小练19 同角三角函数基本关系式及诱导公式-【衡水金卷·先享题】2026年新高考数学拿满基础分自主小练

数学 则sina= 1 5 √/(-2)+1Ψ -2 2W5 cos a= √(-2)+1 1 tana=-2=-2 (12分) 当角α的终边在第四象限时，在其终边上取一 点(2，-1)， 则sina= -1 5 /22+(-1)2 51 2 2W5 cos a- √22+(-1)月 tan a= 1=-1 2 (15分) 2 2π 14.解：(1)因为分针旋转的角速度为 无(rad/min), 2π 时针旋转的角速度为12天60-360(rad/min), 所以(0一0)1=2m, 所以=空 (8分) (2)因为分针旋转一天所需的时间为24×60= 1440min, 所以22≤140， 解得n≤22， 故时针与分针一天内只重合22次. (15分) 15.解：(1)在如图所示的单位圆中，A(1,0),∠AOP= a,∠AOP的终边交单位圆于点P,作PM⊥x轴于 点M, 0 令P(x,y)(x>0,y>0), 由三角函数定义得sina=y=|PM|,cosa=x =1OM, 在Rt△OPM中，|PM+|OM>|OP|=1, 所以sina十cosa>1. (6分) (2)过点A作单位圆的切线交OP的延长线于点T, 劣弧AP的长为l=a×1=a, 由三角函数定义得sina=y=|PM,tana=|AT|, 所以△AOp的面积S,=令OAPM=令sina, ·3 参考答案及解析 扇形A0P的面积S,=OA=c, △A40T的面积S=号1OA1lAT=合ana,12分) 由图形得S<S<S, 即号sina<7a<7tana, 1 .1 所以sina<a<tana. (15分) 小练19同角三角函数基本关系式 及诱导公式 1.A【解析】易知cosa=1-sina=1-号=专 .'.sin'a-cos'a (sina+cos'a)(sin'a-cos a)= 吉号=-号故选A 55 2.C【解析】因为sin(x十a)=一号=一sina (0<a<号)，所以m。=子os。=2,所以 1 sin(经-a）=-cosa=- 9故运C 3.A【解析】√-2sin190cos190 c0s170°+√/1-c0s170° (sin190°-cos190)=sin190°-cos190 cos170°+√/sin170 cos170°+sin170° L-sin10°+cos10=-sin10°+cos10° -cos10°+sin10 -cos10°+sin10 =-1.故 选A. 4.B【解析】因为2sina-cosa=1,所以cosa=2sina -1,又sina+cos2a=1,所以sina+(2sina-1)2= 1,即5sina-4sina=0,又a∈(0，π)，所以sina= 专，所以c0sa=子，所以 3 1 2sin acos acosa 1 249-3·故选B 2525 cos x cos x(1+sin x) 5.A 【解析】二inx=(1-sinx)(1十sinx) cosx(1十sinx)=1+sin工=5.故选A. 1-sin'x cos I 6.C【解桥】由题可得88十ng2所以 sin 0 cos0<0且sin0<0,所以角0为第三象限的角.故 选C. 7.A 【解析】cos a /1-sin a /1-cos a 1+sin a 一sin a1十cosa (1-sin a) cos a 1-sin'a (1-cos a) -sin a1-cos'a ,a是第 二象限的角，∴.-1<cosa<0,0<sina<1,.原式= -(1-sina)-(1-cosa)=sina十cosa-2.故选A. 8.C【解析】由5十=2，得5na十c0sa=2,两 csc a'sec a 参考答案及解析 边同时平方得3sina+cosa+2√3 sin acos a= 3sin'acos'a+23 sin acos a sina十cosa 3tan2㎡a十1十2 3tan a=4,整理得tama-2W5tana+ tan'a+1 3=0,即(tana-√3)=0，所以tana=√3.故选C. 9.ACD【解析】因为tana=3,所以4sina-2cosc 5cosa十3sina 6n。-斧8是=子，放A正确：2。 名--爿=子放B结模 sin'a-cos'a sin a cos a)?= sin'a+cos'a+2sin acos a sin'a+cos'a na十1十2ang=3十1名X3=号，故C正确； tana+l 32+1 2sinsin aosacsinasin acosa3cosa sina十cos2a 2ma士m。3_2X3十3=号，故D正确.枚 tan'a-l 32+1 选ACD. 10.CD【解析】tan2x-2tan2y-1=0,.sin-2· cosx sin'y1=0,sin'xcos'y-2sin'ycos' cosy cos2 ycosx,..(1-cosx)(1-siny)-sin ycos'x =(cos2 y+sin2y)cosx,1-cos2x-sin'y+ sin'ycos2x-sin'ycos'x cos2x,.'sin2y 1- 2cos2x=2sinx-1,故CD正确.故选CD. 1l.ABC【解析】由(sina十cosa)2=2,得sin'a+ cos2a+2 sin0s&=2,故sin0sa=号，故A正 确；：sina-cosa=士√（sina-cosa)7 士/-2 sin o=±V1-2x空=0，∴sina cosa=0,故B正确；sin3a十cos3a=(sina十cosa)· （sia--sin cos+cosa)=万X(1-合）=号，故 C正确；sina十cosa=(sin'a十cosa) 2 esin'wosa=1-2×(分)广-之，故D错误.故 选ABC. 12.29-2【折】0<<受吾< z<号，又sin(号-x）=3>0,0<号-x<号， a(号-)=√-（受-）= ∴sin(若+x)=sm5-(号-x）]=cos(号-x =22,cos(+)=os[x-(号-x)门 数学 "cos(-)=-22 31 13.2⑤ 5 【解析】根据题意可得sina=log22= 又ae(-受，0）∴osa=v1-sima-5 2 3 tan a=- 25,÷tan(2x-a)=-1ama=25 14.- 3 ,【解析】：sina十cosa=1二E 2 ①，1+ 2sin acos a= 2sin acosa 2 <0,又a∈ (0,π)，..sina>0,cosa<0,∴.sina-cosa= V(sin a-cos )VI-2sin acosa +3②，由①②得sina=分，cosa=-3 1 2 2 m。0名-9 3 15.证明：(1)sin'a-cosa=(sin2a十cos2a)(sin2a- cos'a)=sin'a-cos'a, 故sina-cosa=sin2a-cos2a成立. (4分) (2)sin'x++sin'xcos'x+cos'x =sin'xsin'x+cosx)+cos'x sin2x+cosx=1, 故sinx十sin'xcos2x+cos2x=1成立. (8分) cos a sin a (3)1十sina1+cosa =cosa(1十cosa)-sina(1十sina) (1+sina)(1十cosa) -cos afcos'a-sin a-sin'a 1++sin a+cos a+sin acos a =cosa-sina十(cosa-sina)(cosa十sina) 1+sina十cosa十sin acos a cos a-sin a)(1+cos a+sin a) y 1 2 (cos asin a)sin a+cos 2(cos a-sin a)(1++cos a+sin a) (cos a+sin a)2+2 sin a+cos a)+1 -2(cos a-sin a)(1+cos a+sin a) (cosa十sina十1)2 =2(cos a-sin a) 1+sina十cosa cos a sina=2(cosa-sina成立. 故Fsin a1十cose1十sina+cosa (15分) 小练20三角恒等变换 1.A【解析】60°<a<150°，∴.90°<30°+a<180°，又 “sn(30r+a)=是.os(30+a)=-告，则 cosa=cos[(30°+a)-30°]=cos(30°+a)cos30°拿满基础分自主小练·数学 班级： 姓名： 小练19同角三角函数基本关系式及诱导公式 (考试时间：30分钟满分：88分)》 选择题（单选每题5分，多选每题6分） 8.1626年，阿贝尔特格洛德最早推出简写的 1.已知ina=号则5ina一cosa= 三角符号：sin,tan,sec(正割)，l675年，英 国人奥屈特最早推出余下的简写三角符 A-号 B一吉 号：cos,cot,csc(余割)，但直到1748年，经 c D 过数学家欧拉的引用后，才逐渐通用起来， 其中sec0=1, 2.(教材改编题)已知sin(π十a)=一 g若。 cos日'csc0=1 3 1 (<a<）,则sin(-a) -=2,则tana= sec a A- 1 B.1 3 C.-2 3 D.2② C.3 D.2√3 9 9.(多选，教材改编题)已知tana=3,则 3.V/-2sin190'cos190 c0s170°+√/1-c0s2170 A 4sin a 2cos a5 5cos a+3sin a 7 A.-1B.0 C.1 D.2 1 4.若a∈(0，元)，且2sina一cosa=1,则 B.2sin a-15 1 2sin acos a-cos2a C.(sin a+cos a)8 A器 B哥 D.2sin'a +sin acos a-3cos'a c-号 D得 10.(多选)已知tanx-2tan2y-1=0,则下列 式子成立的是 5.已知sinx cosx=5,则+sin= cosx A.sin2y=2sin2+1 A.3 B.-√5 B.sin2y=1-2sin2x c鲁 D.、3 C.sin2y=2sin2x-1 3 D.sin2y=1-2cos2x 6.已知 cos 0 sin 0 一2，则角0 √/1-sin0 W1-c0s20 11.(多选，教材改编题)已知sina十cosa 所在的象限为 √2，则 A.第一象限 B.第二象限 1 C.第三象限 D.第四象限 A.sin acos a= 7.（教材改编题)已知α为第二象限的角，则 B.sin a-cos a=0 1-sin a cosa√1+sina 1-cos a sin&√1+cosa C.sin'a+cos'a- A.sin a+cos a-2 B.sin a+cos a C.cos a-sin a-2 D.2cos a D.sina十cosa= 4 12.(5分)尼知n得-=号，且0<x<受，15.15分)求证： (1)sin'a-cos a=sin2a-cos2a; 则in(+=一eos(+) (2)sin'x+sin2xcos2x++cos2x=1; sin a2(cos a-sin a) = (3)1+sina1+cosa1十sina十cosa l3.(5分)已知sin(r-a)=logs子，且a∈ (-,0小则tan(2x一a)的值为 14.6分)已知sina+c0sa=15a∈(0， 2 x),则tana的值为_ 38