小练31 等比数列-【衡水金卷·先享题】2026年新高考数学拿满基础分自主小练

拿满基础分自主小练·数学 小练31 (考试时间：30分 选择题（单选每题5分，多选每题6分） 1.已知{bn}是等比数列，若b2=3,b=27,则 b4的值为 A.9 B.-9 C.±9 D.81 2.等比数列a,中a1十ag十a,=5 ,a十a4十 a,=号则a:十a十aw= A骨 B.5 C.10 D.20 3.已知等比数列{an}的前n项和Sn=32m2十 r,则r的值为 A号 B时 c.-日 D号 4.(教材改编题)计算机是将信息转换成二进 制进行处理的，二进制即“逢二进一”.如 (1101)2表示一个二进制数，将它转换成十 进制的数就是1×23+1×22+0×2+1× 2°=13，那么将二进制数11…1转换成十进 15位 制数就是 A.216-2 B.215-1 C.215-2 D.214-1 5.已知等差数列{an},等比数列{bn},满足 a十aw=46bb=27.则心- A. B司 C.2 D.4 6.已知等比数列{am}有2n十1项，a1=1,所有 奇数项的和为85，所有偶数项的和为42，则 n- A.5 B.4 C.3 D.2 7.(教材改编题)已知数列{am}为等比数列， a=102,公比g=2若T.是数列{a}的前 n项积，则Tm的最大值为 A102×(2) 21 C.102×( D.102×(侵 班级： 姓名： 等比数列 钟满分：105分) 8.(多选)下面四个选项中，正确的有 A.由第1项起乘相同常数得后一项，这样 所得到的数列一定为等比数列 B.常数列b,b,…,b一定为等比数列 C.等比数列{an}中，若公比q=1,则此数列 各项相等 D.等比数列中，各项与公比都不能为零 9.(多选，教材改编题)任取一个正整数n,若 是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数， 就将该数除以2.反复进行上述两种运算， 经过有限次步骤后，必进人循环圈1→4→2 →1.这就是数学史上著名的“冰雹猜想” (又称“角谷猜想”).如取正整数m=3,根 据上述运算法则得出3→10→5→16→8→4 2→1，共需经过7个步骤首次变成1（简 称为7步“雹程”).则下列叙述正确的是 A.当m=12时，经过9步“雹程”首次变成1 B.当m=2(k∈N*)时，经过k步“雹程”首 次变成1 C.当越大时，首次变成1需要的“雹程” 数越大 D.若m需经过5步“雹程”首次变成1，则 m所有可能的取值集合为{5,32》 10.(5分，教材改编题)如果一个等比数列前 5项的和等于5，前10项的和等于25，那 么这个数列前15项的和等于 11.(5分，教材改编题)数列{an}共有5项，前 三项成等比数列，后三项成等差数列，第3 项等于80，第2项与第4项的和等于136， 第1项与第5项的和等于132，则这个数 列的第1项是 12.(5分)下图(1)是一个边长为1的正三角 形，将每边三等分，以中间一段为边向外 作正三角形，并擦去中间一段，得图(2)， 如此继续下去，得图(3)，…，则第个图 形的周长为 ,面积为 (用含n的代数式表示) 13.（13分)若数列{an}的首项为a1=1,且满足 am+1十an=3·2". (1)求证：{am一2"}是等比数列； (2)求数列{an}的前n项和S. 14.(15分)如图，有边长为1的正方形，取其 对角线的一半，构成新的正方形，再取新 正方形对角线的一半，构成正方形，…，如 此形成一个边长不断缩小的正方形系列. (1)求这一系列正方形的面积所构成的数 列，并证明它是一个等比数列； (2)从原始的正方形开始，到第9次构成 新正方形时，共有10个正方形，求这10个 正方形面积的和； (3)如果把这一过程无限制地延续下去， 你能否预测一下，全部正方形面积相加 “最终”会达到多少？ 62 5.(15分)如果一个数列从第二项起，每一项 与它前一项的比都大于3，则称这个数列 为“G型数列”. n=1,判 1)若数列an}满足a,二a1+2m,m≥2. 断{an}是否为“G型数列”，并说明理由； (2)已知正项数列{an}为“G型数列”，a1= 1,等比数列{bn}的公比为正整数，且bn= an十2，n∈N*,{bn}不是“G型数列”. (i)求证：数列{an}为递增数列； (i)求数列{an}的通项公式.参考答案及解析 9.ABD【解析】小王前3个月的工资之和为a十a十 100十a十200=3a十300=9300，解得a=3000,故A 正确；记小王入职第n个月工资为am,则当1≤n≤13 时，{am}是等差数列，所以a十a?=a2十ag,故B正 确；当1≤n≤13时，{a}是公差为100的等差数列， 当13≤n≤25时，{am}是公差为50的等差数列，则 a8=3000+7X100=3700,a14=a13+50=3000+ 12×100+50=4250,a15=a14+50=4250+50= 430.5,=13X300+13X12×100+a4+a5 2 46800+4250+4300=55350,所以S5≠15a8,故C 错误：小王入职后第13个月的工资为3000十12× 100=4200,第20个月的工资为4200+7×50= 4550,故D正确.故选ABD. 10.30900【解析】集合M={mm=2n-1,n∈N", 且m<60},即M={1,3,5,7,…,59},共30个奇 数，构成以1为首项，公差为2的等差数列，利用等 差数列求和公式得S。=30X()+59)=900,故集合 2 M中有30个元素，这些元素的和为900. 11.36214859【解析】由题设，第19行最右边的数 是19=361，故第20行最左边的数是362，又第20 行最右边的数是202=400，该行共有39个数，故第 20行所有数的和是39X(362+400)=14859。 2 12.1472【解析】两个等差数列2,6,10，…，190及2， 8,14,…,200,由这两个等差数列的公共项按从小到 大的顺序组成一个新的等差数列，2,14,26,38,50， 182是这两个数列的公共项，共有182+1户 16项，则它们的和为2+)182×16=1472，即这个新 2 数列的各项之和为1472. 13.解：(1)当n=1时，a1=S=-28. 当n≥2时， am=S4-Sa-1=2n2-30-[2(n-1)2-30(n-1)] =4n-32. (3分) 又因为4×1-32=-28， 所以n=1时，am=4n一32也成立， 因此数列{an}的通项公式为an=4n-32.(5分) 因为am+1-an=4(n十1)-32-(4n-32)=4, 所以{am}是等差数列. (7分) ②)因为8=20-30a=2r-15m)=2(aΞ)） _225 2 又因为n是正整数， 所以当n=7或8时，S最小，最小值是2×72一30 ×7=-112. (13分) 14.解：(1)设{au}的公差为d, “s=a+2D4=号r+(a号)e ·5 数学 (3分) 当m≥2时，各-片=号+(a-号) 号(m-1)-(a-号)=号， “〈倍}是等差数列。 (7分) (2)设三}的公差为d, -9=4,景--6 S&Su ∴d=84=6-4=号， Γ4Γ=2， (11分) -=+d T=号+02D×号-0+.15分) 2 小练31等比数列 1.A【解析】由题得b=b·b,=3×27=81,而b:= b·q>0,则b=9.故选A. 2.C【解析】设等比数列{am}的公比为q,则 ae十a4十ai= a1+a3十as =2=g,所以十a十a=g=4,故 a2十a4十as 4 a十a,十a:=4(a十a:十a)=4X号=10.故选C 3.C【解析】等比数列{an〉的前n项和为Sn=3-2十 r,n∈N,当n=1时，可得32-2十r=1十r=S,可得 a1=1十r:当n≥2时，Sm-1=32-4十r,则an=Sn Sn-1=32m-2十r-(32m=4十r)=8·32-4,因为{an}为 等比数列，所以8·3=1十解得r=一故 选C. 4.B【解析】(111111111111111)2=24十23+…+2 21--21放适B 5.B【解析】数列{an}是等差数列，a?十a=4,可得 2ag=4,即ag=2,数列{b.}是等比数列，bbb1o=27, 可得酸=21，可得众=3，则考= 6:68+3 平=子故选B 6.C【解析】因为等比数列有2n十1项，则奇数项有n 十1项，偶数项有n项，设公比为g,得到奇数项为1十 数学 q2+q+…+g=1+q(q十g+q+…十g2m-1)= 85,偶数项为q十g3十g+…十g-1=42,整体代入得 9=2所以前20十1爽的和为1=85十2= 127,解得n=3.故选C. 7.A【解析】因为数列{an}为等比数列，a1=102,公 比9=，所以a=102×(3）,所以T=a·ag ·a3…an,当 时，T。最大，即 102×(2）” ≥1， 102×(2)广≤1， 解得n=7,此时T?=102× n∈N, =102×(分)》.故选A 8.CD【解析】当乘的常数为0时，不是等比数列，故A 错误；b=0时不是等比数列，故B错误；由等比数列 的定义，若g=1,则出=1，即a+1=a,故C正确； 由等比数列的定义可得各项与公比均不能为0，若有 一项为0，则比值没有意义，故D正确.故选CD. 9.ABD【解析】当1=12时，126→3→10→5→16→ 8→4→2→1共经过9步“雹程”首次变成1，故A正 确：当m=2*(k∈N)时，2→2-1→2-2→…→ 2-》→1经过k步“雹程”首次变成1，故B正确； 当m=12时，经过9步“雹程”首次变成1，当m=16 时，16→8→4→2→1经过4步“雹程”首次变成1，故 C错误；若m需经过5步“雹程”首次变成1，则有1← 2←4←8←16←-5或1←-2←4←-8←16←-32两种情况， 故D正确.故选ABD. 10.105【解析】设等比数列{am}中，S=5,S1。=25, 由等比数列性质知S,Sw一S,S一S1为等比数 列，所以(S。-S)2=S(S5-S0),即202=5(S15 25),解得S1=105. 11.20或180【解析】设前三项的公比为q,后三项的 公差为4，则数列的各项依次为兽号80.80十d, (80+(80+d)=136, 80+2d.于是得 解方程组，得 80+(80+2d)=132, 2 9=2,或9=了，所以这个数列是20,40,80， d=16 d=-64, 96,112或180,120,80,16，-48，则这个数列的第1 项是20或180. 12,3×(信)2-×（台）【解标】设第 n个图形的边长为am,由题意知，从第2个图形开 始，每一个图形边长均为上一图形边长的号，即 a-1 ·59 参考答案及解析 =号(n≥2)(a}是-个以1为首项，号为公比 的等比数列a.=(日)》，从第2个图形开始， 每一个图形的边数都是上一个图形边数的4倍，则 第n个图形的边数为cn=3×4”-,∴.第n个图形的 周长为：（号）厂×3×41=3×（告）.设第n 个图形的面积为S,则S,=S.1+G1×a2 5+语×（告）》8=s+(5-s)+ 5-s)++(s-s)-+×[号+ ()+(号)广+…+（告）门=+× 16 奇-（哈）门9-×（哈）故染 1-号 n个图形的周长为3×（告）》，面积为2-语 20 ×(号)） 13.解：(1)由题意，数列{am}满足am+1十am=3·2”,即 am+1=-aw十3·2"， 则+1二2a+1 =-a+3·2-2=20-0=-1, a-2w an-2m an-2 (4分) 又由a1=1,可得a1-2=-1, 所以数列{am一2”}是首项为一1，公比为一1的等比 数列. (6分) (2)由(1)知a.-2=-1×(-1)"-1=(-1)", 所以an=(-1)"+2”, (8分) 所以Sm=2+2+…+2”+(-1)+1十…+ (-1)”, (9分) 当n为偶数时，可得S.=21-2)+0=2+1一-2： 1-2 当n为奇数时，可得S.=21-2) -1=2+1-3, 1-2 (2+1一2，n为偶数， 综上可得，S,={2+1一3，n为奇数. (13分) 14.解：(1)原正方形面积为a1=1, 由题意新正方形面积依次为a:=(号）广=合… 故数列为1，，，（合）厂 所以数列是首项为1，公比为之的等比数列。(6分) 12 (2)由(1)知：这10个正方形面积的和S。= 1 1一2 参考答案及解析 =2(1-品)： (10分) 1 (3)同(2)，Sn= 1一2 =2(1-) 当n趋向正无穷时，二趋向0， 所以Sn无限接近于2， 故全部正方形面积相加“最终”会达到2.(15分) 15,解：(1)由题得a1=1,a2=5,a=11, ·=<3,不满足“G型数列”的定义， a25 .数列{am}不是“G型数列” (4分) (2)(i)正项数列{a,}为“G型数列”， .am+>3,.an+1-am>2am>0, ∴.数列{an}为递增数列. (8分) (i)设数列{bm}的公比为q,q∈N·,且b=3. 数列{b}不是“G型数列”，∴q≤3， bn=an十2， 6=a+1十2 6。an+2=4, .an+1=qan十2g-2. (11分) 数列{an}为“G型数列”， .2=9+29-2>3, a 由(1)可知{an}为递增数列， 、当n趋近于正无穷时，g十24一2趋近于q, 可得q≥3， q=3,经检验，符合题意. ..bn=3", .an=3m-2. (15分) 小练32数列求和 1.解：(1)由题意，记数列{am}的通项公式为am=1一 (品)，前n项和为T, 故0.9+0.99+0.999十…十0.99…9=Tm w个 所以工=(1-)+[1-（品）门+…+ [1-(6)]=-(品+++品) 应》m吉1-) (7分) 1一10 (2)令Sn=(a-1)+(a2-3)+…+(a”-2n+1), 若a=1, 则S,=n-(1+3+…+2m-1）=m-2m,n=n一m: 2 (11分) 若a≠1， ·6 数学 则Sn=(a-1)十(a2-3)+…十(a"-2n十1)=(a+ a2+…+a）-(1+3+…+2m-1）=a1a）-. 1-a (14分) 综上，当a=1时，Sn=n-n2; 当a≠1时，S.=a1二a）-m. (15分) 1-a 2.解：(1)若选①：由a1a=a, 得a1(a1+4d)=(a1十d)2, 即1+4d=(1+d)2,∴.d=2d. d≠0，∴.d=2, ∴.an=1十2(n-1)=2n-1. (6分) 若选②：设等差数列{a}的首项为a1, 由S=9,S=25, (3a1+3d=9, 得 5×4.d=25, 5a1+2 解得/a11, ld=2, .am=1+2(n-1)=2n-1. (6分) 若选③：当n=1时，a1=S=1: 当n≥2时，an=S.-S.-1=2-(n-1)2=2n-1, 显然n=1时也满足am=2n-1, ∴.an=2n-1. (6分) (2)由(1)知am=2n-1, b=1 1 amam+1(2n-1)(2n十1) 1 (9分) 则=(1-+-号+…动市） 11 1 =1-) n (15分) 3.解：(1)设数列{am}的公差为d, 由题意知S,=4S2,am=2a,十1， 即a+12=4(2u+). 2 (4分) a1+(2n-1)d=2[a1+(n-1)d]+1, 化简得 所以数列{an}的通项公式为am=1十2(n-1)=2n- 1. (7分) 2因为-会=0， 3 所以工=了十是+， 3，① 1 3+1,② (10分) ①-②得号T.=号十是 1 2-2n-1 3 30+ 0