精品解析：广西南宁市直属学校四大学区2022年4月九年级一模数学试题

2022年九年级第一次学业水平测试数学 （考试时间：120分钟 满分：120分） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．请在答题卡上作答，在本试卷上作答无效． 2.答题前，请认真阅读答题卡上的注意事项． 3.不能使用计算器.考试结束时，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑） 1. 有理数，，，6中，最大的数是（　　） A. B. C. D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】根据正数大于0，负数小于0比较有理数的大小即可得到最大的数． 【详解】解：∵， ∴最大的数是6． 故选：D． 【点睛】本题考查了有理数的大小比较，掌握正数大于0，负数小于0是解题的关键． 2. 如图，在下列四个几何体中，其主视图是矩形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据主视图是从物体正面看，所得到的图形，分别得出四个几何体的主视图，即可解答． 【详解】解：A.主视图是三角形，故本选项不合题意； B.主视图是矩形，故本选项符合题意； C.主视图是三角形，故本选项不合题意； D.主视图是圆，故本选项不合题意． 故选：B 【点睛】本题考查了简单几何体的三视图，熟练掌握常见立体图形的三视图是解本题的关键． 3. 据统计，第22届冬季奥运会的电视转播时间长达小时，其中数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用科学记数法的定义解决．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．此题考查科学记数法的定义，关键是理解运用科学记数法． 【详解】解：． 故选：A． 4. 点关于x轴对称的点的坐标是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】关于x轴对称的两个点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，据此即可判断． 【详解】解：点关于x轴对称的点的坐标是， 故选：A 【点睛】此题考查关于坐标轴对称的点的特征，熟练掌握关于x轴对称的点的坐标特征是解题的关键． 5. 下列事件中属于必然事件的是（ ） A. 打开电视机，正在播放“天宫课堂” B. 对从疫情高风险区归来的人员进行核酸检测，检测结果为阳性 C. 任意画一个三角形，其内角和是 D. 掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上 【答案】C 【解析】 【分析】必然事件是一定条件下，一定会发生的事件，据此进行判断即可. 【详解】解：A、打开电视机，正在播放“天宫课堂”，可能发生也可能不发生，是随机事件； B、对从疫情高风险区归来的人员进行核酸检测，检测结果为阳性，可能发生也可能不发生，是随机事件； C、任意画一个三角形，其内角和是，是必然事件； D、掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上，可能发生也可能不发生，是随机事件. 6. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据积的乘方、幂的乘方、同类项定义、完全平方公式、整式的除法的运算法则计算即可． 【详解】解：A、，故此选项正确； B、和不属于同类项，不能相加，故此选项错误； C、，故此选项错误； D、，故此选项错误； 故选：A． 【点睛】本题主要考查积的乘方、幂的乘方、同类项定义、完全平方公式、整式的除法的运算法则等知识点，运用以上知识点正确计算每个选项的值是解题关键． 7. 如图，A，B，C三点在上，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，先作出弧所对的圆周角， 根据圆周角定理得出，然后根据圆内接四边形的性质即可求解，掌握圆内接四边形的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，为弧所对的圆周角， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 8. 如图是一张矩形纸板，顺次连接各边中点得到四边形．将一个飞镖随机投掷在矩形纸板上，则飞镖落在阴影区域的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了几何概率问题．设矩形中，，先求出，再由概率公式求解即可． 【详解】解：如图， 设矩形中，， ∵点分别是的中点， ∴； 同理可得：， ∴， ∴， 故选：A ． 9. 《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译为白话文是：把一份文件用慢马送到800里外的城市，需要的时间比规定时间多1天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天．已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间．设规定时间为x天，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用．设规定时间为x天，根据快马的速度是慢马的2倍列方程即可． 【详解】由题意得： 故选：C． 10. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点，的坐标分别是，，．若函数（，）的图象经过点，则的值为（ ） A. 3 B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】过点作轴于，如图，先判断为等腰直角三角形得到，，再判断为等腰直角三角形得到，则可计算出，所以，然后利用反比例函数图象上点的坐标特征求出的值． 【详解】解：过点作轴于，如图， ，的坐标分别是，． ， 为等腰直角三角形， ，， ， ， 等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， 函数的图象经过点， ． 故选：A． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数为常数，的图象是双曲线，图象上的点的横纵坐标的积是定值，即．也考查了反比例函数的性质． 11. 如图，点E在矩形纸片的边上，将纸片沿折叠，点D的对应点恰好落在线段上．若，，则的长为（ ） A. B. 4 C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】由折叠的性质得到，从而得出,，，，，利用矩形的性质推出，通过等边对等角得到，进而表示出，最终由勾股定理列方程求得结果． 【详解】解：∵是由沿着对折得到的， ∴， ∴,，，， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得． 12. 当时，抛物线与直线有交点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将和代入求出直线经过，再分别将点坐标代入抛物线解析式求出t的值，求出抛物线与直线只有1个交点时t的值，进而求解． 【详解】解：将代入得， 将代入得， ∴直线经过， 将代入得， 解得， 将代入得， 解得， 令，整理得， 当时，， 此时抛物线与直线只有1个交点，， 解得， 综上所述，当时满足题意． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 13. 若代数式有意义，则的取值范围为_____． 【答案】## 【解析】 【分析】根据根式有意义的定义，得不等式，求解即可． 【详解】解：若要根式有意义， 则， 解得． 14. 分解因式：__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了提公因式法分解因式，直接提取公因式，分解因式，即可得出答案，解题关键是掌握提公因式法． 【详解】解：， 故答案为：． 15. 如图，将直尺与三角尺叠放在一起，如果，那么的度数为____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可得AB//CD，∠EOF=90°，根据平行线的性质可得∠2=∠3，根据角的和差关系即可得答案． 【详解】∵将直尺与三角尺叠放在一起， ∴AB//CD，∠EOF=90°， ∴∠2=∠3， ∵∠1+∠3=∠EOF=90°，， ∴∠1=90°-62°=28°， 故答案为：28° 【点睛】本题主要考查平行线的性质，两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补；熟练掌握平行线的性质是解题关键． 16. 南宁市博物馆拟招聘一名优秀讲解员，张三的笔试、试讲、面试成绩分别为90分、94分、92分，综合成绩中笔试占、试讲占、面试占，那么张三最后的成绩为_____分． 【答案】 【解析】 【分析】根据加权平均数的定义列式计算即可得到结果． 【详解】解：张三最后的成绩为：（分）． 17. 如图1所示的蛋筒冰淇淋由上下两个圆锥组成，图2为其主视图，其中，，若上圆锥的侧面积为2，则下圆锥的侧面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的计算，先证明为等腰直角三角形得到，再证明为等边三角形得到，利用圆锥的侧面积的计算方法得到上面圆锥的侧面积与下面圆锥的侧面积的比等于，从而得到下圆锥的侧面积． 【详解】解：∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 而， ∴为等边三角形， ∴， ∵上面圆锥与下面圆锥的底面相同， ∴上面圆锥的侧面积与下面圆锥的侧面积的比等于， ∴下面圆锥的侧面积． 故答案为：． 18. 如图，点是正方形外一点，，，分别交于点，，且，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】连接、，交于点，连接，根据正方形的性质得出，，，点为正方形的外接圆的圆心，为的直径，，根据圆周角定理得出点在上，，根据角平分线的性质得出点到、的距离相等，根据，利用三角形的面积得出，根据直角三角形两锐角互余得出，得出，即可求出，，利用勾股定理即可得答案． 【详解】解：如图，连接、，交于点，连接， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∵点为、的交点， ∴点为正方形的外接圆的圆心，为的直径，， ∵， ∴， ∴点在上，， ∴， ∴点到、的距离相等， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴． 三、解答题（本大题共8小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算：． 【答案】6 【解析】 【分析】首先计算乘方，除法和算术平方根，然后计算加法． 【详解】解：原式 ． 20. 解不等式组：，并将解集在数轴上表示出来． 【答案】不等式组的解集为，解集在数轴上表示见解析 【解析】 【分析】先分别求解不等式组中的两个不等式，然后取它们的交集得到不等式组的解集，最后在数轴上表示出解集． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为， 解集在数轴上表示如图所示： 21. 如图，在四边形中，，点是对角线的中点． （1）尺规作图：线段上确定点，使得； （2）在（1）的条件下，连接并延长交于，连接、，求证：四边形是菱形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）作的垂直平分线，点M即为的垂直平分线与的交点； （2）证明得到，用对角线互相平分的四边形是平行四边形和对角线互相垂直的平行四边形是菱形，依次证明四边形是平行四边形和菱形即可． 【小问1详解】 解：如图1所示，点即为所作的点； 【小问2详解】 解：， ． 是对角线的垂直平分线， ， 在和中 ． ． 又． 所以四边形是平行四边形， ． 所以四边形是菱形． 22. 某中学组织七、八年级学生参加了体质健康测试，现随机从七、八年级各抽取了10名学生的成绩（单位：分），进行统计、分析．收集数据： 七年级：78，90，80，95，68，90，90，100，75，80； 八年级：80，70，85，95，90，100，90，85，90，78． 整理数据： 成绩x/分 七年级 1 4 3 2 八年级 1 2 a b 分析数据： 统计量 平均数 中位数 众数 七年级 84.6 c 90 八年级 86.3 87.5 d （1）填空：__________，__________，__________，__________； （2）若八年级共有200人参与测试，请估计八年级成绩大于80分的人数； （3）根据以上数据，结合所学的统计知识，你认为哪个年级学生的体质更好，并说明理由（写出一条即可）． 【答案】（1），，， （2）140人 （3）八年级学生的体质更好，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据收集到的数据即可求出a和b的值，根据众数中位数的定义即求出c和d的值； （2）求出八年级抽取的人数中分数大于80分的人数所占的百分比，再乘以200即可； （3）根据七年级和八年级的平均数，中位数和众数求解即可． 【小问1详解】 八年级成绩在分组的有：85，90，90，85，90，共有5个， ∴； 八年级成绩在分组的有：95，100，共有2个， ∴； 七年级的成绩按从小到大排列为：68，75，78，80，80，90，90，90，95，100， ∴中间的两个数为80，90， ∴中位数为， ∴； 八年级成绩出现次数最多的成绩为90， ∴． 故答案为：5，2，85，90； 【小问2详解】 （人） ∴八年级成绩大于80分的人数大约有140人； 【小问3详解】 八年级学生的体质更好． 理由如下：因为两个年级的众数相同，但是八年级成绩的平均数、中位数均大于七年级，所以八年级学生的体质更好． 【点睛】本题考查求中位数、众数，由样本估计总体，根据题意从所给数据中收集必要的信息以及正确的列出表格是解答本题的关键． 23. 周末，小明与妈妈去公园游玩．小明先从家骑自行车出发，妈妈骑电单车后出发，两人先在超市会合，再一起购物一段时间，然后同时出发去公园．已知两人行车路线相同，且两人骑行的速度始终保持不变．图中折线和折线分别表示小明、妈妈离家的路程（米）与小明的骑行时间（分）的函数关系的图象，根据图中所给信息，解答下列问题： （1）公园离小明家______米，小明的速度是_____米/分； （2）求线段的解析式； （3）求他们在超市一起购物所用的时间． 【答案】（1），； （2）线段的解析式为； （3）小明和妈妈一起购物花了分钟， 【解析】 【小问1详解】 解：由图象可知，公园离小明家米， 小明的速度是（米/分）； 【小问2详解】 解：由图象可知，点，在线段上， 设线段的解析式为， 将点，代入得 ， 解得， ， 所以线段的解析式为； 【小问3详解】 解：将代入线段的解析式得：， 即超市离小明家米， 由（1）得，小明的速度是米/分， 则，所以点的横坐标为， 由图可知妈妈的速度为米/分， 所以妈妈从超市到公园用时分钟， ，所以点的横坐标为， 分钟，所以小明和妈妈一起购物花了分钟， 24. 【阅读理解】小宁学习三角函数时，遇到一个这样的问题：在中，，，求的值． 【解题思路】小宁先画出了几何图形（如图1），他觉得虽然不是特殊角，但是的一半，于是他尝试着在上截取，再连接，构造出等腰（如图2）． 　 　 【解题过程】在上截取，再连接， 可证为等腰三角形，设，则． 【尝试应用】（1）如图3，求的值； 【拓展应用】（2）如图4，某同学站在离纪念碑底距离5米的处，测得纪念碑顶点的仰角为，该同学的眼睛点离地面的距离为米，请帮助他求出纪念碑的高度（结果保留整数，参考数据：）． 　 【答案】（1）；（2）20米 【解析】 【分析】（1）先作出的中垂线，得出，进而求出，再同材料的解题思路即可求出答案； （2）过点作于，则四边形是矩形，进而得出米，米，进而求出，即可求出答案． 【详解】解：（1）如图3， 作的中垂线交于，连接， 则， ， ， 设， 在中，，， ， ， ； （2）由题意得，则四边形是矩形， 米，米， 在中，， ， ， ， （米）， 答：纪念碑的高度为20米． 【点睛】此题主要考查了阅读材料的能力，解直角三角形，模仿求的方法求出是解本题的关键． 25. 如图1抛物线与轴交于，两点，，其顶点与轴的距离是6． （1）求抛物线的解析式； （2）点在抛物线上，过点直线与抛物线的对称轴交于点． ①当与面积之比为时，求的值； ②如图2，当点在轴下方的抛物线上时，过点的直线与直线交于点，求的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可得，再将代入求出a的值即可求函数的解析式； （2）①设直线与y轴的交点为E，与x轴的交点为F，则，，由题意可知直线与坐标轴的夹角为，求出，，再由，求出m的值即可； ②设，过P作轴交于点E，过P作交于F，求出直线的解析式后可求，则，由直线与直线的解析式，能确定两直线互相垂直，可求，，则，即可求的最大值． 【小问1详解】 解：， ∴抛物线的对称轴为直线， 设抛物线的解析式为 ∵顶点与x轴的距离是6， ∴顶点为， ， ∵抛物线经过原点， ， ， ； 【小问2详解】 设直线与y轴的交点为E，与x轴的交点为F， ，， ，， ∵直线与坐标轴的夹角为， ，， ， ， ， 解得或； 设，过P作轴交于点E，过P作交于F， 设直线的解析式为， ， 解得：， ， ， ， 设直线与y轴交点为G， 令，则， ， ， ， 设直线与x轴交点为K，与y轴交点为L， 直线的解析式为，令，则 ， 令，则， ， ， ， ， , 设与x轴交点为H， ， ， ， ， ，， 当时，的最大值为． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，等腰直角三角形的性质是解题的关键． 26. 如图1，是的外接圆，为直径，点是外一点，且，连接交于点，交于点，延长交于点，连接． （1）证明：； （2）若，证明：是的切线； （3）在（2）的条件下，连接交于点，连接，若的半径为3，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据垂直平分线的逆定理得为线段的垂直平分线，再根据垂径定理证明 ； （2）设，根据得，设的半径得，在中，根据得，进而得，在中，由勾股定理计算，进而得，，，易得，从而，进而证明是的切线； （3）过点作于点，过点作于点，连接，，由得，、、，进而得，易得，进而由 得，由四边形是矩形得，由得，计算得，在中，由勾股定理得，得，在中，根据勾股定理计算． 【小问1详解】 证明：如图，连接， ，， 为线段的垂直平分线， ， 又是的直径， ； 【小问2详解】 证明：在中，， ， 设，则，设的半径，则 在中，， ， 解得， 又 ， 在中，， ，，， ， ，即， 又是的半径， 是的切线； 【小问3详解】 解：如图，过点作于点，过点作于点，连接，， ， 半径， ，， 由（2）知， ，，， 由（2）得， ， ，， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， 在中，， ， 在中，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2022年九年级第一次学业水平测试数学 （考试时间：120分钟 满分：120分） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．请在答题卡上作答，在本试卷上作答无效． 2.答题前，请认真阅读答题卡上的注意事项． 3.不能使用计算器.考试结束时，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑） 1. 有理数，，，6中，最大的数是（　　） A. B. C. D. 6 2. 如图，在下列四个几何体中，其主视图是矩形的是（ ） A. B. C. D. 3. 据统计，第22届冬季奥运会电视转播时间长达小时，其中数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 点关于x轴对称的点的坐标是（　　） A. B. C. D. 5. 下列事件中属于必然事件的是（ ） A. 打开电视机，正播放“天宫课堂” B. 对从疫情高风险区归来的人员进行核酸检测，检测结果为阳性 C. 任意画一个三角形，其内角和是 D. 掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上 6. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，A，B，C三点在上，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 如图是一张矩形纸板，顺次连接各边中点得到四边形．将一个飞镖随机投掷在矩形纸板上，则飞镖落在阴影区域的概率是（ ） A. B. C. D. 9. 《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译为白话文是：把一份文件用慢马送到800里外的城市，需要的时间比规定时间多1天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天．已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间．设规定时间为x天，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点，的坐标分别是，，．若函数（，）的图象经过点，则的值为（ ） A. 3 B. 2 C. D. 11. 如图，点E在矩形纸片的边上，将纸片沿折叠，点D的对应点恰好落在线段上．若，，则的长为（ ） A. B. 4 C. D. 5 12. 当时，抛物线与直线有交点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 13. 若代数式有意义，则的取值范围为_____． 14. 分解因式：__________． 15. 如图，将直尺与三角尺叠放在一起，如果，那么的度数为____________． 16. 南宁市博物馆拟招聘一名优秀讲解员，张三的笔试、试讲、面试成绩分别为90分、94分、92分，综合成绩中笔试占、试讲占、面试占，那么张三最后的成绩为_____分． 17. 如图1所示的蛋筒冰淇淋由上下两个圆锥组成，图2为其主视图，其中，，若上圆锥的侧面积为2，则下圆锥的侧面积为________． 18. 如图，点是正方形外一点，，，分别交于点，，且，则的长为______． 三、解答题（本大题共8小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算：． 20. 解不等式组：，并将解集在数轴上表示出来． 21. 如图，在四边形中，，点是对角线的中点． （1）尺规作图：在线段上确定点，使得； （2）在（1）的条件下，连接并延长交于，连接、，求证：四边形是菱形． 22. 某中学组织七、八年级学生参加了体质健康测试，现随机从七、八年级各抽取了10名学生的成绩（单位：分），进行统计、分析．收集数据： 七年级：78，90，80，95，68，90，90，100，75，80； 八年级：80，70，85，95，90，100，90，85，90，78． 整理数据： 成绩x/分 七年级 1 4 3 2 八年级 1 2 a b 分析数据： 统计量 平均数 中位数 众数 七年级 84.6 c 90 八年级 86.3 87.5 d （1）填空：__________，__________，__________，__________； （2）若八年级共有200人参与测试，请估计八年级成绩大于80分的人数； （3）根据以上数据，结合所学的统计知识，你认为哪个年级学生的体质更好，并说明理由（写出一条即可）． 23. 周末，小明与妈妈去公园游玩．小明先从家骑自行车出发，妈妈骑电单车后出发，两人先在超市会合，再一起购物一段时间，然后同时出发去公园．已知两人行车路线相同，且两人骑行的速度始终保持不变．图中折线和折线分别表示小明、妈妈离家的路程（米）与小明的骑行时间（分）的函数关系的图象，根据图中所给信息，解答下列问题： （1）公园离小明家______米，小明的速度是_____米/分； （2）求线段的解析式； （3）求他们在超市一起购物所用的时间． 24. 【阅读理解】小宁学习三角函数时，遇到一个这样的问题：在中，，，求的值． 【解题思路】小宁先画出了几何图形（如图1），他觉得虽然不是特殊角，但是的一半，于是他尝试着在上截取，再连接，构造出等腰（如图2）． 　 　 【解题过程】上截取，再连接， 可证等腰三角形，设，则． 【尝试应用】（1）如图3，求的值； 【拓展应用】（2）如图4，某同学站在离纪念碑底距离5米的处，测得纪念碑顶点的仰角为，该同学的眼睛点离地面的距离为米，请帮助他求出纪念碑的高度（结果保留整数，参考数据：）． 　 25. 如图1抛物线与轴交于，两点，，其顶点与轴的距离是6． （1）求抛物线的解析式； （2）点在抛物线上，过点的直线与抛物线的对称轴交于点． ①当与的面积之比为时，求的值； ②如图2，当点在轴下方的抛物线上时，过点的直线与直线交于点，求的最大值． 26. 如图1，是的外接圆，为直径，点是外一点，且，连接交于点，交于点，延长交于点，连接． （1）证明：； （2）若，证明：是的切线； （3）在（2）条件下，连接交于点，连接，若的半径为3，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $