小练20 三角恒等变换-【衡水金卷·先享题】2026年新高考数学拿满基础分自主小练

拿满基础分自主小练·数学 班级： 姓名： 小练20三角恒等变换 (考试时间：30分钟满分：88分)》 选择题（单选每题5分，多选每题6分） 6.在△ABC中，sin Bsin C=cos2 2,则 1.已知sin(30+a0=,0<a150,则cmsa △ABC的形状为 的值为 A.直角三角形 A.345 B.4-33 B.等边三角形 10 10 C.等腰三角形 c -号 D.等腰直角三角形 2.sin a+sin B+sin y=0,cos a+cos B+ 7.已知Be(0,5),且3sina=sin(2g-a).则 cosY=0,则cos(a-3)= tana的最大值为 A.1 B.-1 c D-司 A.- B② 4 3.(教材改编题)已知等腰三角形的一个底角 C.- 4 D 的正弦等于景，记这个三角形的顶角为 8.(多选)在锐角△ABC中，下列结论一定成 a,则 立的有 C A.sin a= 2√30 A.sin ABcos 2 13 B.cos A>sin B Bcog-器 C.sin A>cos B 120 C.tan a=119 D.tan A+tan B++tan C=tan Atan Btan C 9.(多选)已知α，3∈R,则下列等式成立的是 D.tan a= 120 A.cos(a+B).cos(a-B)=cos2a-cos2B 119 B.cos(a+β)·cos(a-B)=cosa-sin23 4.(教材改编题)在△ABC中，已知tanA, C.sin(a+)·sin(a-B)=cos2a-sinβ tanB是关于x的方程x2+p(x+1)+1= 0的两个实根，则tanC= D.sin(a+B)·sin(a-B)=sina-sinβ A.-3 B.-1 10.(5分，教材改编题)已知cos(a十)= 6 C.-/3 2 3 D.1 cos (a-B)= 3,则tan atan B的值 5.(教材改编题)在△ABC中，B=平，BC边 为 11.(5分，教材改编题)如图所示，已知△ABC 上的高等于号BC,则c0s(2025元-A)= 中，a为锐角，sina= ,D是AC边上一点， A.30 B.10 且AD=BD,则siny十cosY= 10 10 C.0 D.-30 10 10 a 39 12.(5分)随着智能手机的普及，手机摄影越14.(13分)如图，在扇形OPQ中，半径OP= 来越得到人们的喜爱，要得到美观的照 1,圆心角∠POQ-,C是扇形弧上的动 片，构图是很重要的，用“黄金分割构图 法”可以让照片感觉更自然，“黄金九宫 点，矩形ABCD内接于扇形.记∠POC= 格”是黄金分割构图的一种形式，是指把 a,求当角a取何值时，矩形ABCD的面积 画面横、竖各分三部分，以比例1：0.618：1 最大？并求出这个最大面积. 为分隔，4个交叉点即为黄金分割点.如 图，分别用A,B,C,D表示黄金分割点.若 照片长、宽比例为7：3，设∠CAB=a,则 1 sin 2a tan a= 18.18分)已知omsa+8=2g5,1an分= 且a,(0,） (1)求tan(28-)的值； (2)求2a+3的值， —40参考答案及解析 边同时平方得3sina+cosa+2√3 sin acos a= 3sin'acos'a+23 sin acos a sina十cosa 3tan2㎡a十1十2 3tan a=4,整理得tama-2W5tana+ tan'a+1 3=0,即(tana-√3)=0，所以tana=√3.故选C. 9.ACD【解析】因为tana=3,所以4sina-2cosc 5cosa十3sina 6n。-斧8是=子，放A正确：2。 名--爿=子放B结模 sin'a-cos'a sin a cos a)?= sin'a+cos'a+2sin acos a sin'a+cos'a na十1十2ang=3十1名X3=号，故C正确； tana+l 32+1 2sinsin aosacsinasin acosa3cosa sina十cos2a 2ma士m。3_2X3十3=号，故D正确.枚 tan'a-l 32+1 选ACD. 10.CD【解析】tan2x-2tan2y-1=0,.sin-2· cosx sin'y1=0,sin'xcos'y-2sin'ycos' cosy cos2 ycosx,..(1-cosx)(1-siny)-sin ycos'x =(cos2 y+sin2y)cosx,1-cos2x-sin'y+ sin'ycos2x-sin'ycos'x cos2x,.'sin2y 1- 2cos2x=2sinx-1,故CD正确.故选CD. 1l.ABC【解析】由(sina十cosa)2=2,得sin'a+ cos2a+2 sin0s&=2,故sin0sa=号，故A正 确；：sina-cosa=士√（sina-cosa)7 士/-2 sin o=±V1-2x空=0，∴sina cosa=0,故B正确；sin3a十cos3a=(sina十cosa)· （sia--sin cos+cosa)=万X(1-合）=号，故 C正确；sina十cosa=(sin'a十cosa) 2 esin'wosa=1-2×(分)广-之，故D错误.故 选ABC. 12.29-2【折】0<<受吾< z<号，又sin(号-x）=3>0,0<号-x<号， a(号-)=√-（受-）= ∴sin(若+x)=sm5-(号-x）]=cos(号-x =22,cos(+)=os[x-(号-x)门 数学 "cos(-)=-22 31 13.2⑤ 5 【解析】根据题意可得sina=log22= 又ae(-受，0）∴osa=v1-sima-5 2 3 tan a=- 25,÷tan(2x-a)=-1ama=25 14.- 3 ,【解析】：sina十cosa=1二E 2 ①，1+ 2sin acos a= 2sin acosa 2 <0,又a∈ (0,π)，..sina>0,cosa<0,∴.sina-cosa= V(sin a-cos )VI-2sin acosa +3②，由①②得sina=分，cosa=-3 1 2 2 m。0名-9 3 15.证明：(1)sin'a-cosa=(sin2a十cos2a)(sin2a- cos'a)=sin'a-cos'a, 故sina-cosa=sin2a-cos2a成立. (4分) (2)sin'x++sin'xcos'x+cos'x =sin'xsin'x+cosx)+cos'x sin2x+cosx=1, 故sinx十sin'xcos2x+cos2x=1成立. (8分) cos a sin a (3)1十sina1+cosa =cosa(1十cosa)-sina(1十sina) (1+sina)(1十cosa) -cos afcos'a-sin a-sin'a 1++sin a+cos a+sin acos a =cosa-sina十(cosa-sina)(cosa十sina) 1+sina十cosa十sin acos a cos a-sin a)(1+cos a+sin a) y 1 2 (cos asin a)sin a+cos 2(cos a-sin a)(1++cos a+sin a) (cos a+sin a)2+2 sin a+cos a)+1 -2(cos a-sin a)(1+cos a+sin a) (cosa十sina十1)2 =2(cos a-sin a) 1+sina十cosa cos a sina=2(cosa-sina成立. 故Fsin a1十cose1十sina+cosa (15分) 小练20三角恒等变换 1.A【解析】60°<a<150°，∴.90°<30°+a<180°，又 “sn(30r+a)=是.os(30+a)=-告，则 cosa=cos[(30°+a)-30°]=cos(30°+a)cos30° 数学 +sm(30+)m30=-告×9+号×合- 3一4E.故选A 10 2.D【解析】：'cosa十cosB十cosY=0,sina十sinB+ sin y=0,.'.cos a+cos B=-cos y,sin a+sin B= -siny,,.cos2a+cos2B+2 cos acos3=cos2y①， sina+sinB+2 sin asin B=siny②，由①+②，得 2+2 (cos acos B+sin asin B)=2+2cos (a-B)=1, ∴cos(a-B)=-号放选D. 3.C【解析】设等腰三角形的一个底角为0，则顶角a= 一20，由题意知si加9=景·底角必为锐角，所以 cos =sin a=sin (20)=sin 20=2sin dcos =2×是×号-器故A结误：eos6=as(红-20 -c0s20=-(1-2sim0)=-1+2×(g厂- 69,故B错误：tana=sine= cos a 器，放C正确，D 错误.故选C. 4.B【解析】由根与系数的关系可得tanA十tanB= -p,tan Atan B=1+p,.tan (A+B)= "是=1anC=-anA+B)-1 故选B. 5.B【解析】设BC边上的高为AD=h,“B=平， BD=AD=h.BC=3h,∴.DC=2h,∴.AC=5h, ∴msc=25nc- 5,.c0s(2025π-A)= cos(π-A)=cos(B+C)=coscos C-sin平sinC -×5-2×恒=四 2 5 2 5 。故选B 6.C【解】析因为sin Bsin C=-cos合，所以sin BsinC =1+cosA,所以2 sin Bsin C=1十cosA,又A=元- 2 (B十C),所以cosA=cos[π-(B十C)]=一cos(B +C)=sin Bsin C-cos Bcos C,所以2 sin Bsin C=1 +sin Bsin C-cos Bcos C,整理得sin Bsin C十cos Bcos C =1,即cos(B-C)=1,又0<B<π，0<C<π，所以 一πB一Cπ，所以B=C,即△ABC的形状为等腰 三角形.故选C. 7.B【解析】由题可得3sina=sin23cosa-cos2,3sina, 即(3+cos28)sina=sin2,osa,即sng= cos a sin 23 sin 28 2sin Bcos B 3千c032g故tana=3+c0s2g3+cos sin ·3 参考答案及解析 2sin Bcos B 2tan B cos2B+sinB 1+tanB 3+cos'B-sin'B cosB+sinB 3+ ,令t=anB,因为B∈ 2t (0,5),所以t∈(0，十oo),则tana= 1+t 1-t 3十1十 2t 1 4+2= 1=巨（当且仅当=2时，等号 成立).故选B. 8.ACD【解析】由A十B十C=,得sinA十B= 2 sin(受-S)=cos号，故A正确：c0s A sim(乏-A),△ABC为锐角三角形，所以A十B> 受，则0<受-A<B<受，因为y=simx在(o,受）上 单调递增，所以sin(受-A)<sinB,即cosA< sinB,同理可得sinA>sin(受-B）=cosB,故B错 误，C正确：由A十B十C=π，得tanC=tan(π一A一 tan A+tan B B)=一1an(A+B)=anA:nB整理得 tanA+tanB+tanC=tan Atan Btan C,故D正确. 故选ACD. 9.BD【解析】cos(a+B)·cos(a一B)= (cos acos B-sin asin B)(cos acos B+sin asin B)= cos'acos2B-sin'asin'B=cos'a(1-sin'B)-sin'asin'B =cos2a -cos'asin'B-sin'asin2B cos'a- sinB(cos2a十sina)=cos2a-sinB,故A错误，B正 确；sin(a十B)sin(a-B)=(sin acos B十cos asin)· (sin acos B-cos asin B)=sin'acos'B-cos'asin'B= sin'a (1-sin2B)-cos'asinB=sin'a-sin'asin2B- cos'asinB=sin'a-sin2B sin'a+cos'a)=sin'a- sinB,故C错误，D正确.故选BD. 10.【解析】由题意可得 cos(a+B)=cos acos B-sin asin B=- 1 6 解得 2 cos(a-B)=cos acos B+sin asin B=3, sin asin 1 5 '.tan atan B=sin asing3 cos acos B=12' cos acos B5 【解析】因为sina=子且a∈(0，受)，所以 cosa=√1-（号）=手.又因为AD=BD,所以 参考答案及解析 B=a,因此y=2a,从而sinY=sin2a=2 sin acos a= 24 7 25,cosY=cos2a=2cosa-1=25,所以siny+ cos y=25 31 20 12. 【解析折】依题意答=子所以m8=号，所以 1 sin 2a -tan a= sinatcos'a tan atana 2sin acos a 2tan a tan a=tan'a+1-2tan'g =1-tan'g 1-() 2tan a 2tan a 2× 20 18.解：1因为m9=7, 2tan B 2×号 77 所以tan23= 1-tan 1-(分)8 49 an2p-an平 7 所以an(2g平)】 21 1+tan2g·tan买 1+2 17 一24 1 31 (5分) 3 24 (2)因为a,3e(0,5), 所以a十B∈(0，π)， 因为cosa+g》=25>0. 5 所以a+B∈(0，受)， 所以2a十B∈(0，π)， 所以ma+》怎， tan(a十B)= sin(a+B)1 cos(a+B) 2 2tan(a+B) 2X1 tan[2(a+B)]-1-tan'(aFB 2 1-1 3 4 则tan(2a十B)=tan[2(a十B)一B] 4 25 tan[2(a十B)]-tanβ 37 1+tan[2(a十B)]·tanB 1+× 2 1 =1, 因为2a十B∈(0，π)， 所以2a十月=子 (13分) 数学 14.解：在Rt△OBC中，BC=sina,OB=cosa, 在R△AD0中识=an号=E, 所以OA=5AD=5BC= 3 3 3sin a, 所以AB=OB-0A=as。9ine: (5分) 设矩形ABCD的面积为S, 则S=AB·BC (aw。9 in ain =sin acos a- 2sin2a+ 6cos 2a 6 n(a+吾）g, 6 (10分) 由0a<得<2a+< 所以当2a十若=受，即a=吾时 所以当a=若时，矩形ABCD的面积最大，最大面积 (13分) 小练21三角函数的图象与性质 1.A【解析】因为y=5cosx+2sin2x=in2z +9os2x+号=sim(2x十号）+号，所以最小正 周期为，最大值为1十故选A 2.C【解析】对于A,当0<x<π时，y=|sinx|>0, A错误；对于B,当0<x<π时，0<|x|<π，y= sin|x|>0,B错误；对于C,令f(x)=-sinx|,该 函数的定义域为R,f(一x)=一sin|一x|= 一sin|x|=f(x),故f(x)为偶函数，当x>0时， f(x)=一sinx,由三角函数图象可知，C正确；对于 D,当π<x<2π时，y=-|sinx|<0,D错误.故 选C. 3.B【解析】①向左平移于个单位长度，可变为y= sin(x十牙)，再将每个点的横坐标缩短为原来的