小练11 函数与方程-【衡水金卷·先享题】2026年新高考数学拿满基础分自主小练

拿满基础分自主小练·数学 班级： 姓名： 小练11 函数与方程 (考试时间：30分钟满分：105分) 选择题（单选每题5分，多选每题6分） B.g(x)=x2-x十6 1.(教材改编题)函数f(x)=1n(2x)-1的 C.h(x)=√x2十4+x+6 个零点所在的区间是 D.o(x)= 一 A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4) 7.已知函数f(x)=2r+x,g(x)=log2x+x, 2.(教材改编题)设函数f(x)=2十x一8，用 h(x)=x3+x的零点分别为a,b,c,则a,b, 二分法求方程2x+x一8=0在[1,5]上的 c的大小顺序为 近似解时，经过两次二分法后，可确定近似 A.abc B.bc>a 解所在区间为 C.c>a>b D.b>a>c A.[1,2]或[2,3]都可以 B.[2,3] 8.已知a∈R,函数f(x)= 2l-l-1,x≥0若 -x2+ax,x<0, C.[1,2] 函数y=f(f(x)恰有3个零点，则a的取 D.不能确定 值范围为 3.(教材改编题)函数f(x)=x2一2+log.5x A.(0,2) B.(0,1) 的零点个数为 C.[-1,0) D.(-2,0) A.0个 B.1个 9.(多选，教材改编题)下列函数图象与x轴 C.2个 D.无法确定 均有交点，其中能用二分法求函数零点近 4.(教材改编题)下列函数中，是奇函数且存 似值的有 在零点的是 A司 B.y=log2x C.y=1 i D.y=xxl 5.已知m为常数，函数f(x)=2x+m一1，则 “m≤1”是“f(x)有零点”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6.在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学 10.(多选，教材改编题)已知关于x的方程 里一个非常重要的不动点定理，它可应用 x2十a.x十a十3=0，下列说法正确的是 到有限维空间，并构成了一般不动点定理 A.当a=2时，方程的两个实数根之和为 的基石.布劳威尔不动点定理得名于荷兰 -2 数学家鲁伊兹·布劳威尔(L.E.J.Brouwer). B.方程无实数根的一个充分条件是一2< 简单讲就是对于满足一定条件的图象不间 a<4 断的函数f(x),存在一个点xo,使得 C.方程有两个小于一2的不等实根的充要 f(x)=x,那么我们称该函数为“不动点” 条件是6<a<7 函数.下列为“不动点”函数的是 D.方程有一个正实根和一个负实根的充 A.f(x)=-1 要条件是a<一4 x 21 2x+1,x≤0， 16.(17分)对于函数f(x),h(x),若存在实数 11.(多选)已知函数f(x)= log2x,x>0, a,b,c,使得h(x)=af(2x)+bf(x)+c,则 g(x)=f(x)一2mf(x)十2，下列说法正 称h(x)为f(x)的“重组函数” 确的是 (1)已知函数f(x)=e+1,h(x)= A.若y=f(x)-a有两个零点，则a>2 (ex十1)2，是否存在实数a,b,c,使得h(x) B.y=f(x)只有一个零点x=1 为f(x)的“重组函数”？若存在，求出a, C.若y=f(x)一a有两个零点x1,x2 b,c;若不存在，请说明理由； (x1≠x2),则x1x2=1 (2)已知函数f(x)=2r+1的“重组函数” D.若g(x)有四个零点，则m心是 为h(x). （i)当a=1,b=-2,c=-3时，求h(x) 12.(5分，教材改编题)在用二分法求方程 的值域； x2=3的正实数根的近似解（精确度为 (i)当a=1,c=2时，h(x)有唯一的零 0.001)时，若我们选取初始区间是 点，求实数b的取值范围. [1.7,1.8],为达到精确度要求至少需要 计算的次数是 13.(5分)若关于x的方程4x-x2|-a=0 有四个不相等的实数根，则实数a的取值 范围为 14.(5分)已知函数f(x)=x2+|ln(x+1) +c(c∈R)满足：f(a)=a2,f(b)=b(a< b),则ab+a十b的值为 15.(15分)已知函数f(x)=ax2-|x-al,其 中a∈R, (1)判断f(x)的奇偶性； (2)当a≠0时，比较f()+f(-)与0 的大小 (3)若函数y=f(e)有三个零点，求a的 取值范围. 22数学 不等式f(x)≥4的解集为(-∞，-2]U[2,十∞). (6分) (2)由图可知，函数f(x)与g(x)的图象交于点 (-1,1)和(2,4)， 所以方程f(x)=g(x)的解集为{-1,2，(9分) 不等式fx)>g(x)的解集为(-oo,-1)U(2,十∞)， 不等式f(x)≤g(x)的解集为[-1,2]. (13分) 小练11函数与方程 1.B【解析】因为f(x)的定义域为(0，十∞)，且y= 1n(2x),y=一1在(0，十∞)上单调递增，所以 f(x)在(0，十∞)上单调递增，又f(1)=ln2-1< 0,f(2)=ln4->0,所以函数f(x)的唯-一个 零点所在的区间是(1,2).故选B, 2.B【解析】f(1)=2十1-8=-5<0，f(5)=2-3= 29>0,第-次取x=5=3,有f(3)=2+3-8= 2 3>0,故第二次取=1十3=2，有f2)=2十2-8 2 =一2<0，故此时可确定近似解所在区间为[2,3]. 故选B. 3.C【解析】令f(x)=x2-2十logo.s=0,则x2-2= -log0.sx=log2x,函数f(x)零点的个数即函数y= x2一2的图象与函数y=log2x图象的交点个数，画图 分析可得有两个交点.故选C. 2 4.D【解析】y=舌无零点，故A错误y=bgx为非 奇非偶函数，故B错误：=之在定义域(xx≠0)上 不存在零点，故C错误：令h(x)=xx,则h(一x)= -x-x=-x|x|=-h(x),所以h(x)为奇函数， 令h(x)=xx=0,可得x=0,所以0是y=x|x|的 零点，故D正确.故选D. 5.B【解析】当m=1时，f(x)=2>0恒成立，即函数 f(x)没有零点，反之，若f(x)有零点，则2+一1= 0有解，所以m=1一2<1，所以“m≤1”是“f(x)有零 ·1 参考答案及解析 点”的必要不充分条件.故选B 6.D【解析】对于A,f(x6)=-1=→=-1，方 程无解，则f(x)=一士不是“不动点”函数，故A错 误；对于B,g(x0)=x-x0十6=x0→x6-2x0十6= 0,方程判别式△=4-24=-20<0，方程无解，则 g(x)=x2-x十6不是“不动点”函数，故B错误；对 于C,h(x)=√/x6十4十x0十6=→√/6十4=-6， 方程无解，则h(x)=√x2十4十x十6不是“不动点” 函数，故C错误：对于Dp(m)= 一x6=x0→x6= 之，方程有两解，则g(x)=上-x是“不动点”函数， x 故D正确.故选D. 7.B【解析】依题意可知a,b,c分别是函数y=2,y= log2x,y=x3的图象与直线y=一x交点的横坐标， 在同一坐标系中分别作出以上函数的图象，由图可 知，a<0=c<b.故选B. y--x y=2 6 1 8.D【解析】设t=∫(x),当x≥0时，f(x)=2l-1川 -1,此时t≥0，由f(t)=0,得t=1,即f(x)= 21x11-1=1,解得x=0或x=2,所以y f(f(x))在[0，十∞)上有2个零点；当x<0时，若 a>0,f(x)=-2+ar,对称轴为直线x=号，函数 y=f(x)的大致图象如图所示， y外 y=x)/ 此时f(x)=-x+ax<0,即t<0,则f(t)<0,所 以f(t)=0无解，所以y=∫（∫(x))无零点.综上， 当a≥0时，y=f(f(x))只有2个零点，不符合题 意；若a<0,此时f(x)的大致图象如图所示， 参考答案及解析 =x) --y=a 令-t十at=0(t<0),解得t=a<0,显然f(x)=a 在（一∞，0）上存在唯一负解，要使y=f(f(x))恰 有3个零点，只需y=f(f(x))在(0，十∞)上除 x=0和x=2外不能再有其他解，即f(x)=1不能 再有除x=0和x=2外的其他解，故f(号)∈ (0,1),即0<-号+号<1，解得-2<a<2,所以 a∈（一2,0）.故选D. 9.BCD【解析】根据二分法的定义，知函数∫(x)在区 间[a,b]上的图象连续不断，且f(a)·f(b)<0,即 函数f(x)的零点是变号零点，才能将区间[a,b] 分为二，逐步得到零点的近似值.对于A,因为零点 左、右两侧的函数值不变号，所以不能用二分法求函 数零点的近似值，故A错误；对于BCD,三个函数图 象均符合二分法求函数零点近似值的条件，故BCD 正确.故选BCD. 10.BC【解析】对于A,当a=2时，方程为x2+2x十5 =0,△=2-4×5=-16<0，此时方程无实根，故A 错误；对于B,方程无实数根的充要条件是△<0，即 a-4(a十3)<0，解得-2<a<6,所以方程无实数 根的一个充分条件是{a|-2<a<6}的子集，-2< a<4符合条件，故B正确；对于C,令f(x)=x2十ax 十a十3，方程有两个小于一2的不等实根的充要条 f(-2)>0, (a<7,a<7, 件是4>0， 即a<-2,或a>6,解得6<a -号<-2，>4 a>4, 7,故C正确；对于D,方程有一个正实根和一个负 实根的充要条件是f(0)<0,解得a<一3，故D错 误.故选BC 11.BCD【解析】作出函数f(x)的图象，如图所示， 若y=f(x)-a有两个零点，则y=f(x)与y=a 的图象有两个交点，由图可知，a>2或0<a≤1，故 A错误；由图可知，y=f(x)只有一个零点x=1,故 B正确；若y=f(x)一a有两个零点x1,x2 (x1≠x2),不妨设x1<x2,则x1<1<x2,且 |log2x1|=log2x2,所以-log2x1=log2x2,即 log2x1十log2x2=log2(1·x2)=0,所以x1x2=1, 故C正确；令t=∫(x),若g(x)有四个零点，则 ·2 数学 t一2mt十2=0有两个不同实根，且t1t2=2,不妨设 t1<t,由图可知，当t=0,t∈（1,2]时，不满足 tit=2;当t,t∈(0,1]时，不满足tt红=2；当ti,t ∈(2，十∞)时，不满足tt=2;当i∈(0,1]，t∈(2， 十减，则西8解程>是等上， m>号，故D正确.故选BCD. 3 12.7【解析】设至少需要计算n次，则n满足 1.81.7<0.001,即2>100，因为25=64,27= 2” 128,故要达到精确度要求至少需要计算7次. 13.(0,4)【解析】原方程等价于|4x-x|=a,在同 一坐标系内作出函数y=|4x-x2|与函数y=a的 图象，如图所示， y4x-x2 4 由图可得当0<a<4时，函数y=|4x一x2|与函数 y=a的图象有4个不同的交点，即方程 4x一x2=a有4个不相等的实数根，所以实数a 的取值范围为(0,4). 14.0【解析】由题可知a和b分别是f(x)=x2,即 |ln(x十1)十c=0的两个解，其中ab,设g(x)= |ln(x十1)|，则a,b为函数g(x)=|ln(x十1)|的图 象和y=一c图象的交点的横坐标，由图可知一1a 0,b>0,且-ln(a十1)=-c,ln(b十1)=-c,所以 a=e-1,b=ee-1,所以ab+a+b=(e-1)· (ec-1)十e+ec-2=0. g(x) y--c -1a O b 15.解：(1)当a=0时，f(x)=-|x|,其定义域为R, 且f(-x)=-|-x|=-|x|=f(x), 所以函数f(x)为偶函数； (1分) 当a≠0时，f(x)=ax2-|x-a|,定义域为R, f(-x)=ax2--x-al=ax2-x+a, 可得f(-x)≠f(x)且f(-x)≠-f(x), 所以函数∫(x)既不是奇函数又不是偶函数.(3分) 综上可得，当a=0时，f(x)为偶函数；当a≠0时， f(x)既不是奇函数又不是偶函数. (4分) (2)由函数f(x)=ax2-|x-a|, 数学 可得f(日)+f(-合)=是-(a+日 a-D 当a<0时，2<0a+日+a-日>0 所以f(日)+f(-是)<0： (6分) 当0<a≤1时，f(日)+f(-)=马 (a+是)+(a-)=0: (7分)》 当a>1时f(日)+f(-)=名-(a+日) (a-a)=2(日-a)=212<0. (8分)》 综上可得，当a≠0时，f(日)+f(-号)≤0.(9分) (3)设t=e(t>0), 因为t是关于x的单调增函数， 所以问题可转化为函数y=∫(t)有三个大于0的 零点， 当a=0时，f(t)=-t, 此时f(t)只有一个零点为0，不符合题意；(11分) 当a<0时，f(t)=at-|t-a<0, 此时f(t)无零点，不符合题意： (12分) 当a>0时，f(t)= |at-t+a,t≥a, lat2+t-a,0<t<a, 因为y=at十t一a的图象的对称轴为t= 2 0, 所以f(t)在(0，a)上单调递增， 所以f(t)在(0，a)上至多有1个零点： (13分) 又因为y=a一十a的图象的对称辅为1=云>0， 所以f(t)在[a,十∞)上至多有2个零点， 所以问题等价于f(t)在(0，a)上有且仅有1个零 点，在[a,十∞)上有且仅有2个零点， (f(0)=-a<0, 则满足 2a >a, f(a)=a3>0, +a<0, r(品）-a×(品)广-云 解得0<a<2, .1 所以a的取值范围为(0，) (15分) 16.解：(1)假设存在实数a,b,c,使得h(x)为f(x)的 “重组函数”， h(x)=af(2x)+bf(x)c, 因为f(x)=e+1,所以f(2x)=e2+1, 又h(x)=(e十1)2=e2x+2e+1, 所以e2a+2e+1=a(e2r+1)+b(e+1)+c, 参考答案及解析 即e2r+2e+1=ae2x十be+(a+b+c), (3分) (a=1, (a=1, 则{b=2, 解得b=2, a+b+c=1, c=-2, 所以存在实数a,b,c,使得h(x)为f(x)的“重组函 数”，且a=1,b=2,c=-2. (5分) (2)因为f(x)=2+1,所以f(2x)=22x+1. (1)当a=1,b=-2,c=-3时， h(x)=f(2x)-2f(x)-3=22x+1-2(2+1)-3 =(2x)2-2·2x-4, 令t=2x>0, H(t)=t-2t-4=(t-1)2-5,t>0, 则H(t)在(0,1)上单调递减，在(1，十∞)上单调 递增， (8分) 所以H(t)≥H(1)=-5, 则h(x)的值域为[-5，十o). (10分) (i)当a=1,c=2时， h(x)=22x+1+b(2+1)+2=(2)2+b·2+3 +b, 令m=2>0,F(m)=m2十b十3+b, 由题意可知F(m)=m2十bm十3十b在(0，十∞)上 只有一个零点， 当△=6-4(3十b)<0,即-2<b<6时，F(m)无 零点； (12分) 由△=-4(3十b)≥0，得b6或b≤-2， 当≥6时，一合<0，只需F(0)<0: 即3十b<0,则b<-3,显然无解： (14分) 当K-2时，-名>0， 则需满足F(0)<0或F(-合)=0， 即3汁0或一号 3+6=0, 则b≤-3或b=-2. (16分) 综上，实数b的取值范围为(-∞，一3]U{-2}. (17分) 小练12函数模型及其应用 1.D【解析】指数函数y=a,当a>1时呈爆炸式增 长，而且a越大，增长速度越快.故选D. 2.C【解析】如图， ,圆的直径AC=2OC=50cm,矩形的边AB=xcm, ∠ABC=90°，∴.由勾股定理，得BC=√/2500-xcm, ∴.矩形ABCD的面积y=AB·BC=x·