专题05 二元一次方程组应用的重难点题型汇编(十大题型）-2025-2026学年七年级数学下册高频考点题型归纳与满分必练（浙教版）

专题05 二元一次方程组应用的重难点题型汇编 （十大题型） 【题型1 二元一次方程组的应用-分配问题】..............................1 【题型2 二元一次方程组的应用-图表信息题】............................4 【题型3 二元一次方程组的应用-行程问题】..............................8 【题型4 二元一次方程组的应用-工程问题】.............................11 【题型5 二元一次方程组的应用-几何问题】.............................14 【题型6 二元一次方程组的应用-方案问题】.............................17 【题型7 二元一次方程组的应用-数字问题】.............................23 【题型8 二元一次方程组的应用-销售、利润问题】.......................26 【题型9二元一次方程组的应用-古代问题】.............................32 【题型10 二元一次方程组的应用-其他问题】............................35 【题型1 二元一次方程组的应用-分配问题】 1．张老师和王老师带44名学生去公园划船，共租了12条船正好坐满．每条大船坐5人，每条小船坐3人．他们租了几条大船？坐小船的有多少人？ 【答案】他们租了条大船，坐小船的有人． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意是解题关键．设他们租了条大船，则租了条小船，根据题意列一元一次方程求解即可． 【详解】解：设他们租了条大船，则租了条小船， 由题意得：， 解得：， 人， 答：他们租了条大船，坐小船的有人． 2．为培养同学们爱国主义精神，某学校七年级美术社团的同学们要完成为参加清明节缅怀革命先烈的扫墓活动的本年级同学制作小白花，若每人做5朵，则可比计划多9朵；若每人做4朵，则将比计划少做15朵，求本次计划共制作多少朵小白花？七年级美术社团有多少名同学？ 【答案】七年级美术社团有24名同学，本次计划制作111朵小白花 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，解题的关键是根据两种不同制作情况找到等量关系，列出方程组． 设社团同学数量和计划制作小白花数量为未知数，依据“每人做5朵比计划多9朵，每人做4朵比计划少15朵”这两个条件列出二元一次方程组，再求解方程组得到答案． 【详解】解：设七年级美术社团有x名同学，本次计划制作y朵小白花， 依题意得， 解得，经检验，符合题意． 答：七年级美术社团有24名同学，本次计划制作111朵小白花． 3．如图，制作甲、乙两种无盖的长方体纸盒，需用正方形和长方形两种硬纸板，且长方形的宽与正方形的边长相等．现有150张正方形硬纸片和300张长方形硬纸片，可制作甲、乙两种纸盒各多少个？ 【答案】可以做成甲乙两种小盒各30个，60个． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，设可以做成甲乙两种小盒各x个，y个，根据将300张长方形硬纸片和150张正方形硬纸片全部用于制作这两种小盒列出方程组求解即可． 【详解】解：设可以做成甲乙两种小盒各x个，y个， 由题意得，， 解得， 答：可以做成甲乙两种小盒各30个，60个． 4．列方程或方程组解应用题 福林制衣厂现有24名制作服装的工人，每天都制作某种品牌的衬衫和裤子，每人每天可制作这种衬衫3件或裤子5条．已知制作一件衬衫可获得利润30元，制作一条裤子可获得利润16元，若该厂要求每天获得利润2100元，则需要安排多少名工人制作衬衫？多少名工人制作裤子？ 【答案】安排18名工人制作衬衫，6名工人制作裤子 【分析】本题考查列二元一次方程组解决实际问题． 设安排x名工人制作衬衫，y名工人制作裤子，根据“现有24名制作服装的工人”和“要求每天获得利润2100元”列出二元一次方程组，求解即可． 【详解】解：设安排x名工人制作衬衫，y名工人制作裤子，根据题意，得 ， 解得， 答：安排18名工人制作衬衫，6名工人制作裤子． 5．某工厂生产如图1所示的长方形和正方形纸板，做成如图2所示的竖式与横式两种长方体形状的无盖纸盒，其中竖式纸盒由4个长方形和1个正方形纸板做成，横式纸盒由3个长方形和2个正方形纸板做成（给定的长方形和正方形纸板都不用裁剪，也不考虑接缝）． (1)现有长方形纸板340张，正方形纸板160张，做成上述两种纸盒，纸板恰好用完，求两种纸盒生产个数． (2)纸板车间共有78名工人，每个工人一天能生产70张长方形纸板或者100张正方形纸板，已知一个竖式纸盒与一个横式纸盒配套，要求纸板车间一天生产的纸板由其它车间做成竖式纸盒与横式纸盒配套，问纸板车间应该如何安排工人生产两种纸板？ 【答案】(1)40个，60个 (2)分配18个工人生产正方形纸板，则60个工人生产长方形纸板 【分析】（1）设做成的型盒有个，型盒子有个，根据长方形纸板340张，正方形纸板160张，可得出二元一次方程组； （2）设分配a个工人生产正方形纸板，则78－a个工人生产长方形纸板，所以能生产正方形纸板100a张，长方形纸板700（78－a）张，列出等式进行求解即可． 【详解】（1）解：设能做成的竖式纸盒有x个，横式纸盒子有y个， 根据题意得：, 解方程得 答：设能做成的竖式纸盒有40个，横式纸盒子有60个． （2）解：设分配a个工人生产正方形纸板，则78－a个工人生产长方形纸板，所以能生产正方形纸板100a张，长方形纸板700（78－a）张． 由题意得 解方程得a＝18，则78－a＝60 答：分配18个工人生产正方形纸板，则60个工人生产长方形纸板． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是理解题意，列出方程或方程组进行求解． 【题型2 二元一次方程组的应用-图表信息题】 6．某山区有23名中、小学生因贫困失学需要捐助，资助一名中学生的学习费用需要a元，一名小学生的学习费用需要b元，某校学生积极捐款，七、八、九三个年级学生捐款数额与受其捐助贫困中学生和小学生人数的情况如下表：   年级 捐款数额（元） 捐助贫困中学生人数（名） 捐助贫困小学生人数（名） 七年级 4000 2 4 八年级 4200 3 3 九年级 7200 (1)求a、b的值； (2)九年级学生的捐款解决了其余贫困中、小学生学习的费用，请求出九年级学生可捐助的贫困中、小学生人数各是多少？ 【答案】(1)， (2)初三年级学生可捐助名贫困中学生，捐助名贫困小学生 【分析】根据题意可知，本题中的相等关系是捐款额，列方程组求解即可. 利用九年级的捐款额7200列方程求人数. 【详解】（1）由题意得: 解得： （2）设初三年级学生捐助名贫困中学生，捐助名贫困小学生. 由题意得： 解得： 答：初三年级学生可捐助名贫困中学生，捐助名贫困小学生. 【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解. 7．[阅读] 将九个数分别填在（3行3列）的方格中，如果满足每个横行，每个竖列和每条对角线上的三个数之和都等于m，则将这样的图称为“和m幻方”也称幻方，m为幻方值下面的图1是满足条件的“和15幻方”    [探究] (1)若图2为“和m幻方”，则． (2)小明发现了幻方中的其它等量关系，例如图1中有：；；；……你能运用这个规律解决以下问题吗？ 问题解决：图3为幻方，，且，求出图3的幻方值． 【答案】(1)8，0 (2)39 【分析】（1）根据幻方的特点即可求出和的值； （2）由幻方的特点得出和，再结合条件建立方程组求出，，，的值，即可得出答案． 【详解】（1）解：， ， ， 解得：， 故答案为：8，0； （2）由幻方的特征得，， ， ， ，， 由幻方的特征得，， ， ， ， ，， 图3的幻方值为． 【点睛】此题主要考查了幻方的特征，解二元一次方程组，掌握幻方的特点建立方程和方程组是解本题的关键． 8．中药是我国的传统医药，其独特的疗效体现了我们祖先的智慧，并且在抗击新冠疫情中，中医药发挥了重要的作用．现某中药材种植基地欲将一批吨的重要中药材运往某药品生产厂，现有甲、乙、丙三种车型供运输选择，每辆车的运载能力（假设每辆车均满载）和运费如下表所示： 车型 甲 乙 丙 运载量（吨/辆） 6 10 12 运费（元/辆） 540 700 720 (1)若全部中药材仅用乙、丙两种车型一次性运完，需支付运费元，问乙、丙两种车型各需多少辆？ (2)若该基地打算用甲、乙、丙三种车型共辆同时参与运送，每辆车均满载且一次性运完所有中药材，你能分别求出参与运送的三种车型的辆数吗？（甲、乙、丙三种车型均要参与运送） 【答案】(1)乙种车型需辆．丙种车型需辆 (2)参与运送的有甲种车型辆，乙种车型辆，丙种车型辆或甲种车型辆，乙种车型辆，丙种车型辆或甲种车型辆，乙种车型辆，丙种车型辆或甲种车型辆，乙种车型辆，丙种车型辆 【分析】（1）设乙种车型需辆，丙种车型需辆，根据共150吨及运费元，列出二元一次方程组求解即可得出答案； （2）设甲车有辆，乙车有辆．则丙车有辆，根据一共吨列出方程，根据均为正整数，分别求出符合题意的，，的值即可得出答案． 【详解】（1）解：设乙种车型需辆，丙种车型需辆， 根据题意得 解得 答：乙种车型需辆，丙种车型需辆． （2）解：设甲车有辆，乙车有辆．则丙车有辆， 由题意得， 即 ， 因为均为正整数， 所以时； 时，； 时，； 时，； 答：参与运送的有甲种车型辆，乙种车型辆，丙种车型辆或甲种车型辆，乙种车型辆，丙种车型辆或甲种车型辆，乙种车型辆，丙种车型辆或甲种车型辆，乙种车型辆，丙种车型辆． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，读懂题意找到等量关系式是解题的关键． 9．课余活动中，小杰、小明和小丽一起玩飞镖游戏，飞镖盘上A区域所得分值和B区域所得分值不同，每人投5次飞镖，其落点如图所示，已知小杰和小明的5次飞镖总分分别为39分和43分，求小丽的5次飞镖总分．    【答案】小丽的5次飞镖总分为37分 【分析】设A区域每次中镖得分，B区域每次中镖得分，根据图示列二元一次方程组，解之即可. 【详解】解：设A区域每次中镖得分，B区域每次中镖得分． 依题意得， 解得， 小丽：（分） 答：小丽的5次飞镖总分为37分． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 10．如图，长青化工厂与，两地有公路，铁路相连．这家工厂从地购买一批每吨2000元的原料运回工厂，制成每吨5000元的产品运到地，已知公路运价为2元/（吨·千米），铁路运价为1.5元/（吨·千米），且这两次运输共支出公路运输费14000元，铁路运输费87000元．求： (1)该工厂从地购买了多少吨原料？制成运往地的产品多少吨？ (2)不计其他因素，这批产品的利润为多少元（利润＝销售款－原料费－运输费）？ 【答案】(1)工厂从地购买了300吨原料，制成运往地的产品200吨 (2)299000元 【分析】（1）设该工厂从A地购买了x吨原料，制成运往B地的产品y吨，根据“这两次运输共支出公路运输费14000元，铁路运输费87000元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）根据“利润＝销售款－原料费－运输费”计算求解即可． 【详解】（1）解：设工厂从地购买了吨原料，制成运往地的产品吨．则依题意，得： 解得： ∴工厂从地购买了300吨原料，制成运往地的产品200吨； （2）解：依题意，得：（元） 答：这批产品的利润是299000元． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 【题型3 二元一次方程组的应用-行程问题】 11．小红和小丽在的环形跑道上跑步，他们于同一个起点同时出发．如果同向跑，那么经过200s两人第一次相遇；如果反向跑，那么经过40s两人第一次相遇．若小红比小丽跑得快，则小红、小丽跑步的平均速度分别是多少？ 【答案】小红的平均速度是，小丽的平均速度是 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，设小红的平均速度是，小丽的平均速度是，根据同向跑，那么经过200s两人第一次相遇；反向跑，那么经过40s两人第一次相遇，列出方程组进行求解即可． 【详解】解：设小红的平均速度是，小丽的平均速度是； 根据题意，得， 解得； 答：小红的平均速度是，小丽的平均速度是． 12．小明家离学校1880米，其中有一段为上坡路，另一段为下坡路．他跑步去学校共用了16分钟，已知小明在上坡路上的平均速度为4.8千米时，而他在下坡路上的平均速度为12千米时，那么小明在上坡路上用了多少分钟？（温馨提示：计算时请注意单位） 【答案】11分钟 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 设小明在上坡路上用了分钟，在下坡路上用了分钟，根据小明家离学校1880米，其中有一段为上坡路，另一段为下坡路．他跑步去学校共用了16分钟，列出二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】解：4.8千米时米分，12千米时米分， 设小明在上坡路上用了分钟，在下坡路上用了分钟， 由题意得：， 解得：， 答：小明在上坡路上用了11分钟． 13．已知A、B两码头之间的距离为，一艘船航行于A、B两码头之间，顺流航行需3小时；逆流航行时需6小时，求船在静水中的速度及水流的速度？ 【答案】船在静水中的速度及水流的速度分别为、 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设船在静水中的速度及水流的速度分别为、，则顺水速度为，逆水速度为，根据往返路程相等建立等量关系，求出其解就可以求出结论． 【详解】解：设船在静水中的速度及水流的速度分别为、，由题意可得： ， 解得：， 答：船在静水中的速度及水流的速度分别为、． 14．学校和博物馆相距20千米，小明与小强分别从学校和博物馆出发，相向而行．如果小明比小强早出发30分钟，那么在小强出发后2小时，他们相遇；如果他们同时出发，那么1小时后两人还相距11千米．求小明、小强每小时各走多少千米． 【答案】小明每小时走4千米，小强每小时走5千米 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，找出合适的等量关系 ，列方程组求解． 设小明每小时走x千米，小强每小时走y千米，根据小明走小时的路程小强走2小时的路程千米，他们共同走1个小时，俩人走的路程差为11千米，据此列方程组求解． 【详解】解：设小明每小时走x千米，每小时走y千米，根据题意列方程组，得 ， 解这个方程组，得 答：小明每小时走4千米，小强每小时走5千米． 15．小魏和小梁从A、B两地同时出发，小魏骑自行车，小梁步行，沿同条路线相向匀速而行，出发两人相遇，相遇时小魏比小梁多行，相遇后1h小魏到达B地． (1)求两人的速度分别是多少？ (2)求A、B两地的距离是多少？ 【答案】(1)小魏的速度为，小梁的速度为 (2) 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用问题，找到题中的等量关系，列出方程组是解题的关键． （1）设小魏的速度为，小梁的速度为，根据“出发两人相遇，相遇时小魏比小梁多行，相遇后1h小魏到达B地”可列出方程组，求解即可； （2）根据经过相遇时，小魏和小梁走过的路程之和即A、B两地的距离，即可求解； 【详解】（1）设小魏的速度为，小梁的速度为， 则由题意得：， 解得 答：小魏的速度为，小梁的速度为． （2）根据题意可知，A、B两地的距离为经过相遇时，小魏和小梁走过的路程之和，即： 答：A、B两地的距离是． 【题型4 二元一次方程组的应用-工程问题】 16．某科研团队计划开展两个研究项目．已知原计划A，B两个项目的总实验周期数为90个．在实际开展过程中，项目A的实验周期数超过原计划的10%，项目B的实验周期数只达到计划的90%，但总实验周期数保持不变．求原计划项目A，B的实验周期数． 【答案】原计划项目A的实验周期数为45个，项目B的实验周期数45个 【分析】本题考查二元一次方程的应用，根据原计划和实际总实验周期数都是90个列出方程组求解即可，正确列出方程组是解题的关键． 【详解】解：设原计划项目A的实验周期数为x个，项目B的实验周期数y个． 依题意得 解得 答：原计划项目A的实验周期数为45个，项目B的实验周期数45个． 17．阅读理解： 为打造黄河沿岸的风景带，有一段长为360米的河道整治任务由两个工程队先后接力完成，A工程队每天整治24米，B工程队每天整治16米，共用20天． (1)根据题意，甲乙两个同学分别列出了尚不完整的方程组如下： 甲： 乙： 根据甲、乙两名同学所列的方程组，请你分别指出未知数表示的意义，并且补全甲、乙两名同学所列的方程组：甲：x表示_______，y表示：_______； 乙：x表示_______，y表示_______； (2)求出乙方程组的解，并回答两工程队分别整治河道多少米？ 【答案】(1)A队的工作时间，B队的工作时间；A队的工作总量，B队的工作总量；补全所列方程组见解析 (2)，A队整治河道120米，B队整治河道240米 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，正确找出题目中的相等关系，列方程组求解． （1）根据甲、乙两名同学所列的方程组可得，甲：x表示A队的工作时间，y表示B队的工作时间；乙：x表示A队的工作量，y表示B队的工作量，补全方程组即可； （2）根据二元一次方程组的解法求解乙方程组即可． 【详解】（1）解：甲：， 乙：； 甲：x表示A队的工作时间，y表示B队的工作时间； 乙：x表示A队的工作量，y表示B队的工作量； 故答案为：A队的工作时间，B队的工作时间；A队的工作量，B队的工作量． （2）解：整理乙方程组，得 得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∴乙方程组的解为：， 答：A队整治河道120米，B队整治河道240米． 18．南淝河，古称施水，长江流域巢湖的支流，是合肥的母亲河．为了确保河道畅通，现需要对一段河道进行清淤处理，清淤任务由两栖反铲式清淤机和小型链斗式清淤船进行．右表是工程队给出的两个工程预备方案，环保部门要求6天内必须完成任务．如果工程部门提供2台清淤机和2台清淤船，共同完成此项任务，那么能否按要求完成任务？ 清淤机 清淤船 时间 方案一 1台 2台 8天 方案二 2台 1台 7天 【答案】能按要求完成任务 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，设一台清淤机的工作效率为，一台清淤船的工作效率为，根据方案一和方案二建立方程求解即可． 【详解】解：设一台清淤机的工作效率为，一台清淤船的工作效率为． 根据题意，得 解得， 答：2台清淤机和2台清淤船共同工作，能按要求完成任务． 19．某学校组织甲乙两班学生参加“美化校园”的义务劳动．如果甲班做2小时，乙班再做3小时，则恰好完成全部工作的一半；如果甲班做3小时，乙班再做6小时，恰好完成全部工作的．试问单独完成这项工作，甲乙两班各需多少时间? 【答案】甲班需8天，乙班需12天 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用；设甲每小时完成x，乙每小时完成y；根据题意列出二元一次方程组，求出两班单独完成的工作效率，即可求出单独完成的时间． 【详解】解：设甲每小时完成x，乙每小时完成y； 根据题意得：， 解方程组得：， 则甲班单独完成需要（天），乙班单独完成需要（天）； 答：甲班需8天，乙班需12天． 【题型5 二元一次方程组的应用-几何问题】 20．如图，用8块相同的小长方形地砖拼成一个大长方形，已知大的长方形的周长为，求小长方形的长和宽？ 【答案】这个长方形地砖的长是10，宽是6． 【分析】设小长方形的长为x，宽为y，根据长方形的周长等于长加宽的和的2倍，列二元一次方程组解答． 【详解】解：设小长方形的长为x，宽为y， 则有， 解得， 答：这个长方形地砖的长是10，宽是6． 21．如图，在长方形中放置9个形状、大小都相同的小长方形（尺寸如图） (1)求图中9个形状、大小都相同的小长方形的长与宽； (2)求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)小长方形的长为10，宽为3 (2)82 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用； （1）设小长方形的长为，宽为，结合图形性质建立方程组解题即可； （2）利用割补法可得阴影部分的面积等于大的长方形面积减去9个形状、大小都相同的小长方形面积，进一步列式计算即可. 【详解】（1）解：设小长方形的长为，宽为， 根据题意得，解得， 答：小长方形的长为10，宽为3. （2）解：． 22．某学校开展“浸书香校园，品诗词之美”读书活动．现有两种诗词书籍整齐地叠放在桌子上，每本书籍和每本书籍厚度的比为，根据图中所给出的数据信息，求每本书籍的厚度和桌子的高度． 【答案】每本书籍厚度为，桌子的高度为 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，设每本书籍厚度为，则每本书籍的厚度为，桌子高度为，根据3本A书籍与桌子的高度和为，5本B书籍与桌子的高度和为建立方程组求解即可． 【详解】解：设每本书籍厚度为，则每本书籍的厚度为，桌子高度为， 由题意，得， 解得：， 答：每本书籍厚度为，桌子的高度为． 23．现有8个大小相同的长方形，可拼成如图1、2所示的图形，在拼图2时，中间留下了一个边长为2的小正方形，求每个小长方形的面积． 小明设小长方形的长为x，宽为y，观察图形得出关于x、y的二元一次方程组，解出x、y的值，再根据长方形的面积公式得出每个小长方形的面积． (1)请按照小明的思路完成上述问题：求每个小长方形的面积； (2)某周末上午，小明在超市帮妈妈买回一袋纸杯，他把纸杯整齐地叠放在一起，如图3所示．若小明把13个纸杯整齐叠放在一起时，它的高度约是多少厘米？ 【答案】(1)60 (2) 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，正确理解题意列出方程组是解题的关键． （1）设小长方形的长为x，宽为y，根据图1可知3个长等于5个宽，根据图2可知两个宽减去1个长等于2，据此建立方程组求解即可； （2）设每两个纸杯叠放在一起比单独的一个纸杯增高，单独一个纸杯的高度为，根据3个纸杯，8个纸杯建立方程组求解即可． 【详解】（1）解：设小长方形的长为x，宽为y， 根据题意得：， 解得， ． 每个小长方形的面积为60； （2）解：设每两个纸杯叠放在一起比单独的一个纸杯增高，单独一个纸杯的高度为， 由题意得， 解得， ． 小明把13个纸杯整齐叠放在一起时，它的高度约是． 24．某厂要制作一些玻璃窗，如图，一扇窗户由甲、乙、丙型玻璃片组成，厂家购置了一批相同的长方形大玻璃（如长方形），并按如图所示的两种方案进行无废料切割，同种型号玻璃片大小、形状都一样． (1)若大玻璃的长为2米，则乙玻璃的边______米，________米． (2)若厂家已有足够多的甲玻璃片，再购入26块大玻璃片，并按以上两种方案进行切割成乙、丙两种玻璃片．设其中有x块大玻璃片按方案一切割，y块按方案二进行切割．若所购大玻璃片无剩余，且恰好可以与甲玻璃搭成若干扇窗户，请求出x与y的值． 【答案】(1)0.4，0.6； (2)，． 【分析】本题考查了二元一次方程组和二元一次方程的实际应用，解题的关键是理解题意，读懂图形，找到等量关系，列出方程（组）． （1）根据方案一可得，由方案一、二可得乙和丙的宽相等，从而可得； （2）从窗户中得出丙种玻璃片是乙种玻璃片的2倍，根据题意列出方程组，解之即可； 【详解】（1）（米）， （米）； （2）由图可知：丙种玻璃片是乙种玻璃片的2倍， 可得：， 解得：． 【题型6 二元一次方程组的应用-方案问题】 25．为推进校园智慧体育建设，某校计划采购体育测训一体机（A型机）和智能划船机（B型机），相关数据如下：采购2台A型机和4台B型机，总费用为6万元；采购3台A型机和1台B型机，总费用为万元． (1)求每台A型机和每台B型机的价格分别是多少万元？ (2)学校计划用7万元采购A型机和B型机（两种设备均需采购），若采购资金全部用完，学校共有多少种符合条件的采购方案？并列出所有方案． 【答案】(1)每台A型机的价格为2万元，每台B型机的价格为万元 (2)共有3种采购方案：方案1为采购1台A型机和10台B型机；方案2为采购2台A型机和6台B型机；方案3为采购3台A型机和2台B型机 【分析】本题主要考查了二元一次方程和二元一次方程组的应用，根据等量关系列出方程是解题的关键． （1）设每台A型机x万元，每台B型机的价格y万元，根据采购2台A型机和4台B型机，总费用为6万元；采购3台A型机和1台B型机，总费用为万元，列出方程组，解方程组即可； （2）设采购A型机m台，采购B型机n台，根据A型机和B型机总费用为7万元，列出二元一次方程，求出二元一次方程的正整数解，即可得出答案． 【详解】（1）解：设每台A型机x万元，每台B型机的价格y万元，根据题意得： ， 解得：， 答：每台A型机的价格为2万元，每台B型机的价格为万元； （2）解：设采购A型机m台，采购B型机n台，根据题意得： ， ∵m、n为正整数， ∴，，， 答：共有3种采购方案：方案1为采购1台A型机和10台B型机；方案2为采购2台A型机和6台B型机；方案3为采购3台A型机和2台B型机． 26．新房装修后，甲居民购买家居用品的清单如下表，因污损导致部分信息无法识别，根据下表解决问题： 家居用品名称 单价/元 数量/个 金额/元 挂钟 30 2 60 垃圾桶 15 塑料鞋架 40 艺术饰品 2 120 电热水壶 35 1 合计 8 310 (1)________，________； (2)甲居民购买了垃圾桶、塑料鞋架各几个？ (3)若甲居民再次购买艺术饰品和垃圾桶两种家居用品，共花费150元，则有哪几种不同的购买方案？ 【答案】(1)60，35 (2)甲居民购买了1个垃圾桶，2个塑料鞋架 (3)共有2种购买方案：方案1：购买1个艺术饰品，6个垃圾桶；方案2：购买2个艺术饰品，2个垃圾桶． 【分析】本题考查二元一次方程组与二元一次方程的应用，掌握单价×数量=金额的基本关系，以及根据正整数条件确定购买方案的方法是解题的关键． （1）根据单价×数量=金额的基本关系，直接计算艺术饰品的单价和电热水壶的金额； （2）先从总数量和总金额中减去已知商品的部分，得到垃圾桶和塑料鞋架的数量和与金额和，再设未知数列方程组求解； （3）设再次购买的数量为未知数，根据总花费列二元一次方程，再根据正整数条件确定所有可行的购买方案． 【详解】（1）解：，． （2）解：设甲居民购买了垃圾桶个，塑料鞋架个， 依题意，得 解得 答：甲居民购买了个垃圾桶，个塑料鞋架． （3）解：设甲居民再次购买个艺术饰品，个垃圾桶， 依题意，得， ． 又，均为正整数， ∴或 ∴共有种购买方案： 方案：购买个艺术饰品，个垃圾桶； 方案：购买个艺术饰品，个垃圾桶． 27．一方有难，八方支援．某市发生地震，某公司用甲、乙两种货车向该市运送爱心物资，两次满载的运输情况如表： 运输次数 甲种货车/辆 乙种货车/辆 总量/吨 第一次 4 5 31 第二次 3 6 30 (1)甲、乙两种货车每辆分别能装货多少吨？ (2)现有45吨物资需要再次运往该市，准备同时租用这两种货车，每辆均全部装满货物，问有哪几种租车方案？ 【答案】(1)甲、乙两种货车每辆分别能装货4吨、3吨 (2)见解析 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，根据已知条件列出方程组是解题的关键． 设甲、乙两种货车每辆分别能装货x，y吨，根据题意列方程组为，解方程组即可； 设租用m辆甲种货车，n辆乙种货车．依题意得，则，根据，n均为正整数得到或或，即共有3种租车方案． 【详解】（1）解：设甲、乙两种货车每辆分别能装货x，y吨，依题意，得 解得 因此，甲、乙两种货车每辆分别能装货4吨、3吨； （2）解：设租用m辆甲种货车，n辆乙种货车． 依题意，得， 则， ，n均为正整数， 则或或 即共有3种租车方案， 方案1：租用3辆甲种货车、11辆乙种货车； 方案2：租用6辆甲种货车、7辆乙种货车； 方案3：租用9辆甲种货车、3辆乙种货车． 28．已知：用2辆A型车和3辆B型车载满货物一次可运货18吨；用5辆A型车和4辆B型车载满货物一次可运货31 吨，某物流公司现有35 吨货物，计划同时租用A型车 a辆，B型车b 辆，一次运完，且恰好每辆车都载满货物． 根据以上信息，解答下列问题： (1)1辆A型车和1辆B型车都载满货物一次可分别运货多少吨？ (2)请你帮该物流公司设计租车方案； (3)若A型车每辆需租金200元/次，B型车每辆需租金240元/次，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费． 【答案】(1)1辆A车运3吨，1辆B车运4吨 (2)租用1辆A，8辆B或租用5辆A，5辆B或租用9辆A，2辆B (3)租用1辆 A，8辆B，最少租车费为2120元 【分析】本题考查二元一次方程组的应用、二元一次方程的解，理解题意，正确列出方程（组）是解答的关键． （1）设1辆A车运x吨，1辆B车运y吨，根据题意列方程组，然后解方程组即可解答； （2）根据题意，租用a辆 A，b辆B，满足：，结合a、b值为非负整数确定a、b值即可； （3）分别求出每个方案的租车费用，比较大小后可得答案． 【详解】（1）解：设1辆A车运x吨，1辆B车运y吨， 根据题意，列方程组： 解得， 答：1辆A车运3吨，1辆B车运4吨； （2）解：根据题意，租用a辆 A，b辆B，满足：， ∵a、b为非负整数， ∴或或， 故有三种租车方案：租用1辆A，8辆B或租用5辆A，5辆B或租用9辆A，2辆B； （3）解：租金：A：200元/次，B：240元/次， 计算各方案费用： 租用1辆A，8辆B费用为（元）， 租用5辆A，5辆B费用为（元）， 租用9辆A，2辆B费用为（元）， ∴最省钱方案为租用1辆 A，8辆B，最少租车费为2120元． 29．2023年苏迪曼杯世界羽毛球混合团体锦标赛于5月14日至5月21日在苏州奥体中心举行．决赛中，中国队以战胜韩国队，完成三连冠壮举，历史上第13次登顶．5月15日该项赛事的小组赛票价如下： 2023年道达尔能源苏迪曼杯世界羽毛球混合团体锦标赛 2023 票价总览图 小组赛 日期 时间 ￥380 ￥180 ￥80 ￥480 ￥280 ￥180 (1)若购买场次的类门票和类门票共7张，总票价为1860元，、两类门票各买了多少张？ (2)已知购买场次的类门票和类门票各若干张，共花费1620元，有哪些购买方案？ 【答案】(1)类门票买了3张，类门票买了4张 (2)共有2种购买方案，方案1：购买类门票5张，类门票9张；方案2：购买类门票1张，类门票18张 【分析】本题考查一元一次方程的应用、二元一次方程的应用，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键． （1）设类门票买了张，则类门票买了张，根据题意列出方程，求出的值即可解答； （2）设购买类门票张，类门票张，根据题意列出方程，再结合都是正整数，即可求出的值，进而确定购买方案． 【详解】（1）解：设类门票买了张，则类门票买了张， 根据题意，得， 解得， 则， 答：类门票买了3张，类门票买了4张； （2）解：设购买类门票张，类门票张， 根据题意，得， 整理得， ∴， ∵， ∴， 解得， ∵都是正整数，， ∴是9的倍数， ∴或， 当时，； 当时，； ∴共有2种购买方案， 方案1：购买类门票5张，类门票9张； 方案2：购买类门票1张，类门票18张． 【题型7 二元一次方程组的应用-数字问题】 30．一个三位数比一个两位数的2倍少49，若把这个三位数放在两位数的左边得到一个五位数，又把这个三位数放在两位数右边得到一个新的五位数，且新五位数比前面的五位数的7倍大3876，求这个三位数和两位数． 【答案】这个三位数为101，两位数为75． 【分析】设两位数是a，三位数是b，找到两个关系式，列出方程组即可解答． 【详解】解：设这个两位数为a，三位数为b，由题意得， ， 解得：， 答：这个三位数为101，两位数为75． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，此题关键是掌握数的表示方法，把三位数放在两位数的左边，相当于把三位数扩大了100倍，把三位数放在两位数的右边，相当于把两位数扩大了1000倍． 31．有一个两位数，设它的十位数字为，个位数字为，已知十位数字与个位数字之和为8，把十位数字和个位数字互换位置后得到一个新的两位数，新的两位数比原来的两位数大18． (1)原来的两位数为________，新的两位数为_______．（用含有、的代数式表示） (2)根据题意，列出二元一次方程组为__________． (3)求原来的两位数． 【答案】(1)10x+y，10y+x (2) (3)35 【分析】（1）两位数的值=十位数字×10+个位数字； （2）根据题意的等量关系即可得出方程组； （3）解出（2）的方程组即可得出原来的两位数． 【详解】（1）解：原来的两位数为10x+y，新的两位数为10y+x； 故答案为： 10x+y，10y+x； （2）由题意可列出二元一次方程组为： ． 故答案为： （3）由（2）可得： 整理为： 解得： 故原两位数是35． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是会表示两位数的值：两位数的值=十位数字×10+个位数字． 32．一个两位数，个位上的数字与十位上的数字之和为9，把这个两位数的十位数字和个位数字对调后所得新两位数比原两位数大27，这个两位数是？ 【答案】 【分析】设个位数字为x，十位数字为y，根据等量关系：个位上的数字与十位上的数字之和为9；对调后所得新两位数比原两位数大27，列出方程组并解之即可求得两位数． 【详解】解：设个位数字为x，十位数字为y， 由题意得：， 解得：， 即这个两位数为， 答：这个两位数为． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意设未知数、找到等量关系并列出方程组是解题的关键． 33．小明和小华在一起玩数字游戏，他们每人取了一张数字卡片，拼成了一个两位数，小明说：“哇！这个两位数的十位数字与个位数字之和恰好是9．”他们又把这两张卡片对调，得到了一个新的两位数，小华说：“这个两位数恰好也比原来的两位数大9．” 那么，你能回答以下问题吗？ (1)他们取出的两张卡片上的数字分别是几？ (2)第一次，他们拼出的两位数是多少？ (3)第二次，他们拼成的两位数又是多少呢？请你好好动动脑筋哟！ 【答案】(1)他们取出的两张卡片上的数字分别是4、5 (2)第一次他们拼成的两位数为45 (3)第二次拼成的两位数是54 【详解】（1）解：设他们取出的两个数字分别为x、y． 第一次拼成的两位数为，第二次拼成的两位数为． 根据题意得： ， 由②，得：③， 得：． 把代入①得：， ∴他们取出的两张卡片上的数字分别是4、5． （2）解：根据（1）得：十位数字是4，个位数字是5， 所以第一次他们拼成的两位数为45． （3）解：根据（1）得，x，y的位置调换，所以十位数字是5，个位数字是， 所以第二次拼成的两位数是54． 【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，找出合适的等量关系是解题的关键． 34．有一个三位数，现将最左边的数字移到最右边，得到的数比原来的数小45，又已知百位数字的9倍比由十位数字和个位数字组成的两位数小3，求原来的三位数． 【答案】这个三位数为439． 【分析】设百位数字为x，由十位数字和个位数字组成的两位数为y,根据百位数字的9倍比由十位数字和个位数字组成的两位数小3，将最左边的数字移到最右边，得到的数比原来的数小45，列方程组求解． 【详解】解：设百位数字为x，由十位数字和个位数字组成的两位数为y， 由题意得，， 解得：， 则这个三位数为439． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组求解． 【题型8 二元一次方程组的应用-销售、利润问题】 35．春节期间，小李购进一批玩具进行销售，其中两种畅销玩具的进价分别为8元和12元，销售2件种玩具和3件种玩具可获利润78元．若种玩具降价4元，种玩具打8折销售，则销售3件种玩具与销售2件种玩具获得的利润相同，求两种玩具原来的售价分别为多少． 【答案】两种玩具原来的售价分别为每件元，元. 【分析】设两种玩具原来的售价分别为每件元，元，结合题意可得，进一步解方程组即可. 【详解】解：设两种玩具原来的售价分别为每件元，元，则 ， 整理得：， 解得：， 答：两种玩具原来的售价分别为每件元，元. 36．小李在某商场购买，两种商品若干次（每次，都买），其中前两次按标价购买，第三次购买时，，两种商品同时打折，三次购买，商品和费用如表所示： 购买商品的数量（件） 购买商品的数量（件） 购买总费用（元） 第一次 6 5 760 第二次 3 7 740 第三次 9 8 826 (1)求，两种商品的标价各多少元？ (2)若小李第三次购买时，，两种商品的折扣相同，则商场是打几折出售这两种商品？ 【答案】(1)A的标价60元，B的标价80元 (2)7折 【分析】（1）设A商品的标价是元，B商品的标价是元，利用总价单价数量，结合前两次购买的数量及总费用，列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设商场是打折出售这两种商品的，利用总价单价数量，列出一元一次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设A商品的标价是元，B商品的标价是元， 依题意得：， 解得：， 答：A商品的标价是60元，B商品的标价是80元； （2）解：设商场是打折出售这两种商品的， 依题意得：， 解得：， 答：商场是打7折出售这两种商品的． 37．为储备常用物资，某健身馆分三次采购运动毛巾和加厚款瑜伽垫，其中第二次采购时正赶上商场周年店庆，这两种商品同时按相同折扣促销，其余两次均按市场单价采购，三次采购的物品数量及总费用如下表． 采购批次 运动毛巾/条 瑜伽垫/个 总费用/元 第一次购物 5 6 400 第二次购物 7 6 396 第三次购物 4 3 230 (1)分别求出运动毛巾和加厚款瑜伽垫的市场单价； (2)求商场打折促销期间是打几折出售这两种商品的？ 【答案】(1)运动毛巾的市场单价为20元，加厚款瑜伽垫的市场单价为50元 (2)打9折 【分析】（1）设运动毛巾的市场单价为x元，加厚款瑜伽垫的市场单价为y元，列出方程组求出x和y的值； （2）设商场打折促销期间是打折出售这两种商品的，根据题意列出方程求解即可． 【详解】（1）解：设运动毛巾的市场单价为x元，加厚款瑜伽垫的市场单价为y元， 根据题意知第一、三次购物为原价，则， 解得：， 答：运动毛巾的市场单价为20元，加厚款瑜伽垫的市场单价为50元； （2）解：设商场打折促销期间是打折出售这两种商品的， 由题意得，， 解得：． 答：商场打折促销期间是打九折出售这两种商品的． 38．洛阳市某中学将于5月18日举办“校园科技嘉年华”活动，计划采购拼图、航模、笔记本三种礼品共120个作为奖品，且每种礼品均有购买，已知航模的单价比拼图贵6元，买6个航模和4盒拼图共需156元． (1)拼图和航模的单价分别是多少元？ (2)若某超市的笔记本有两种类型，学校只能从中选择一种，价格如表所示．现在该学校准备用2 000元去购买这三种礼品，且航模和笔记本的数量相同，选择哪种笔记本比较合适？请给出购买方案并说明理由； 笔记本类型 横线款 方格款 单价 18元 26元 (3)若要求购买笔记本的数量是航模数量的2倍，拼图和航模的单价不变，笔记本的单价为a元，在总数量不变的前提下，无论这三种礼品的数量如何分配，总费用始终不变，求此时a的值及总费用． 【答案】(1)拼图的单价为12元，航模的单价为18元 (2)方格款笔记本，购买航模28个，笔记本28个，拼图64盒，理由见解析 (3)此时，的值为，总费用为1440元． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，整式加减的应用，根据题意列出方程和整式是解题的关键． （1）设拼图的单价为x元，则航模的单价为元，根据买6个航模和4盒拼图共需156元列出方程求解即可； （2）设航模和笔记本的数量均为个，则拼图的数量为盒，然后根据该学校准备用2000元去购买这三种礼品列方程，解方程取符合题意的值即可； （3）设航模的数量为m个，笔记本的数量为个，则拼图的数量为盒，表示出总费用，根据总费用始终不变，求出a和总费用即可． 【详解】（1）解：设拼图的单价为x元，则航模的单价为元． 由题意得， 解得， ， 答：拼图的单价为12元，航模的单价为18元． （2）解：设航模和笔记本的数量均为个，则拼图的数量为盒． ①若选择横线款笔记本，由题意得， 解得， 的值不是整数，不符合要求； ②若选择方格款笔记本，由题意得， 解得， ， ∴购买航模28个，笔记本28个，拼图64盒． （3）解：设购买航模的数量为m个，购买笔记本的数量为个，则拼图的数量为盒， 总费用， 由题意，总费用与m无关， ， 则， 答：此时，的值为，总费用为1440元． 39．某专卖店用相同的价格，分两次购进了和两种型号的品牌电视机，两次购进情况如下表： 次 （台） （台） 总进价（元） 第1次 第2次 (1)求该专卖店购进的两种型号的品牌电视机，单价分别是多少？ (2)该专卖店在销售的时候，给这两种型号的品牌电视机标价为：为元/台，为元/台．当两种型号的电视机各销售一半的时候，专卖店打算搞促销活动，剩余的电视机打折：打9折，打8折，该专卖店共获利多少元？ 【答案】(1)该专卖店购进的两种型号的品牌电视机，A单价为元，B为元 (2)该专卖店共获利元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，有理数的混合运算的实际应用，解题的关键是找到等量关系． （1）设购进型号电视机单价为元，购进型号电视机的单价为元，根据题意列出二元一次方程组求解即可； （2）根据总利润等于A型号电视机利润加上B型号电视机利润求解即可． 【详解】（1）解：设购进型号电视机单价为元，购进型号电视机的单价为元 由题意得， 解得， 答：该专卖店购进的两种型号的品牌电视机，A单价为元，B为元； （2）A型号电视机利润为：（元）， B型号电视机利润为：（元）， 该专卖店共获利（元）． 答：该专卖店共获利元． 40．2025年11月9日，第十五届全国运动会正式在广州开幕。吉祥物“喜洋洋”和“乐融融”冰箱贴在市场热销，某商场现购进“喜洋洋”和“乐融融”冰箱贴一共1000个，其中一个“喜洋洋”进价12元，一个“乐融融”进价15元，总共花费13800元．在销售过程中“喜洋洋”、“乐融融”标价分别为20元/个、25元/个． (1)“喜洋洋”的单件利润为 元，“乐融融”的单件利润为 元； (2)求购进“喜洋洋”和“乐融融”各多少个？ (3)当“喜洋洋”、“乐融融”各卖出m个后，该商店进行促销，剩余的“喜洋洋”和“乐融融”均按八折出售，若购进的吉祥物冰箱贴全部销售后利润刚好是5500元，请直接写出m的值． 【答案】(1)8，10 (2)购进“喜洋洋”400个，购进“乐融融”600个 (3) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．解题的关键是由数量关系建立等式． （1）根据“利润标价－进价”进行计算即可； （2）设购进“喜洋洋”个，则购进“乐融融”个．根据一个“喜洋洋”进价12元，一个“乐融融”进价15元，总共花费13800元，可列方程求解即可； （3）按标价卖出的“喜洋洋”利润为元，按标价卖出的“乐融融”利润为元．“喜洋洋”打八折后的售价为元，单件利润为元，剩余个，这部分利润为元．“乐融融”打八折后的售价为元，单件利润为元，剩余个，这部分利润为元．列出方程求解． 【详解】（1）解：“喜洋洋”的单件利润为：（元）； “乐融融”的单件利润为：（元）． 故答案为：8，10； （2）解：设购进“喜洋洋”个，则购进“乐融融”个．可列方程：， 解得：． 则（个）． 答：购进“喜洋洋”400个，购进“乐融融”600个； （3）解：由题意可列方程： 解得：． 41．随着交通安全意识的增强，甘州区居民开始积极购买头盔以保证骑行安全．某小商店购进A种头盔3个和B种头盔4个共需345元，A种头盔4个和B种头盔3个共需390元． (1)求A，B两种头盔的单价各是多少元； (2)若该商店计划正好用450元购进A，B两种头盔（A，B两种头盔均购买），求该商店共有几种购买方案？ (3)销售1个A种头盔可获利35元，销售1个B种头盔可获利15元，在（2）问的购买方案中，若将所购头盔全部售出，可获得的最大利润是多少元？ 【答案】(1)A种头盔的单价是75元，B种头盔的单价是30元 (2)2种 (3)220元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用. （1）设A种头盔的单价是x元，B种头盔的单价是y元，根据某小商店购进A种头盔3个和B种头盔4个共需345元，A种头盔4个和B种头盔3个共需390元；列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设购进A种头盔m个，B种头盔n个，根据该商店计划正好用450元购进A，B两种头盔两种头盔均购买，列出二元一次方程，求出正整数解， （3）求出两种情况的利润，比较即可． 【详解】（1）解：设A种头盔的单价是x元，B种头盔的单价是y元， 由题意得：， 解得：， 即A种头盔的单价是75元，B种头盔的单价是30元； （2）解：设购进A种头盔m个，B种头盔n个， 由题意得：， 整理得：， 、n均为正整数， 或， 该商店共有2种购买方案： ①购进A种头盔2个，B种头盔10个； ②购进A种头盔4个，B种头盔5个； （3）解：①购进A种头盔2个，B种头盔10个，利润为元； ②购进A种头盔4个，B种头盔5个，利润为元； ， 最大利润是220元． 【题型9二元一次方程组的应用-古代问题】 42．中国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一题：“马四匹、牛六头，共价四十八两（我国古代货币单位）：马三匹、牛五头，共价三十八两、问马、牛各价几何？”设马每匹x两，牛每头y两，根据题意可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解：设马每匹x两，牛每头y两，根据“马四匹、牛六头共价四十八两，马三匹、牛五头共价三十八两”为等量关系列方程组即可． 【详解】解：∵设马每匹x两，牛每头y两， ∴列出方程组为． 43．《九章算术》中有这样一个题：“今有醇酒一斗，直钱五十；行酒一斗，直钱一十．今将钱三十，得酒二斗．问醇、行酒各得几何？”其译文是：今有醇酒（优质酒）1斗，价值50钱；行酒（劣质酒）1斗，价值10钱．现有30钱，买得2斗酒．问醇酒、行酒各能买得多少？设买得醇酒斗，买得行酒斗，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设买得醇酒斗，买得行酒斗，根据“现有30钱，买得2斗酒” 列方程组即可． 【详解】解：设买得醇酒斗，买得行酒斗， ∵一共买得酒总共有2斗， ∴可得方程， ∵醇酒1斗价值50钱，行酒1斗价值10钱，一共花费30钱， ∴可得总花费方程， ∴可列方程组． 44．《九章算术》是中国古代第一部数学专著，书中有这样一题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出8元，多3元；每人出7元，少4元，问有多少人？该物品价格是多少？设共有x个人，该物品价格是y元，则下列方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据“人数物品价值、物品价值人数”可得方程组． 【详解】解：设共有个人，该物品价格是元，根据题意得： ． 45．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书大约在一千五百年前，其中一道题，原文是：“今三人共车，两车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？”意思是：现有若干人和车，若每辆车乘坐人，则空余两辆车；若车乘坐人，则有人步行，问人与车各多少？设有人，辆车，可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据“每辆车乘坐3人，则空余两辆车；若每辆车乘坐2人，则有9人步行”，即可得出关于的二元一次方程组，即可得到答案． 【详解】解：设有人，辆车， ∵ 每辆车乘坐人时，空余辆车，实际使用的车辆数为总车数减去空车数量，也等于总人数除以每车乘坐人数， ∴ ， 又∵ 每辆车乘坐人时，有人步行，实际坐车人数为总人数减去步行的人，总车辆数等于坐车人数除以每车乘坐人数， ∴ ， ∴可得方程组为． 46．《九章算术》中有一道题目，其译文如下：若两人坐一辆车，则九人需要步行；若三人坐一辆车，则有两辆空车．问人与车各多少？下列说法正确的是（   ） A．设有x辆车，则可列方程为 B．设有y人，则可列方程为 C．设有x辆车，有y人，则可列方程组为 D．设有x辆车，有y人，则可列方程组为 【答案】C 【分析】根据两种乘车情况，梳理总人数与车辆数的等量关系，即可判断各选项对错. 【详解】解：设有辆车，人， ∵两人坐一辆车，九人步行，总人数为坐车人数加步行人数， ∴， ∵三人坐一辆车，空出辆车，实际用车为辆，总人数等于实际用车承载的人数， ∴， 因此可列方程组为． 【题型10 二元一次方程组的应用-其他问题】 47．年湘超联赛火爆三湘大地，永州队带着“永冲锋”的倔强精神，以史诗般的征程“一路突围”，最终力克常德队，将湘超首座冠军奖杯高高捧起．在常规赛中，湖南个市州进行单循环积分赛（每两队之间只比赛一场），比赛规则如下：胜一场记3分，平一场记1分，负一场记0分．月日常规赛结束，部分球队的积分如下表： 队伍 场次 胜 平 负 积分 长沙队 2 0 永州队 3 岳阳队 4 (1)请问在这一次湘超常规赛中一共比了多少场比赛？ (2)求永州队一共胜了多少场？ (3)岳阳的小王由于学习原因，没有了解最新的比赛信息，只知道负4场，他猜测岳阳队的总积分为分，你认为可能吗？为什么？ 【答案】(1) (2)6 (3)不可能，理由见解析 【分析】（1）湖南个市州进行单循环积分赛（每两队之间只比赛一场），每个球队比赛场，故共场，但是每次比赛数2遍，所以总场数为场； （2）设永州队胜场，平场，根据永州队比赛了场，得分分，列方程组求解即可； （3）设岳阳队胜场，平场，根据岳阳队比赛了场，得分分，列方程组求解得不是整数，故可求解题目． 【详解】（1）解：湖南个市州进行单循环积分赛（每两队之间只比赛一场）， 共比赛：（场）， 答：这一次湘超常规赛中一共比了场比赛； （2）解：设永州队胜场，平场，根据题意得： 解得， 答：永州队一共胜了6场； （3）解：设岳阳队胜场，平场，根据题意得： 解得， ∵不是整数， 故不可能． 48．综合与实践 【背景】家住吉林省蛟河市的小颖想给亲朋好友寄送蛟河特产． 【素材】 素材1：她了解到某快递公司的收费标准（单位：元/千克）如表1； 计费单位 收费标准 吉林省内 江浙沪地区 首重 a 续重 b （表1） 素材2：她查看到该快递公司寄出的2份电子存单如表2； 电子存单1 电子存单2 托寄物：蛟河特产 目的地：长春 计量重量：2千克 件数：1 总费用：12元 托寄物：蛟河特产 目的地：上海 计量重量：5千克 件数：1 总费用：36元 （表2） 素材3：收费说明 ①每件快递按送达地分别计算运费； ②运费计算方式：首重价格＋续重×续重运费．首重均为1千克，超过1千克即要续重，续重以1千克为计重单位（不足1千克按1千克计算）． 【问题解决】 (1)求a，b的值； (2)小颖给珲春（吉林省内）的朋友寄出了3.6千克的蛟河特产，她需要支付多少元快递费？ (3)小颖给杭州（江浙沪地区）的外婆寄特产花了72元快递费，求这份特产重量的取值范围． 【答案】(1) (2)16元 (3)大于10千克且小于等于11千克 【分析】本题主要考查了二元一次方程组以及一元一次方程的应用． （1）根据题意列出关于a，b的二元一次方程组，进行求解即可． （2）根据吉林省内收费标准计算即可． （3）设这份特产按千克计费，根据江浙沪地区收费标准列出关于x的一元一次方程，解方程，再结合不足1千克按1千克计算即可得出这份特产重量的取值范围． 【详解】（1）解：由题意可知： 解得． （2）∵不足1千克按1千克计算，故千克按4千克计算， 即（元）． 故她需要支付快递费16元． （3）解：设这份特产按千克计费， 则 解得． 所以这份特产的重量大于10千克，小于等于11千克． 49．为了鼓励市民节约用电，某市居民生活用电按阶梯式电价计费．下表是该市居民“一户一表”生活用电阶梯式计费价格表的一部分信息： 生活用电销售价格 每户每月用电量 单价：元/度 180度及以下 a 超过180度不超过350度的部分 b 超过350度的部分 0.87 已知小王家2012年6月份用电160度，交电费91.20元；7月份用电300度，交电费177.00元． (1)求a，b的值； (2)因8月份高温天气持续较长，小王家8月份电费达到234.10元，则小王家8月份用电多少度？ 【答案】(1)； (2)380度 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用；一元一次方程的应用． （1）根据题意结合表格中数据得出，即可求出； （2）首先求出当月用电量为350度时的电费，进而表示出8月份的电费，求出即可． 【详解】（1）解：， 解得； （2）解：当月用电量为350度时，电费为：， 故小王家用电量超过350度． 设小王家8月份用电x度，则得到， 解得（度）， 答：小王家8月份用电量为380度． 50．信阳毛尖是中国十大名茶之一，也是河南省著名特产之一，属于绿茶类．从外形上看叶片匀整．若茶叶按叶片大小分大叶种、中叶种和小叶种三类，已知种植公顷大叶种茶树和公顷小叶种茶树一年共可收获茶叶，种植公顷大叶种茶树和公顷小叶种茶树一年共可收获茶叶 (1)种植公顷大叶种茶树和种植公项小叶种茶树，一年分别可以收获多少吨茶叶？ (2)某茶园现大量种植这两种叶形的茶树，年计划收获茶叶，其中大叶种茶树种植面积为公顷，小叶种茶树种植面积为公项，且，都为正整数． ①求，的可能值； ②若每公顷大叶种茶树需耗费的材料成本为万元，每公顷小叶种茶树需耗费的材料成本为万元，请求出成本最少的材料费用 【答案】(1)种植1公顷大叶种茶树一年可以收获吨茶叶，种植公顷小叶种茶树一年可以收获吨茶叶 (2)①或或；②成本最少的材料费用为万元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、二元一次方程的应用以及有理数的混合运算，找准等量关系，正确列出二元一次方程组（二元一次方程）是解题的关键． （1）设种植1公顷大叶种茶树一年可以收获吨茶叶，种植公顷小叶种茶树一年可以收获吨茶叶，根据“种植公顷大叶种茶树和公顷小叶种茶树一年共可收获茶叶，种植公顷大叶种茶树和公顷小叶种茶树一年共可收获茶叶”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）①根据该茶园种植这两种叶形的茶树年计划收获茶叶，可列出关于，的二元一次方程，结合，均为正整数，即可得出，的可能值； ②分别求出各种植方案种植这两种叶形的茶树需耗费的材料成本，比较后，即可得出结论． 【详解】（1）解：设种植公顷大叶种茶树一年可以收获吨茶叶，种植公顷小叶种茶树一年可以收获吨茶叶， 根据题意得：， 解得：． 答：种植公顷大叶种茶树一年可以收获吨茶叶，种植公顷小叶种茶树一年可以收获吨茶叶； （2）①根据题意得：， ∴， 又，均为正整数， 或或； ②当时，种植这两种叶形的茶树需耗费的材料成本为（万元）； 当时，种植这两种叶形的茶树需耗费的材料成本为（万元）； 当时，种植这两种叶形的茶树需耗费的材料成本为（万元）， ， 成本最少的材料费用为万元． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 二元一次方程组应用的重难点题型汇编 （十大题型） 【题型1 二元一次方程组的应用-分配问题】..............................1 【题型2 二元一次方程组的应用-图表信息题】............................2 【题型3 二元一次方程组的应用-行程问题】..............................5 【题型4 二元一次方程组的应用-工程问题】..............................6 【题型5 二元一次方程组的应用-几何问题】..............................7 【题型6 二元一次方程组的应用-方案问题】..............................9 【题型7 二元一次方程组的应用-数字问题】.............................12 【题型8 二元一次方程组的应用-销售、利润问题】.......................13 【题型9二元一次方程组的应用-古代问题】.............................16 【题型10 二元一次方程组的应用-其他问题】............................17 【题型1 二元一次方程组的应用-分配问题】 1．张老师和王老师带44名学生去公园划船，共租了12条船正好坐满．每条大船坐5人，每条小船坐3人．他们租了几条大船？坐小船的有多少人？ 2．为培养同学们爱国主义精神，某学校七年级美术社团的同学们要完成为参加清明节缅怀革命先烈的扫墓活动的本年级同学制作小白花，若每人做5朵，则可比计划多9朵；若每人做4朵，则将比计划少做15朵，求本次计划共制作多少朵小白花？七年级美术社团有多少名同学？ 3．如图，制作甲、乙两种无盖的长方体纸盒，需用正方形和长方形两种硬纸板，且长方形的宽与正方形的边长相等．现有150张正方形硬纸片和300张长方形硬纸片，可制作甲、乙两种纸盒各多少个？ 4．列方程或方程组解应用题 福林制衣厂现有24名制作服装的工人，每天都制作某种品牌的衬衫和裤子，每人每天可制作这种衬衫3件或裤子5条．已知制作一件衬衫可获得利润30元，制作一条裤子可获得利润16元，若该厂要求每天获得利润2100元，则需要安排多少名工人制作衬衫？多少名工人制作裤子？ 5．某工厂生产如图1所示的长方形和正方形纸板，做成如图2所示的竖式与横式两种长方体形状的无盖纸盒，其中竖式纸盒由4个长方形和1个正方形纸板做成，横式纸盒由3个长方形和2个正方形纸板做成（给定的长方形和正方形纸板都不用裁剪，也不考虑接缝）． (1)现有长方形纸板340张，正方形纸板160张，做成上述两种纸盒，纸板恰好用完，求两种纸盒生产个数． (2)纸板车间共有78名工人，每个工人一天能生产70张长方形纸板或者100张正方形纸板，已知一个竖式纸盒与一个横式纸盒配套，要求纸板车间一天生产的纸板由其它车间做成竖式纸盒与横式纸盒配套，问纸板车间应该如何安排工人生产两种纸板？ 【题型2 二元一次方程组的应用-图表信息题】 6．某山区有23名中、小学生因贫困失学需要捐助，资助一名中学生的学习费用需要a元，一名小学生的学习费用需要b元，某校学生积极捐款，七、八、九三个年级学生捐款数额与受其捐助贫困中学生和小学生人数的情况如下表：   年级 捐款数额（元） 捐助贫困中学生人数（名） 捐助贫困小学生人数（名） 七年级 4000 2 4 八年级 4200 3 3 九年级 7200 (1)求a、b的值； (2)九年级学生的捐款解决了其余贫困中、小学生学习的费用，请求出九年级学生可捐助的贫困中、小学生人数各是多少？ 7．[阅读] 将九个数分别填在（3行3列）的方格中，如果满足每个横行，每个竖列和每条对角线上的三个数之和都等于m，则将这样的图称为“和m幻方”也称幻方，m为幻方值下面的图1是满足条件的“和15幻方”    [探究] (1)若图2为“和m幻方”，则． (2)小明发现了幻方中的其它等量关系，例如图1中有：；；；……你能运用这个规律解决以下问题吗？ 问题解决：图3为幻方，，且，求出图3的幻方值． 8．中药是我国的传统医药，其独特的疗效体现了我们祖先的智慧，并且在抗击新冠疫情中，中医药发挥了重要的作用．现某中药材种植基地欲将一批吨的重要中药材运往某药品生产厂，现有甲、乙、丙三种车型供运输选择，每辆车的运载能力（假设每辆车均满载）和运费如下表所示： 车型 甲 乙 丙 运载量（吨/辆） 6 10 12 运费（元/辆） 540 700 720 (1)若全部中药材仅用乙、丙两种车型一次性运完，需支付运费元，问乙、丙两种车型各需多少辆？ (2)若该基地打算用甲、乙、丙三种车型共辆同时参与运送，每辆车均满载且一次性运完所有中药材，你能分别求出参与运送的三种车型的辆数吗？（甲、乙、丙三种车型均要参与运送） 9．课余活动中，小杰、小明和小丽一起玩飞镖游戏，飞镖盘上A区域所得分值和B区域所得分值不同，每人投5次飞镖，其落点如图所示，已知小杰和小明的5次飞镖总分分别为39分和43分，求小丽的5次飞镖总分．    10．如图，长青化工厂与，两地有公路，铁路相连．这家工厂从地购买一批每吨2000元的原料运回工厂，制成每吨5000元的产品运到地，已知公路运价为2元/（吨·千米），铁路运价为1.5元/（吨·千米），且这两次运输共支出公路运输费14000元，铁路运输费87000元．求： (1)该工厂从地购买了多少吨原料？制成运往地的产品多少吨？ (2)不计其他因素，这批产品的利润为多少元（利润＝销售款－原料费－运输费）？ 【题型3 二元一次方程组的应用-行程问题】 11．小红和小丽在的环形跑道上跑步，他们于同一个起点同时出发．如果同向跑，那么经过200s两人第一次相遇；如果反向跑，那么经过40s两人第一次相遇．若小红比小丽跑得快，则小红、小丽跑步的平均速度分别是多少？ 12．小明家离学校1880米，其中有一段为上坡路，另一段为下坡路．他跑步去学校共用了16分钟，已知小明在上坡路上的平均速度为4.8千米时，而他在下坡路上的平均速度为12千米时，那么小明在上坡路上用了多少分钟？（温馨提示：计算时请注意单位） 13．已知A、B两码头之间的距离为，一艘船航行于A、B两码头之间，顺流航行需3小时；逆流航行时需6小时，求船在静水中的速度及水流的速度？ 14．学校和博物馆相距20千米，小明与小强分别从学校和博物馆出发，相向而行．如果小明比小强早出发30分钟，那么在小强出发后2小时，他们相遇；如果他们同时出发，那么1小时后两人还相距11千米．求小明、小强每小时各走多少千米． 15．小魏和小梁从A、B两地同时出发，小魏骑自行车，小梁步行，沿同条路线相向匀速而行，出发两人相遇，相遇时小魏比小梁多行，相遇后1h小魏到达B地． (1)求两人的速度分别是多少？ (2)求A、B两地的距离是多少？ 【题型4 二元一次方程组的应用-工程问题】 16．某科研团队计划开展两个研究项目．已知原计划A，B两个项目的总实验周期数为90个．在实际开展过程中，项目A的实验周期数超过原计划的10%，项目B的实验周期数只达到计划的90%，但总实验周期数保持不变．求原计划项目A，B的实验周期数． 17．阅读理解： 为打造黄河沿岸的风景带，有一段长为360米的河道整治任务由两个工程队先后接力完成，A工程队每天整治24米，B工程队每天整治16米，共用20天． (1)根据题意，甲乙两个同学分别列出了尚不完整的方程组如下： 甲： 乙： 根据甲、乙两名同学所列的方程组，请你分别指出未知数表示的意义，并且补全甲、乙两名同学所列的方程组：甲：x表示_______，y表示：_______； 乙：x表示_______，y表示_______； (2)求出乙方程组的解，并回答两工程队分别整治河道多少米？ 18．南淝河，古称施水，长江流域巢湖的支流，是合肥的母亲河．为了确保河道畅通，现需要对一段河道进行清淤处理，清淤任务由两栖反铲式清淤机和小型链斗式清淤船进行．右表是工程队给出的两个工程预备方案，环保部门要求6天内必须完成任务．如果工程部门提供2台清淤机和2台清淤船，共同完成此项任务，那么能否按要求完成任务？ 清淤机 清淤船 时间 方案一 1台 2台 8天 方案二 2台 1台 7天 19．某学校组织甲乙两班学生参加“美化校园”的义务劳动．如果甲班做2小时，乙班再做3小时，则恰好完成全部工作的一半；如果甲班做3小时，乙班再做6小时，恰好完成全部工作的．试问单独完成这项工作，甲乙两班各需多少时间? 【题型5 二元一次方程组的应用-几何问题】 20．如图，用8块相同的小长方形地砖拼成一个大长方形，已知大的长方形的周长为，求小长方形的长和宽？ 21．如图，在长方形中放置9个形状、大小都相同的小长方形（尺寸如图） (1)求图中9个形状、大小都相同的小长方形的长与宽； (2)求图中阴影部分的面积． 22．某学校开展“浸书香校园，品诗词之美”读书活动．现有两种诗词书籍整齐地叠放在桌子上，每本书籍和每本书籍厚度的比为，根据图中所给出的数据信息，求每本书籍的厚度和桌子的高度． 23．现有8个大小相同的长方形，可拼成如图1、2所示的图形，在拼图2时，中间留下了一个边长为2的小正方形，求每个小长方形的面积． 小明设小长方形的长为x，宽为y，观察图形得出关于x、y的二元一次方程组，解出x、y的值，再根据长方形的面积公式得出每个小长方形的面积． (1)请按照小明的思路完成上述问题：求每个小长方形的面积； (2)某周末上午，小明在超市帮妈妈买回一袋纸杯，他把纸杯整齐地叠放在一起，如图3所示．若小明把13个纸杯整齐叠放在一起时，它的高度约是多少厘米？ 24．某厂要制作一些玻璃窗，如图，一扇窗户由甲、乙、丙型玻璃片组成，厂家购置了一批相同的长方形大玻璃（如长方形），并按如图所示的两种方案进行无废料切割，同种型号玻璃片大小、形状都一样． (1)若大玻璃的长为2米，则乙玻璃的边______米，________米． (2)若厂家已有足够多的甲玻璃片，再购入26块大玻璃片，并按以上两种方案进行切割成乙、丙两种玻璃片．设其中有x块大玻璃片按方案一切割，y块按方案二进行切割．若所购大玻璃片无剩余，且恰好可以与甲玻璃搭成若干扇窗户，请求出x与y的值． 【题型6 二元一次方程组的应用-方案问题】 25．为推进校园智慧体育建设，某校计划采购体育测训一体机（A型机）和智能划船机（B型机），相关数据如下：采购2台A型机和4台B型机，总费用为6万元；采购3台A型机和1台B型机，总费用为万元． (1)求每台A型机和每台B型机的价格分别是多少万元？ (2)学校计划用7万元采购A型机和B型机（两种设备均需采购），若采购资金全部用完，学校共有多少种符合条件的采购方案？并列出所有方案． 26．新房装修后，甲居民购买家居用品的清单如下表，因污损导致部分信息无法识别，根据下表解决问题： 家居用品名称 单价/元 数量/个 金额/元 挂钟 30 2 60 垃圾桶 15 塑料鞋架 40 艺术饰品 2 120 电热水壶 35 1 合计 8 310 (1)________，________； (2)甲居民购买了垃圾桶、塑料鞋架各几个？ (3)若甲居民再次购买艺术饰品和垃圾桶两种家居用品，共花费150元，则有哪几种不同的购买方案？ 27．一方有难，八方支援．某市发生地震，某公司用甲、乙两种货车向该市运送爱心物资，两次满载的运输情况如表： 运输次数 甲种货车/辆 乙种货车/辆 总量/吨 第一次 4 5 31 第二次 3 6 30 (1)甲、乙两种货车每辆分别能装货多少吨？ (2)现有45吨物资需要再次运往该市，准备同时租用这两种货车，每辆均全部装满货物，问有哪几种租车方案？ 28．已知：用2辆A型车和3辆B型车载满货物一次可运货18吨；用5辆A型车和4辆B型车载满货物一次可运货31 吨，某物流公司现有35 吨货物，计划同时租用A型车 a辆，B型车b 辆，一次运完，且恰好每辆车都载满货物． 根据以上信息，解答下列问题： (1)1辆A型车和1辆B型车都载满货物一次可分别运货多少吨？ (2)请你帮该物流公司设计租车方案； (3)若A型车每辆需租金200元/次，B型车每辆需租金240元/次，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费． 29．2023年苏迪曼杯世界羽毛球混合团体锦标赛于5月14日至5月21日在苏州奥体中心举行．决赛中，中国队以战胜韩国队，完成三连冠壮举，历史上第13次登顶．5月15日该项赛事的小组赛票价如下： 2023年道达尔能源苏迪曼杯世界羽毛球混合团体锦标赛 2023 票价总览图 小组赛 日期 时间 ￥380 ￥180 ￥80 ￥480 ￥280 ￥180 (1)若购买场次的类门票和类门票共7张，总票价为1860元，、两类门票各买了多少张？ (2)已知购买场次的类门票和类门票各若干张，共花费1620元，有哪些购买方案？ 【题型7 二元一次方程组的应用-数字问题】 30．一个三位数比一个两位数的2倍少49，若把这个三位数放在两位数的左边得到一个五位数，又把这个三位数放在两位数右边得到一个新的五位数，且新五位数比前面的五位数的7倍大3876，求这个三位数和两位数． 31．有一个两位数，设它的十位数字为，个位数字为，已知十位数字与个位数字之和为8，把十位数字和个位数字互换位置后得到一个新的两位数，新的两位数比原来的两位数大18． (1)原来的两位数为________，新的两位数为_______．（用含有、的代数式表示） (2)根据题意，列出二元一次方程组为__________． (3)求原来的两位数． 32．一个两位数，个位上的数字与十位上的数字之和为9，把这个两位数的十位数字和个位数字对调后所得新两位数比原两位数大27，这个两位数是？ 33．小明和小华在一起玩数字游戏，他们每人取了一张数字卡片，拼成了一个两位数，小明说：“哇！这个两位数的十位数字与个位数字之和恰好是9．”他们又把这两张卡片对调，得到了一个新的两位数，小华说：“这个两位数恰好也比原来的两位数大9．” 那么，你能回答以下问题吗？ (1)他们取出的两张卡片上的数字分别是几？ (2)第一次，他们拼出的两位数是多少？ (3)第二次，他们拼成的两位数又是多少呢？请你好好动动脑筋哟！ 34．有一个三位数，现将最左边的数字移到最右边，得到的数比原来的数小45，又已知百位数字的9倍比由十位数字和个位数字组成的两位数小3，求原来的三位数． 【题型8 二元一次方程组的应用-销售、利润问题】 35．春节期间，小李购进一批玩具进行销售，其中两种畅销玩具的进价分别为8元和12元，销售2件种玩具和3件种玩具可获利润78元．若种玩具降价4元，种玩具打8折销售，则销售3件种玩具与销售2件种玩具获得的利润相同，求两种玩具原来的售价分别为多少． 36．小李在某商场购买，两种商品若干次（每次，都买），其中前两次按标价购买，第三次购买时，，两种商品同时打折，三次购买，商品和费用如表所示： 购买商品的数量（件） 购买商品的数量（件） 购买总费用（元） 第一次 6 5 760 第二次 3 7 740 第三次 9 8 826 (1)求，两种商品的标价各多少元？ (2)若小李第三次购买时，，两种商品的折扣相同，则商场是打几折出售这两种商品？ 37．为储备常用物资，某健身馆分三次采购运动毛巾和加厚款瑜伽垫，其中第二次采购时正赶上商场周年店庆，这两种商品同时按相同折扣促销，其余两次均按市场单价采购，三次采购的物品数量及总费用如下表． 采购批次 运动毛巾/条 瑜伽垫/个 总费用/元 第一次购物 5 6 400 第二次购物 7 6 396 第三次购物 4 3 230 (1)分别求出运动毛巾和加厚款瑜伽垫的市场单价； (2)求商场打折促销期间是打几折出售这两种商品的？ 38．洛阳市某中学将于5月18日举办“校园科技嘉年华”活动，计划采购拼图、航模、笔记本三种礼品共120个作为奖品，且每种礼品均有购买，已知航模的单价比拼图贵6元，买6个航模和4盒拼图共需156元． (1)拼图和航模的单价分别是多少元？ (2)若某超市的笔记本有两种类型，学校只能从中选择一种，价格如表所示．现在该学校准备用2 000元去购买这三种礼品，且航模和笔记本的数量相同，选择哪种笔记本比较合适？请给出购买方案并说明理由； 笔记本类型 横线款 方格款 单价 18元 26元 (3)若要求购买笔记本的数量是航模数量的2倍，拼图和航模的单价不变，笔记本的单价为a元，在总数量不变的前提下，无论这三种礼品的数量如何分配，总费用始终不变，求此时a的值及总费用． 39．某专卖店用相同的价格，分两次购进了和两种型号的品牌电视机，两次购进情况如下表： 次 （台） （台） 总进价（元） 第1次 第2次 (1)求该专卖店购进的两种型号的品牌电视机，单价分别是多少？ (2)该专卖店在销售的时候，给这两种型号的品牌电视机标价为：为元/台，为元/台．当两种型号的电视机各销售一半的时候，专卖店打算搞促销活动，剩余的电视机打折：打9折，打8折，该专卖店共获利多少元？ 40．2025年11月9日，第十五届全国运动会正式在广州开幕。吉祥物“喜洋洋”和“乐融融”冰箱贴在市场热销，某商场现购进“喜洋洋”和“乐融融”冰箱贴一共1000个，其中一个“喜洋洋”进价12元，一个“乐融融”进价15元，总共花费13800元．在销售过程中“喜洋洋”、“乐融融”标价分别为20元/个、25元/个． (1)“喜洋洋”的单件利润为 元，“乐融融”的单件利润为 元； (2)求购进“喜洋洋”和“乐融融”各多少个？ (3)当“喜洋洋”、“乐融融”各卖出m个后，该商店进行促销，剩余的“喜洋洋”和“乐融融”均按八折出售，若购进的吉祥物冰箱贴全部销售后利润刚好是5500元，请直接写出m的值． 41．随着交通安全意识的增强，甘州区居民开始积极购买头盔以保证骑行安全．某小商店购进A种头盔3个和B种头盔4个共需345元，A种头盔4个和B种头盔3个共需390元． (1)求A，B两种头盔的单价各是多少元； (2)若该商店计划正好用450元购进A，B两种头盔（A，B两种头盔均购买），求该商店共有几种购买方案？ (3)销售1个A种头盔可获利35元，销售1个B种头盔可获利15元，在（2）问的购买方案中，若将所购头盔全部售出，可获得的最大利润是多少元？ 【题型9二元一次方程组的应用-古代问题】 42．中国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一题：“马四匹、牛六头，共价四十八两（我国古代货币单位）：马三匹、牛五头，共价三十八两、问马、牛各价几何？”设马每匹x两，牛每头y两，根据题意可列方程组为（   ） A． B． C． D． 43．《九章算术》中有这样一个题：“今有醇酒一斗，直钱五十；行酒一斗，直钱一十．今将钱三十，得酒二斗．问醇、行酒各得几何？”其译文是：今有醇酒（优质酒）1斗，价值50钱；行酒（劣质酒）1斗，价值10钱．现有30钱，买得2斗酒．问醇酒、行酒各能买得多少？设买得醇酒斗，买得行酒斗，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 44．《九章算术》是中国古代第一部数学专著，书中有这样一题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出8元，多3元；每人出7元，少4元，问有多少人？该物品价格是多少？设共有x个人，该物品价格是y元，则下列方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 45．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书大约在一千五百年前，其中一道题，原文是：“今三人共车，两车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？”意思是：现有若干人和车，若每辆车乘坐人，则空余两辆车；若车乘坐人，则有人步行，问人与车各多少？设有人，辆车，可列方程组为（   ） A． B． C． D． 46．《九章算术》中有一道题目，其译文如下：若两人坐一辆车，则九人需要步行；若三人坐一辆车，则有两辆空车．问人与车各多少？下列说法正确的是（   ） A．设有x辆车，则可列方程为 B．设有y人，则可列方程为 C．设有x辆车，有y人，则可列方程组为 D．设有x辆车，有y人，则可列方程组为 【题型10 二元一次方程组的应用-其他问题】 47．年湘超联赛火爆三湘大地，永州队带着“永冲锋”的倔强精神，以史诗般的征程“一路突围”，最终力克常德队，将湘超首座冠军奖杯高高捧起．在常规赛中，湖南个市州进行单循环积分赛（每两队之间只比赛一场），比赛规则如下：胜一场记3分，平一场记1分，负一场记0分．月日常规赛结束，部分球队的积分如下表： 队伍 场次 胜 平 负 积分 长沙队 2 0 永州队 3 岳阳队 4 (1)请问在这一次湘超常规赛中一共比了多少场比赛？ (2)求永州队一共胜了多少场？ (3)岳阳的小王由于学习原因，没有了解最新的比赛信息，只知道负4场，他猜测岳阳队的总积分为分，你认为可能吗？为什么？ 48．综合与实践 【背景】家住吉林省蛟河市的小颖想给亲朋好友寄送蛟河特产． 【素材】 素材1：她了解到某快递公司的收费标准（单位：元/千克）如表1； 计费单位 收费标准 吉林省内 江浙沪地区 首重 a 续重 b （表1） 素材2：她查看到该快递公司寄出的2份电子存单如表2； 电子存单1 电子存单2 托寄物：蛟河特产 目的地：长春 计量重量：2千克 件数：1 总费用：12元 托寄物：蛟河特产 目的地：上海 计量重量：5千克 件数：1 总费用：36元 （表2） 素材3：收费说明 ①每件快递按送达地分别计算运费； ②运费计算方式：首重价格＋续重×续重运费．首重均为1千克，超过1千克即要续重，续重以1千克为计重单位（不足1千克按1千克计算）． 【问题解决】 (1)求a，b的值； (2)小颖给珲春（吉林省内）的朋友寄出了3.6千克的蛟河特产，她需要支付多少元快递费？ (3)小颖给杭州（江浙沪地区）的外婆寄特产花了72元快递费，求这份特产重量的取值范围． 49．为了鼓励市民节约用电，某市居民生活用电按阶梯式电价计费．下表是该市居民“一户一表”生活用电阶梯式计费价格表的一部分信息： 生活用电销售价格 每户每月用电量 单价：元/度 180度及以下 a 超过180度不超过350度的部分 b 超过350度的部分 0.87 已知小王家2012年6月份用电160度，交电费91.20元；7月份用电300度，交电费177.00元． (1)求a，b的值； (2)因8月份高温天气持续较长，小王家8月份电费达到234.10元，则小王家8月份用电多少度？ 50．信阳毛尖是中国十大名茶之一，也是河南省著名特产之一，属于绿茶类．从外形上看叶片匀整．若茶叶按叶片大小分大叶种、中叶种和小叶种三类，已知种植公顷大叶种茶树和公顷小叶种茶树一年共可收获茶叶，种植公顷大叶种茶树和公顷小叶种茶树一年共可收获茶叶 (1)种植公顷大叶种茶树和种植公项小叶种茶树，一年分别可以收获多少吨茶叶？ (2)某茶园现大量种植这两种叶形的茶树，年计划收获茶叶，其中大叶种茶树种植面积为公顷，小叶种茶树种植面积为公项，且，都为正整数． ①求，的可能值； ②若每公顷大叶种茶树需耗费的材料成本为万元，每公顷小叶种茶树需耗费的材料成本为万元，请求出成本最少的材料费用 1 学科网（北京）股份有限公司 $