8.3.1 实数及其简单运算课件2025-2026学年人教版 数学七年级下册

课前准备 草稿纸、笔、课本、作业本、数学工具 美丽的数学心 我们进入七年级后引入一类新的数——负数，使数的范围扩充到有理数．本章我们又认识了像 ， 这样的无限不循环小数，它们是有理数吗？ 8.3.1 实数概念 人教版七年级下册 1.理解实数的意义，并能将实数按要求进行准确的分类； 2.理解实数和数轴上的点一一对应，能用数轴上的点表示无理数; 3. 掌握利用数轴比较实数大小. 理解实数的意义，并能将实数按要求进行准确的分类. 学习目标 学习重点 情景引入 问1 我们知道有理数包括整数和分数，把下列分数写成小数的形式，你有什么发现？ 问2 整数能写成小数的形式吗？例如：5 问3 这些小数它们有什么特征？ 有限小数和无限循环小数 整数可以写成小数点后为0的小数 　　追问　任意写一个分数，是否都能写成有限小数或者无限循环小数的形式？请举例说明． 有理数：有限小数或无限循环小数。 任何一个有理数都可以写成有限小数或无限循环小数. 反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数. 　　归纳小结 新知探究 问4 所有的数都可以写成有限小数和无限循环小数的形式吗？ 不是.如： （两个1之间依次多一个0） 问5 这些小数它们又有什么特征？ 无限不循环 知识归纳 无理数的概念 无限不循环小数叫做无理数. 常见的无理数类型 (1) 含有的数；如， (2) 开不尽方的数开方所得结果；如 (3) 有规律但不循环的小数，如 1.01001000100001… 大美数学 九章算术中的无理数表示 在我国古代数学著作《九章算术》中，无理数被用“面”这一概念来表示，即通过几何图形的面积来表达开方开不尽的数。 刘辉的无理数运算记录 刘辉在其著作中不仅记录了包含无理数的运算，而且详细描述了无理数的运算过程，显示了古人对无理数运算的深入理解和实践。 求徽术法与无理数的逼近 刘辉提出的求徽术法是一种通过有限小数无限逼近无理数的方法，这一方法体现了古代数学家对无理数逼近理论的探索和应用。 古人的无理数探索 巩固练习 1．下列实数是无理数的是（　　） A. B．1 C．0 D．－5 2.判断下列数是有理数还是无理数 ①；②；③；④；⑤；⑥； A 有理数 无理数 无理数 有理数 有理数 有理数 注意 (1)类似①带根号的数不一定是无理数,带根号时还应注意根指数 (2)类似⑤⑥先化简再判断 3.下列各数是有理数还是无理数？ (1) (2) (3) (4)(每相邻两个2之间依次多一个0) (5) (6) (7) (8) (9) (10) 有理数集合 无理数集合 ．．． ．．． 新知探究 无理数： 无限不循环小数 有理数： 有限小数或无限循环小数 实 数 分数 整数 化简后含开方开不尽的数.如 有规律但不循环的小数.如 化简后含有的数. 如 问6 我们将有理数和无理数统称为实数，仿照有理数的分类吗？据此你能给出实数的其它分类吗？ 无理数 有理数 实 数 负有理数 正有理数 正无理数： 负无理数： 有限小数或无限循环小数 无限不循环小数 0 按定义划分 负实数 正实数 实 数 正无理数 正有理数 负有理数 负无理数 0 按性质划分 例题解析 例1 将下列各数分别填入下列相应的括号内： ，，，，，，，0， (每两个3之间依次多一个7) 无理数集合:{ …}; 有理数集合:{ …}; 正实数集合:{ …}; 负实数集合:{ …}. ，，， ，，，，0 ，， ，，，， 对每个数都要进行判断，分类标准不同结果不同. 巩固练习 1.判断： (1).实数不是有理数就是无理数。（ ） (2).实数分为正实数和负实数。（ ） (3).无理数都是无限不循环小数。（ ） (4).无理数都是无限小数。（ ） (5).带根号的数都是无理数。（ ） (6).无理数一定都带根号。（ ） × × × 2.将下列各数分别填入下列相应的括号内 ，，，，，，，， 正实数集合:{ …}; 非正数集合:{ …}; 正分数集合:{ …}; 自然数集合:{ …}; 无理数集合:{ …}. ，， ，，，，， ， ， 例题解析 例2.如图所示，数轴上A，B两点表示的数分别为和， (1)点B关于原点O的对称点为E,求点E所表示的实数 (2)点B关于点A的对称点为C，求点C所表示的实数． 归纳总结 中点公式:若为的中点,点所表示的数为点所表示的数为，则中点点所表示的数为： 例3.(1)请将数轴上是各点与下列实数对应起来： -3 -2 -1 0 1 2 3 4 A B C D E (2)比较它们的大小（用“＜”号连接） 在数轴上表示的两个实数，右边的数总比左边的数大。 归纳总结 原点 0 正实数 负实数 与有理数一样，在实数范围内： 1.正数大于零，负数小于零，正数大于负数； 2.两个正数，绝对值大的数较大； 3.两个负数，绝对值大的数反而小. 4.数轴上的点越往右表示的实数越大 巩固练习 1.如图，数轴上表示实数的点可能是( ) A.点P B.点Q C.点R D.点S B 2.如图，在数轴上点A和点B之间表示整数的点有 个 3.小于的所有正整数有_____________________. 4.数轴上表示的对应点为A,B，点B关于点A的对称点为C,则点C所表示的数是________ 4 ，，， （第1题图） （第2题图） 课堂小结 无理数： 无限不循环小数 有理数：有限小数或无限循环小数 数 实 化简后含开方开不尽的数.如 有规律但不循环的小数.如 化简后含有的数. 如 课外作业 作业：P54第1，2，3题 中国古代数学家与实数的探索 在中国古代，数学家如刘徽、祖冲之、张衡等人，对数学的发展作出了巨大贡献。刘徽提出了“割圆术”，精确计算圆周率；祖冲之更是将圆周率计算精确到小数点后七位，领先世界近一千年。 古代数学家 尽管古代中国数学家没有明确提出实数理论，但他们对无理数的处理和使用，如刘徽的割圆术，实际上已经体现了对实数连续性的认识和应用。他们的工作为后来实数理论的发展奠定了基础。 数学家对实数理论的贡献 在《周髀算经》中，我们可以找到使用实数解决实际问题的例子，如通过测量日影来计算日地距离。这些应用展示了古代数学家们如何将数学理论与实际问题相结合，体现了实数在古代数学中的实际运用。 实数在古代数学中的应用实例 大美数学 $