角 条件 设a，b是两个非零向量 产生过程 如图，任选一点O，作=a，=b，则∠AOB=θ(0≤θ≤π)称为向量a，b所成的角(也称夹角)，记作<a，b> 范围 [0，π] 特殊 情况 θ=0 a，b方向相同 θ=π a，b方向相反 θ= a与b垂直，记作a⊥b 规定 零向量0与a的夹角为0，零向量与任一向量平行，也可以规定0与a的夹角为，零向量与任一向量垂直 3.单位向量 (1)我们把长度为1的向量称为单位向量.它的长度等于单位长度. (2)对于任一非零向量a，都可得到与它方向相同的唯一单位向量e=a. [微点练明] 1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若a∥b，则存在λ∈R，使得b=λa. (　　) (2)若=3，则与共线. (　　) (3)一个点A和一个非零向量可以唯一确定过点A与向量平行的直线l. (　　) (4)若点P是AB的中点，点O为直线AB外一点，则=(+). (　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)√ 2.对于非零向量a，b，“a+b=0”是“a∥b”的 (　　) A.充分而不必要条件　 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 答案：A 3.(多选)在锐角三角形ABC中，下列说法正确的是 (　　) A.与的夹角是钝角 B.与的夹角是锐角 C.与的夹角是钝角 D.与的夹角是锐角 答案：AB 4.已知a与b共线，且方向相同，若|a|=8|b|，则a=　　　　b.  解析：∵a与b共线，且方向相同，∴a=λb(λ>0). ∴|a|=|λb|=|λ||b|. 又|a|=8|b|，∴|λ|=8. ∴λ=8. 答案：8 逐点清(三)　数乘运算律 [多维理解] 　　设a，b是任意向量，x，y是任意实数，则： (1)对实数加法的分配律：(x+y)a=xa+ya. (2)对实数乘法的结合律：x(ya)=(xy)a. (3)对向量加法的分配律：x(a+b)=xa+xb. [微点练明] 1.(多选)下列计算正确的是 (　　) A.(-3)·2a=-6a B.2(a+b)-(2b-a)=3a C.(a+2b)-(2b+a)=0 D.4a-2(a-b)=2a+2b 答案：ABD 2.化简：(a-b)-(2a+4b)+(2a+13b)=　 　.  解析：原式=a-b-a-b+a+b=a+b=0a+0b=0. 答案：0 3.已知向量为a，b，未知向量为x，y，向量a，b，x，y满足关系式3x-2y=a，-4x+3y=b，求向量x，y. 解： 由①×3+②×2，得x=3a+2b， 代入①得3×(3a+2b)-2y=a，所以y=4a+3b. 所以x=3a+2b，y=4a+3b. 4.化简下列各式. (1)4(2a+3b)+3(a-b)-b； (2)(a+2b)-(3a-2b)-a. 解：(1)4(2a+3b)+3(a-b)-b=8a+12b+3a-3b-b=11a+8b. (2)(a+2b)-(3a-2b)-a=a+b-2a+b-a=-a+b. 学科网（北京）股份有限公司 $