4.3 4.3.2 第1课时 直线与平面平行-【金版教程】2024-2025学年高中数学必修第二册创新导学案word（湘教版2019）

4．3．2　空间中直线与平面的位置关系 第1课时　直线与平面平行 (教师独具内容) 课程标准：1．借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与平面平行的关系，并归纳出线面平行的判定与性质定理．2．能用已获得的结论证明空间基本图形位置关系的简单命题． 教学重点：直线与平面平行的判定定理和性质定理． 教学难点：运用直线与平面平行的判定定理和性质定理解决空间线线、线面关系问题． 核心素养：通过学习空间中直线与平面的位置关系培养数学抽象和直观想象素养． 知识点一　直线与平面的位置关系 位置关系 图形 写法 公共点情况 直线在平面内 a⊂α 直线上所有的点都是公共点 直线在平面外 直线和平面相交 a∩α＝A 有且只有一个公共点 直线和平面平行 a∥α 没有公共点 知识点二　直线与平面平行的判定定理 1．文字叙述：如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行． 2．符号表示：若a⊄α，b⊂α，a∥b，则a∥α． 3．图形表示 知识点三　直线与平面平行的性质定理 1．文字叙述：一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行． 2．符号表示：若a∥α，a⊂β，α∩β＝b，则a∥b． 3．图形表示 1．直线与平面的位置关系 (1)直线在平面外包括两种情形：直线与平面相交或直线与平面平行． (2)“直线与平面不相交”与“直线与平面没有公共点”是不同的，前者包括直线与平面平行和直线在平面内两种情况，后者仅指直线与平面平行． 2．对直线与平面平行的判定定理的三点说明 (1)定理可简化为：线线平行⇒线面平行． (2)定理中三个条件缺一不可． (3)定理的作用是证明线面平行，体现了等价转化的思想，将线面平行问题转化为线线平行问题． 3．对直线与平面平行的性质定理的三点说明 (1)该性质定理可以看作直线与直线平行的判定定理，可简述为“若线面平行，则线线平行”． (2)用该定理判断直线l与m平行时，必须具备三个条件： ①直线a与平面α平行，即a∥α； ②平面α与平面β相交，即α∩β＝b； ③直线a在平面β内，即a⊂β． (3)线面平行的性质定理体现了数学的化归思想，线面平行转化为线线平行． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若直线l上有无数个点不在平面α内，则l与α相交．(　　) (2)若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线平行．(　　) (3)两条平行线中的一条直线与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行．(　　) (4)若直线l∥平面α，则平面α内有唯一一条直线与直线l平行．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 2．做一做 (1)能保证直线a与平面α平行的条件是(　　) A．b⊂α，a∥b B．b⊂α，c∥α，a∥b，a∥c C．b⊂α，A，B∈a，C，D∈b，且AC∥BD D．a⊄α，b⊂α，a∥b (2)若直线a，b是异面直线，a⊂β，则b与平面β的位置关系是(　　) A．平行 B．相交 C．b⊂β D．平行或相交 答案　(1)D　(2)D 题型一　直线与平面的位置关系 例1　给出下列命题： ①直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥α； ②若直线a在平面α外，则a∥α； ③若直线a∥b，直线b⊂α，则a∥α； ④若直线a∥b，b⊂α，那么直线a就平行于平面α内的无数条直线． 其中真命题的个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 [解析]　对于①，∵直线l虽与平面α内无数条直线平行，但l有可能在平面α内，∴l不一定平行于α．∴①是假命题． 对于②，∵直线a在平面α外，包括两种情况：a∥α，a和α相交，∴a和α不一定平行．②是假命题． 对于③，∵直线a∥b，b⊂α，则只能说明a和b无公共点，但a可能在平面α内，∴a不一定平行于α，∴③是假命题． 对于④，∵a∥b，b⊂α，∴a⊂α或a∥α， ∴a与平面α内的无数条直线平行． ∴④是真命题． 综上，真命题的个数为1． [答案]　A 空间中直线与平面只有三种位置关系：直线在平面内、直线与平面平行、直线与平面相交，其中后两种位置关系统称为直线在平面外． 在判断直线与平面的位置关系时，这三种情形都要考虑到，避免疏忽或遗漏． [跟踪训练1]　若直线a不平行于平面α，且a⊄α，则下列结论成立的是(　　) A．α内不存在与a平行的直线 B．α内存在唯一的直线与a平行 C．α内的直线与a都相交 D．α内有唯一的直线与a相交 答案　A 解析　若α内存在与a平行的直线，又a⊄α，则a∥α，矛盾．故A正确． 题型二　直线与平面平行的判定 例2　如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是棱BC，C1D1的中点，求证：EF∥平面BDD1B1． [证明]　取B1D1的中点O，连接OB，OF， ∵E，F分别是棱BC，C1D1的中点， ∴OF綊B1C1，BE綊B1C1，∴OF綊BE， ∴四边形OFEB为平行四边形，∴EF∥OB． ∵EF⊄平面BDD1B1，OB⊂平面BDD1B1， ∴EF∥平面BDD1B1． 利用判定定理证明线面平行，关键是在平面内找一条直线与已知直线平行，由于两条直线首先要保证共面，因此常常设法过已知直线作一平面与已知平面相交，如果能证明已知直线与交线平行，就可用线面平行的判定定理推出结论，这个证明线面平行的步骤可概括为过直线作平面，得交线，若线线平行，则线面平行． [跟踪训练2]　如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，D为BC的中点． 求证：A1B∥平面ADC1． 证明　如图，连接A1C， 设A1C∩AC1＝O， 则O为A1C的中点， 又D为BC的中点，连接OD， 则在△A1BC中，OD为中位线，∴OD∥A1B， 又OD⊂平面ADC1，A1B⊄平面ADC1， ∴A1B∥平面ADC1． 题型三　直线与平面平行的性质及应用 例3　如图，已知ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH．求证：AP∥GH． [证明]　如图，连接AC交BD于点O，连接MO． ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴O是AC的中点． 又M是PC的中点，∴AP∥OM． ∵OM⊂平面BDM，AP⊄平面BDM， ∴AP∥平面BDM． ∵平面PAHG∩平面BDM＝GH，AP⊂平面PAHG，∴AP∥GH． 判定定理与性质定理常常交替使用：先通过线线平行推出线面平行，再通过线面平行推出线线平行，复杂的题目还可以继续推下去，我们可称为平行链，如下： 线线平行线面平行线线平行 [跟踪训练3]　如图，四边形ABCD是矩形，P∉平面ABCD，过BC作平面BCFE交AP于E，交DP于F．求证：四边形BCFE是梯形． 证明　∵四边形ABCD是矩形， ∴BC∥AD，且BC＝AD． 又BC⊄平面PAD，AD⊂平面PAD， ∴BC∥平面PAD， ∵平面PAD∩平面BCFE＝EF，BC⊂平面BCFE，∴BC∥EF， 在△PAD中，易知EF≠AD，∴EF≠BC， ∴四边形BCFE是梯形． 1．过直线l外两点作与l平行的平面，这样的平面(　　) A．能作出无数个 B．只能作出一个 C．不能作出 D．上述情况都有可能 答案　D 解析　直线l外两点的连线与l的位置关系有三种，分别是平行、相交、异面．当相交时，过这两点不能作平面与l平行；当异面时，只能作出一个平面与已知直线平行；当平行时，过两点可作无数个平面与已知直线平行． 2．若直线l∥平面α，则过l作一组平面与α相交，记所得的交线分别为a，b，c，…，那么这些交线的位置关系为(　　) A．都平行 B．都相交且一定交于同一点 C．都相交但不一定交于同一点 D．都平行或交于同一点 答案　A 解析　因为直线l∥平面α，所以根据直线与平面平行的性质知l∥a，l∥b，l∥c，…，所以a∥b∥c∥…，故选A． 3．(多选)如图是一几何体的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，E，F，G，H分别为PA，PD，PC，PB的中点，在此几何体中(　　) A．PA∥平面BDG B．EF∥平面PBC C．FH∥平面BDG D．EF∥平面BDG 答案　ABC 解析　先把图形还原为一个四棱锥，如图所示．连接AC，交BD于点O，则O为AC的中点，连接OG，因为G为PC的中点，所以OG∥PA，则PA∥平面BDG，故A正确；因为E，F分别为PA，PD的中点，所以EF∥AD，因为AD∥BC，所以EF∥BC，则EF∥平面PBC，故B正确；因为F，H分别为PD，PB的中点，所以FH∥BD，则FH∥平面BDG，故C正确；因为EF∥AD，AD与平面BDG相交，所以EF与平面BDG相交，故D不正确． 4．若两直线a和b相交，且a∥平面α，则b与α的位置关系为________． 答案　平行或相交 解析　由a∥平面α，a和b相交，得b不在平面α内，所以b与平面α平行或相交． 5．如图所示，在多面体ABCD－A1B1C1D1中，上、下底面A1B1C1D1，ABCD平行且均为矩形，侧棱延长后相交于E，F两点．求证：EF∥面ABCD． 证明　∵AB，CD是矩形的一组对边， ∴AB∥CD． 又CD⊂面CDEF，AB⊄面CDEF， ∴AB∥面CDEF． ∵AB⊂面ABFE，面ABFE∩面CDEF＝EF， ∴AB∥EF． ∵AB⊂面ABCD，EF⊄面ABCD， ∴EF∥面ABCD． 一、选择题 1．“直线l在平面α外”指的是(　　) A．l∩α＝A B．l∩α＝∅ C．l∩α＝A或l∩α＝∅ D．l∩α有无数个公共点 答案　C 解析　直线l在平面α外，则l与平面α相交或平行，然后再符号化． 2．给出下列三个结论： ①若两条直线都与同一个平面平行，则这两条直线平行； ②若两条直线没有公共点，则这两条直线平行； ③若一条直线与一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线和这个平面平行． 其中正确结论的个数为(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 答案　A 解析　若两条直线都与同一个平面平行，则这两条直线三种位置关系都有可能，故①错误；若两条直线没有公共点，则这两条直线平行或异面，故②错误；若一条直线与一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线在这个平面内或与该平面平行或与该平面相交，故③错误．选A． 3．已知直线m∥平面α，直线n在α内，则m与n的位置关系为(　　) A．平行 B．相交 C．平行或异面 D．相交或异面 答案　C 解析　直线m∥α说明m与平面α没有公共点，即直线m与平面α内的直线没有公共点，又直线n在α内，那么直线m与n的位置关系为平行或异面． 4．如图所示，P为矩形ABCD所在平面外一点，矩形对角线交点为O，M为PB的中点，给出五个结论： ①OM∥PD；②OM∥平面PCD；③OM∥平面PDA；④OM∥平面PBA；⑤OM∥平面PBC． 其中正确结论的个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案　C 解析　因为矩形ABCD的对角线AC与BD交于O点，所以O为BD的中点．在△PBD中，M是PB的中点，O为BD的中点，所以OM是中位线，得OM∥PD，则OM∥平面PCD，且OM∥平面PDA．因为M∈PB，所以OM与平面PBA、平面PBC相交． 5．(多选)如图所示，下列四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形是(　　) 答案　AD 解析　A中取NP的中点E，连接ME，则AB∥ME，从而可得AB∥平面MNP；D中AB∥NP，可得AB∥平面MNP；B，C中AB与平面MNP相交．故选AD． 二、填空题 6．AB，BC，CD是不在同一平面内的三条线段，经过它们中点的平面和AC的位置关系是________，和BD的位置关系是________． 答案　平行　平行 解析　如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F，G分别是AB，BC，CD的中点，则AC∥EF，∴AC∥平面EFG．同理BD∥FG，∴BD∥平面EFG． 7．过三棱柱ABC－A1B1C1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线共有________条． 答案　6 解析　如图所示，E，F，G，H分别为AC，BC，B1C1，A1C1的中点，与平面ABB1A1平行的直线有EF，FG，GH，HE，EG，FH，共6条． 8．如图，a∥α，A是α的另一侧的点，点B，C，D∈a，线段AB，AC，AD分别交平面α于点E，F，G，若BD＝4，CF＝4，AF＝5，则EG＝________． 答案　 解析　∵a∥α，α∩平面ABD＝EG，∴a∥EG，即BD∥EG，∴＝，则EG＝＝＝． 三、解答题 9．如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，E，H分别是棱A1B1，D1C1上的点，且EH∥A1D1，过EH的平面与棱BB1，CC1相交，交点分别为F，G．求证：FG∥平面ADD1A1． 证明　因为EH∥A1D1，A1D1∥B1C1， 所以EH∥B1C1． 又EH⊄平面BCC1B1，B1C1⊂平面BCC1B1， 所以EH∥平面BCC1B1． 又平面FGHE∩平面BCC1B1＝FG，EH⊂平面FGHE， 所以EH∥FG，即FG∥EH∥A1D1． 又FG⊄平面ADD1A1，A1D1⊂平面ADD1A1，所以FG∥平面ADD1A1． 10．在如图所示的多面体中，四边形ABB1A1和四边形ACC1A1都为矩形．设D，E分别是线段BC，CC1的中点，在线段AB上是否存在一点M，使直线DE∥平面A1MC？请证明你的结论． 解　存在，M为AB的中点．证明如下： 如图，取线段AB的中点M，连接A1M，MC，A1C，AC1，设O为A1C，AC1的交点． 由已知，O为AC1的中点． 连接MD，OE，MO，则MD，OE分别为△ABC，△ACC1的中位线， 所以MD綊AC，OE綊AC，因此MD綊OE． 从而四边形MDEO为平行四边形， 则DE∥MO． 因为直线DE⊄平面A1MC，MO⊂平面A1MC， 所以直线DE∥平面A1MC． 即线段AB上存在一点M(线段AB的中点)，使直线DE∥平面A1MC． 1．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F分别是棱CC1，BB1上的点，M是线段AC上的动点，EC＝2FB＝2，若MB∥平面AEF，试判断点M的位置． 解　若MB∥平面AEF，如图，过F，B，M作平面FBMN交AE于点N． 因为BF∥平面AA1C1C，BF⊂平面FBMN，平面FBMN∩平面AA1C1C＝MN，所以BF∥MN． 又MB∥平面AEF，MB⊂平面FBMN，平面FBMN∩平面AEF＝FN， 所以MB∥FN， 所以四边形BFNM是平行四边形， 所以MN∥BF，MN＝BF＝1． 而EC∥BF，EC＝2BF＝2， 所以MN∥EC，MN＝EC＝1， 故MN是△ACE的中位线． 所以M是AC的中点时，MB∥平面AEF． 2．如图，在四面体P－ABC中，PC⊥AB，PA⊥BC，点D，E，F，G分别是棱AP，AC，BC，PB的中点． (1)求证：DE∥平面BCP； (2)求证：四边形DEFG为矩形； (3)是否存在点Q，满足点Q到四面体PABC六条棱的中点的距离相等？说明理由． 解　(1)证明：因为D，E，F，G分别是棱AP，AC，BC，PB的中点，所以DE∥PC，GF∥PC，所以DE∥GF． 又DE⊄平面BCP，GF⊂平面BCP， 所以DE∥平面BCP． (2)证明：由(1)易知，DE綊GF，所以四边形DEFG为平行四边形． 又PC⊥AB，DG∥AB，所以DE⊥DG． 所以四边形DEFG为矩形． (3)存在点Q满足条件．理由如下： 如图，连接DF，EG，设Q为EG的中点， 由(2)知，DF∩EG＝Q，且QD＝QE＝QF＝QG＝EG． 分别取PC，AB的中点M，N，连接ME，EN，NG，MG，MN． 与(2)同理，可证四边形MENG为矩形，其对角线交点为EG的中点Q，且QM＝QN＝EG， 所以存在点Q满足条件，且Q为EG和DF的交点． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$