精品解析：甘肃省定西市陇西县渭州学校2021—2022学年九年级下学期自主检测（二） 数学试卷

2021－2022学年度第二学期自主检测（二） 九年级数学 注意事项： 1．全卷共120分，考试时间100分钟． 2．考生必须将姓名、准考证号、考场号、座位号等个人信息填（涂）写在答题卡上． 3．考生必须将答案直接填（涂）写在答题卡的相应位置上． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 2022年2月4日至2月20日，第24届冬季奥林匹克运动会将在北京市和张家口市联合举行，下面是各届冬奥会会徽中的部分图形，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 2021年2月10日19时52分，中国首次火星探测任务“天问一号”探测器成功实施近火捕获制动，抵达火星时飞行里程约475000000千米，数据475000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，是由6个大小相同的小立方块搭成的几何体，其左视图是（　　） A. B. C. D. 4. 下列计算结果为a5的是（　　） A. B. C. D. 5. 估计的值在( ) A. 和之间 B. 和之间 C. 和6之间 D. 6和之间 6. 若方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 7. 甲、乙、丙、丁四名同学在一次投掷实心球训练中，在相同条件下各投掷10次，他们成绩的平均数与方差s2如下表： 甲 乙 丙 丁 平均数（米） 11.1 11.1 10.9 10.9 方差s2 1.1 1.2 1.3 1.4 若要选一名成绩好且发挥稳定的同学参加比赛，则应该选择（　　） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 8. 日前以等为代表的战略性新兴产业蓬勃发展.某市2020年底有用户2万户，计划到2022年底全市用户数达到9.68万户.设全市用户数年平均增长率为x，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，ABC内接于⊙O，∠ABC＝110°．AB＝BC，AD是⊙O的直径，则∠DAB的度数是（ ） A. 35° B. 55° C. 65° D. 70° 10. 如图①，在中，，D是边的中点，点P从的顶点A出发，沿以每秒1个单位长度的速度匀速运动到点D，在运动过程中，线段的长度y随时间x变化的函数图象如图②所示，Q是曲线部分的最低点，则的长为（ ） A. 3 B. C. D. 12 二、填空题：本大题共8小题，每小题3分．共24分． 11. 因式分解：________． 12. 若分式的值为0，则的值为_____． 13. 若点、在反比例函数的图象上，则________． 14. 如图，在平行四边形中，，，、相交于点，点为所在直线上一点．连接、，若，则的周长为______． 15. 如图，过点，，，点是轴下方上的一点，连接，，则的值为________． 16. 如图，⊙O的内接四边形ABCD中，∠A=115°，则∠BOD等于__． 17. 如图，在扇形中，，，点是弧的中点，连接，与交于点D，E为的中点，连接，则图中阴影部分的面积为_______．（结果保留根号和） 18. 如图是按规律排列的一组图形，它们是由边长相同的正方形和正三角形拼接而成，第1个图形中有4个三角形，第2个图形中有7个三角形，第3个图形中有10个三角形，第4个图形中有13个三角形，…，则第2022个图形中有________个三角形． 三、解答题（一）：本大题共5小题，共26分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 19. 计算：． 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 如图，在锐角中． （1）用直尺和圆规作线段的垂直平分线交于点；再以点为圆心，为半径作圆与交于点（保留作图痕迹，不写作法）； （2）连接，判断与的位置关系，并证明． 22. 甘肃科技馆（如图①所示）是甘肃省有史以来投资和建设规模最大的社会公益性科普项目，是实施科教兴国战略和创新驱动发展战略的重要基础设施建设．甘肃科技馆的建成，标志着甘肃省科普阵地建设迈上了新台阶某数学课题研究小组对测量甘肃科技馆的高度这一课题进行了探究，过程如下： 问题提出：如图②是测量甘肃科技馆高度的示意图，求甘肃科技馆的高度． 方案设计：如图②，该数学课题研究小组通过调查研究设计了甘肃科技馆楼顶到地面的高度为在测点用仪器测得点的仰角为，前进一段距离到达测点，再用该仪器测得点的仰角为，且点、、、、、均在同一竖直平面内． 数据收集：，，，测角仪高． 问题解决：根据上述方案及数据，求甘肃科技馆的高度．（计算结果保留整数，参考数据：，，， 23. 年月日时分，“天宫课堂”第一课开课，神舟十三号乘组航天员翟志刚、王亚平、叶光富将在中国空间站进行太空授课．“太空授课”不仅仅是为了培养青少年对太空的兴趣、科普太空环境，其背后更是在向国际社会展示我国一流的科技能力和综合国力．某班为培养学生的爱国情怀和奉献精神，计划开展一次“中国梦、我的梦”为主题的班会，小军、小颖准备在班会上分别从：．太空细胞学研究实验展示、．浮力消失实验、．水膜张力实验、．水球光学实验这四个太空实验中任选一个进行科学原理讲述，他们决定通过抽签的方式确定讲述的实验． （1）若两人自己抽签，由小军先抽，请问小军抽到的概率是多少？ （2）若由小颖代表两人进行抽签，一次抽取两个，抽到的题目作为两人讲述的实验，请用画树状图或列表的方法求出小颖抽到的两个实验题目分别为和的概率． 四、解答题（二）：本大题共5小题，共40分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 24. “足球运球”是中考体育必考项目之一．兰州市某学校为了解今年九年级学生足球运球的掌握情况，随机抽取部分九年级学生足球运球的测试成绩作为一个样本，按，，，四个等级进行统计，制成了如下不完整的统计图．（说明：级：8分—10分，级：7分—7.9分，级：6分—6.9分，级：1分—5.9分） 根据所给信息，解答以下问题： （1）这次随机抽取九年级学生足球运球的测试总人数是________； （2）补全条形统计图； （3）在扇形统计图中，C对应的扇形的圆心角是________； （4）该校九年级有300名学生，请估计足球运球测试成绩达到级的学生有多少人？ 25. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点、两点，与轴交于点． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）根据函数图象写出不等式的解集； （3）连接、，求的面积； 26. 如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AC于点E． （1）求证：直线DE是⊙O的切线； （2）若BC＝6，tanB，求DE的长． 27. 如图，在中，过点C作，E是AC的中点，连接DE并延长，交AB于点F，交CB的延长线于点G，连接AD，CF 求证：四边形AFCD是平行四边形． 若，，，求AB的长． 28. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，点A在原点的左侧，点A的坐标为，点的坐标为．且． （1）写出点的坐标； （2）求这个二次函数的解析式． （3）若点是该抛物线上一点，点是直线下方的抛物线上的一动点，当点运动到什么位置时，的面积最大？求此时点的坐标和的最大面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2021－2022学年度第二学期自主检测（二） 九年级数学 注意事项： 1．全卷共120分，考试时间100分钟． 2．考生必须将姓名、准考证号、考场号、座位号等个人信息填（涂）写在答题卡上． 3．考生必须将答案直接填（涂）写在答题卡的相应位置上． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 2022年2月4日至2月20日，第24届冬季奥林匹克运动会将在北京市和张家口市联合举行，下面是各届冬奥会会徽中的部分图形，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、不是中心对称图形，不符合题意，选项错误； B、不是中心对称图形，不符合题意，选项错误； C、不是中心对称图形，不符合题意，选项错误； D、是中心对称图形，符合题意，选项正确； 2. 2021年2月10日19时52分，中国首次火星探测任务“天问一号”探测器成功实施近火捕获制动，抵达火星时飞行里程约475000000千米，数据475000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数． 【详解】解：， 故选：C． 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 3. 如图，是由6个大小相同的小立方块搭成的几何体，其左视图是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案． 【详解】从左边看，底层是两个小正方形，上层左边是一个小正方形． 故选：A． 【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图． 4. 下列计算结果为a5的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据合并同类项、同底数幂的除法、幂的乘方、合并同类项分别进行运算后即可作出判断． 【详解】A、与不是同类项，故不能合并，选项不符合题意． B、，故选项符合题意． C、，故选项不符合题意． D、与不是同类项，故不能合并，故选项不符合题意． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了合并同类项、同底数幂的除法、幂的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键． 5. 估计的值在( ) A. 和之间 B. 和之间 C. 和6之间 D. 6和之间 【答案】B 【解析】 【分析】根据无理数的估算得出的大小范围，即可得答案. 【详解】∵16<23<25， ∴，即4<<5， 故选B. 【点睛】本题考查的是估算无理数的大小，根据题意估算出的大小范围是解答此题的关键． 6. 若方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义，得到二次项系数不为0，且根的判别式大于0，解两个不等式即可得到m的取值范围，选出正确选项． 【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴，且， 解得，且， ∴m的取值范围是． 7. 甲、乙、丙、丁四名同学在一次投掷实心球训练中，在相同条件下各投掷10次，他们成绩的平均数与方差s2如下表： 甲 乙 丙 丁 平均数（米） 11.1 11.1 10.9 10.9 方差s2 1.1 1.2 1.3 1.4 若要选一名成绩好且发挥稳定的同学参加比赛，则应该选择（　　） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】A 【解析】 【分析】根据平均数和方差的意义解答． 【详解】从平均数看，成绩好的同学有甲、乙， 从方差看甲、乙两人中，甲方差小，即甲发挥稳定， 故选：A． 【点睛】本题考查了平均数和方差，熟悉它们的意义是解题的关键． 8. 日前以等为代表的战略性新兴产业蓬勃发展.某市2020年底有用户2万户，计划到2022年底全市用户数达到9.68万户.设全市用户数年平均增长率为x，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据全市用户数2020年底有2万户，全市用户数年平均增长率为x，计划到2022年底全市用户数达到9.68万户，即可列出关于x的一元二次方程． 本题主要考查了一元二次方程的应用——平均增长率问题．熟练掌握“现在用户数与原来用户数和增长率及增长次数”的关系，是解决问题的关键． 【详解】∵2020年底有用户为2万户，全市用户数年平均增长率为x， ∴2021年底有用户达到万户， 2022年底有用户达到万户， ∵计划到2022年底全市 用户数达到9.68万户 ∴． 故选：D． 9. 如图，ABC内接于⊙O，∠ABC＝110°．AB＝BC，AD是⊙O的直径，则∠DAB的度数是（ ） A. 35° B. 55° C. 65° D. 70° 【答案】B 【解析】 【分析】由AB＝BC，∠ABC＝110°，根据等腰三角形的性质，可求得∠C的度数，又由圆周角定理，即可求得答案． 【详解】解：∵AB＝BC，∠ABC＝110°， ∴∠C＝35°， ∴∠D＝∠C＝35°， ∵AD为⊙O的直径， ∴∠ABD＝90°， ∴∠DAB＝90°﹣∠D＝90°﹣35°＝55°． 故选：B． 【点睛】此题考查了圆周角定理以及等腰三角形的性质，此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用． 10. 如图①，在中，，D是边的中点，点P从的顶点A出发，沿以每秒1个单位长度的速度匀速运动到点D，在运动过程中，线段的长度y随时间x变化的函数图象如图②所示，Q是曲线部分的最低点，则的长为（ ） A. 3 B. C. D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了函数图象，等边三角形的判定与性质，中位线的性质，含30°的直角三角形等知识．解题的关键在于从函数图象上获取信息． 由图象知，，如图③，过点作，则，此时，最短，，，是等边三角形，点是的中点，是的中位线，进而可求的值． 【详解】解：由函数图象可知，当时，；当时，最小，当时，， ，， 如图③，过点作，则，此时，最短， ， ∴ ，， ∴， ， 是等边三角形， 点是的中点， 点是的中点， 是的中位线， ， 故选：C． 二、填空题：本大题共8小题，每小题3分．共24分． 11. 因式分解：________． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再套用公式分解即可． 本题考查了因式分解，熟练掌握先提取公因式，再套用公式分解是解题的关键． 【详解】 ． 故答案为：． 12. 若分式的值为0，则的值为_____． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了分式值为的条件，掌握分式值为的条件是分子为且分母不为，注意排除使分母为的解是解题的关键． 分式的值为的条件是分子等于且分母不等于． 【详解】解：由分式的值为，得分子且分母 解方程，即，得或 当 时，分母，分式无意义，故舍去； 因此． 故答案为：． 13. 若点、在反比例函数的图象上，则________． 【答案】 【解析】 【分析】解题的关键是掌握反比例函数图象上的点的横纵坐标的积是定值k，即． 根据反比例函数图象上点的坐标特点求解，即可解题． 【详解】解：点、在反比例函数的图象上， ． 14. 如图，在平行四边形中，，，、相交于点，点为所在直线上一点．连接、，若，则的周长为______． 【答案】 【解析】 【分析】由平行四边形的性质得，从而可得垂直平分，得，进而可得的周长． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴的周长． 15. 如图，过点，，，点是轴下方上的一点，连接，，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，由点C，D的坐标得到，，从而求出的值，再根据圆周角定理得到，即可解答． 【详解】解：连接， ∵，， ∴，， ∴在中，， ∵， ∴， ∴． 16. 如图，⊙O的内接四边形ABCD中，∠A=115°，则∠BOD等于__． 【答案】130°. 【解析】 【分析】根据圆内接四边形的性质和圆周角定理即可解答. 【详解】∵四边形ABCD内接与⊙O，∴∠A+∠C=180°，∵∠A=115°，∴∠C=65°，∴∠BOD＝2∠C＝130°； 【点睛】本题主要考查了圆内接四边形的性质和圆周角定理． 17. 如图，在扇形中，，，点是弧的中点，连接，与交于点D，E为的中点，连接，则图中阴影部分的面积为_______．（结果保留根号和） 【答案】 【解析】 【分析】根据垂径定理可得，，求出，然后根据列式计算即可． 【详解】解：∵点是弧的中点，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵E为的中点， ∴， ∴ ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了垂径定理，扇形的面积公式，勾股定理等知识，能够正确表示出阴影部分的面积是解题的关键． 18. 如图是按规律排列的一组图形，它们是由边长相同的正方形和正三角形拼接而成，第1个图形中有4个三角形，第2个图形中有7个三角形，第3个图形中有10个三角形，第4个图形中有13个三角形，…，则第2022个图形中有________个三角形． 【答案】6067 【解析】 【分析】由题意可知：第（1）个图案有个三角形，第（2）个图案有个三角形，第（3）个图案有个三角形，…依此规律，第n个图案有个三角形． 【详解】解：∵第（1）个图案有个三角形， 第（2）个图案有个三角形， 第（3）个图案有个三角形， … ∴第n个图案有个三角形． 故答案为：． 三、解答题（一）：本大题共5小题，共26分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 19. 计算：． 【答案】4 【解析】 【分析】先计算负整数指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值、零指数幂，再计算乘法，最后计算加减即可得出结果． 【详解】解： ． 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】先算括号里面异分母分式加法，再计算分式的除法，最后将代入化简后的式子求值，即可解题． 【详解】解： ， ， 上式 ． 21. 如图，在锐角中． （1）用直尺和圆规作线段的垂直平分线交于点；再以点为圆心，为半径作圆与交于点（保留作图痕迹，不写作法）； （2）连接，判断与的位置关系，并证明． 【答案】（1）见解析 （2），证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用基本作图作的垂直平分线即可； （2）根据为圆的直径得到，进而解题． 【小问1详解】 解：如图，为所作； 【小问2详解】 解：； 理由如下： 由题意知，为直径， ∴， ∴． 22. 甘肃科技馆（如图①所示）是甘肃省有史以来投资和建设规模最大的社会公益性科普项目，是实施科教兴国战略和创新驱动发展战略的重要基础设施建设．甘肃科技馆的建成，标志着甘肃省科普阵地建设迈上了新台阶某数学课题研究小组对测量甘肃科技馆的高度这一课题进行了探究，过程如下： 问题提出：如图②是测量甘肃科技馆高度的示意图，求甘肃科技馆的高度． 方案设计：如图②，该数学课题研究小组通过调查研究设计了甘肃科技馆楼顶到地面的高度为在测点用仪器测得点的仰角为，前进一段距离到达测点，再用该仪器测得点的仰角为，且点、、、、、均在同一竖直平面内． 数据收集：，，，测角仪高． 问题解决：根据上述方案及数据，求甘肃科技馆的高度．（计算结果保留整数，参考数据：，，， 【答案】37m 【解析】 【分析】如图：延长DF与AB交于点G，在两个直角三角形中，用BG表示DG、FG，进而用DG-FG=DF=10列方程求出BG即可． 【详解】解：如图：延长与交于点， 根据题意可知：，测角仪高． 在中， ， ， 在中， ， ， ， ， 解得，， ． 答：甘肃科技馆的高度约为． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用一仰角俯角问题，用BG表示DG、FG是列方程求解的关键． 23. 年月日时分，“天宫课堂”第一课开课，神舟十三号乘组航天员翟志刚、王亚平、叶光富将在中国空间站进行太空授课．“太空授课”不仅仅是为了培养青少年对太空的兴趣、科普太空环境，其背后更是在向国际社会展示我国一流的科技能力和综合国力．某班为培养学生的爱国情怀和奉献精神，计划开展一次“中国梦、我的梦”为主题的班会，小军、小颖准备在班会上分别从：．太空细胞学研究实验展示、．浮力消失实验、．水膜张力实验、．水球光学实验这四个太空实验中任选一个进行科学原理讲述，他们决定通过抽签的方式确定讲述的实验． （1）若两人自己抽签，由小军先抽，请问小军抽到的概率是多少？ （2）若由小颖代表两人进行抽签，一次抽取两个，抽到的题目作为两人讲述的实验，请用画树状图或列表的方法求出小颖抽到的两个实验题目分别为和的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（）根据概率公式计算即可求解； （）画出树状图，再根据树状图解答即可求解； 本题考查了用树状图或列表法求概率，掌握树状图或列表法是解题的关键． 【小问1详解】 解：小军从四个太空实验中任选一个，抽的结果共有种，其中抽到的结果有种， ∴小军抽到的概率为； 【小问2详解】 解：画树状图如下： 由树状图可知，共有种等可能结果，其中抽到和的结果有种， ∴小颖抽到的两个实验题目分别为和的概率为． 四、解答题（二）：本大题共5小题，共40分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 24. “足球运球”是中考体育必考项目之一．兰州市某学校为了解今年九年级学生足球运球的掌握情况，随机抽取部分九年级学生足球运球的测试成绩作为一个样本，按，，，四个等级进行统计，制成了如下不完整的统计图．（说明：级：8分—10分，级：7分—7.9分，级：6分—6.9分，级：1分—5.9分） 根据所给信息，解答以下问题： （1）这次随机抽取九年级学生足球运球的测试总人数是________； （2）补全条形统计图； （3）在扇形统计图中，C对应的扇形的圆心角是________； （4）该校九年级有300名学生，请估计足球运球测试成绩达到级的学生有多少人？ 【答案】（1）40 （2）见解析 （3） （4）30 【解析】 【分析】（1）根据B等级人数及其百分比求得总人数； （2）总人数减去其他等级人数求得C等级人数，即可补全图形； （3）用乘以C等级人数所占比例即可得； （4）总人数乘以样本中A等级人数所占比例可得． 【小问1详解】 解：这次随机抽取九年级学生足球运球的测试总人数是（人）； 【小问2详解】 解：C等级人数为（人）； 补全条形图如下： 【小问3详解】 解：C对应的扇形的圆心角是； 【小问4详解】 解：估计足球运球测试成绩达到级的学生有（人）． 25. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点、两点，与轴交于点． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）根据函数图象写出不等式的解集； （3）连接、，求的面积； 【答案】（1）， （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出点坐标，根据图象求出不等式的解集即可； （3）求出点坐标，用分割法求出三角形的面积即可. 【小问1详解】 解：∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于点， ∴， ∴， ∴一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为； 【小问2详解】 解：联立，解得或， ∴， ∵， ∴双曲线的另一支在第四象限， 由图象可知，不等式的解集为或； 【小问3详解】 解：当时，， ∴， ∴， ∵点，， ∴. 26. 如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AC于点E． （1）求证：直线DE是⊙O的切线； （2）若BC＝6，tanB，求DE的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件得到OD∥AC即可，于是得到结论； （2）连接AD，根据圆周角定理得到AD⊥BC，根据等腰三角形的性质得到CD＝BDBC＝3，∠C＝∠B，设DE＝2x，CE＝3x，根据勾股定理即可得到结论． 【小问1详解】 证明：连接OD， ∵OB＝OD， ∴∠ABC＝∠ODB， ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， ∴∠ODB＝∠ACB， ∴OD∥AC， ∵DE⊥AC，OD是半径， ∴DE⊥OD， ∴DE是⊙O的切线； 【小问2详解】 解：连接AD， ∵AB为⊙O的直径， ∴AD⊥BC， ∵AB＝AC， ∴CD＝BDBC＝3，∠C＝∠B， ∵tanB， ∴tanC， 设DE＝2x，CE＝3x， 在Rt△CDE中，由勾股定理得， ∴x， ∴DE＝． 【点睛】本题考查了切线的判定，平行线的性质与判定，勾股定理，圆周角定理，等腰三角形的性质，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键． 27. 如图，在中，过点C作，E是AC的中点，连接DE并延长，交AB于点F，交CB的延长线于点G，连接AD，CF 求证：四边形AFCD是平行四边形． 若，，，求AB的长． 【答案】 是AC的中点， ， ， ， 在和中， ， ≌， ， 又，即， 四边形AFCD是平行四边形； ． 【解析】 【分析】由E是AC的中点知，由知，据此根据“AAS”即可证≌，从而得，结合即可得证； 证∽得，据此求得，由及可得答案． 【详解】（1）略 ， ∽， ，即， 解得：， 四边形AFCD是平行四边形， ， ． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关的性质及定理是解题的关键. 28. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，点A在原点的左侧，点A的坐标为，点的坐标为．且． （1）写出点的坐标； （2）求这个二次函数的解析式． （3）若点是该抛物线上一点，点是直线下方的抛物线上的一动点，当点运动到什么位置时，的面积最大？求此时点的坐标和的最大面积． 【答案】（1） （2） （3）点的坐标为， ． 【解析】 【分析】（1）根据题意可得，即可得出点C的坐标； （2）设该二次函数解析式为，把代入求出a的值，即可得出该二次函数的解析式； （3）求出，用待定系数求出直线的函数解析式为，过点P作轴，交 于点Q，由图可知，，当取最大值时，的面积最大，设，则，得出，则当时，取最大值，即可求解． 【小问1详解】 解：∵点的坐标为．且， ∴ ∴； 【小问2详解】 解：∵点A的坐标为，点的坐标为 ∴设该二次函数解析式为， 把代入得：， 解得：， ∴这个二次函数的解析式为； 【小问3详解】 解：把代入得：， ∴， 设直线的函数解析式为， 将，代入得： ，解得：， ∴直线的函数解析式为， 过点P作轴，交 于点Q， 由图可知，， ∴当取最大值时，的面积最大， 设，则， ∴， ∴当时，取最大值， ∴，的面积最大值． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，解题的关键是熟练掌握用待定系数法求二次函数解析式的方法和步骤，求二次函数最值的方法和步骤． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $