专题03 图形的变换23大题型（期中复习专项训练）七年级数学下学期新教材苏科版

专题03 图形的变换 题型1 生活中的平移现象 题型13 对称轴 题型2 利用平移的性质求解（重点） 题型14 镜面对称 题型3 利用平移解决实际问题（常考点） 题型15 旋转现象（常考点） 题型4 平移作图（重点） 题型16 旋转中心、旋转角、对应点（常考点） 题型5 轴对称图形（常考点） 题型17 根据旋转的性质求解（重点） 题型6 作已知线段的垂直平分线（重点） 题型18 画旋转图形 题型7 作垂线（重点） 题型19 中心对称图形（常考点） 题型8 作角平分线（重点） 题型20 根据中心对称性质求面积、长度、角度 题型9 根据轴对称图形的性质进行求解（重点） 题型21 在方格纸补画图形成为中心对称图形 题型10 台球桌面上的轴对称问题 题型22 图形的折叠综合（难点） 题型11 轴对称中的光线反射问题 题型23 图形的旋转综合（难点） 题型12 折叠问题（难点） 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 生活中的平移现象（共3小题） 1．（24-25七年级下·江苏盐城·期中）如图所示是北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”的五幅图案，②③④⑤哪一个图案可以通过平移图案①得到？（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了图形的平移，熟知图形平移的性质是解题的关键．根据平移变换只改变图形位置，不改变大小和方向进行求解即可． 【详解】解：∵平移变换只改变位置，不改变大小和方向， ∴只有图③是可以经过平移得到的， 故选：B． 2．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）有以下现象：①火车从姜堰运动到上海；②打气简打气时活塞的运动；③钟摆的摆动；④传送带上瓶装饮料的移动，其中，属于平移的是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 【答案】D 【分析】本题主要考查了平移在实际当中的运用，判断平移的关键是看图形的方向是否改变，平移不改变方向．根据平移的意义逐一分析即可． 【详解】 解：①火车从姜堰运动到上海不是平移，不符合题意； ②打气筒打气时，活塞的运动是平移，符合题意； ③钟摆的摆动不是平移，不符合题意； ④传送带上，瓶装饮料的移动是平移，符合题意； ∴属于平移的是②④． 故选：D． 3．（24-25七年级下·江苏盐城·期末）下列现象是数学中的平移的是_______________.（填序号） ①．苹果垂直从树上落下②．电梯从底楼升到顶楼③．骑自行车时轮胎的滚动 ④．钟摆的摆动 【答案】①② 【分析】平移，是指在同一平面内，将一个图形上的所有点都按照某个直线方向做相同距离的移动，这样的图形运动叫做图形的平移运动，简称平移。平移不改变图形的形状和大小。图形经过平移，对应线段相等，对应角相等，对应点所连的线段相等． 【详解】①．苹果垂直从树上落下，只沿着竖直方向向下改变，符合题意； ②．电梯从底楼升到顶楼，只沿着竖直方向向上改变，符合题意； ③．骑自行车时轮胎的滚动 ，是沿着圆做圆周运动，不符合题意； ④．钟摆的摆动，是沿着弧线左右摆动，不符合题意； 故答案为①② 【点睛】此题考查的知识点：平移的概念；抓住：所有点都按照某个直线方向做相同距离的移动，是解答此题的关键． 题型二 利用平移的性质求解（共3小题） 4．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）如图的边的长为将向上平移得到，且，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了图形平移的性质以及面积的计算，解题的关键是利用平移后图形面积不变的性质，通过面积的等量代换求出阴影部分的面积． 根据平移的性质可知与面积相等；结合题目给出的阴影部分面积计算方法，通过等量代换得出阴影部分面积等于矩形的面积；再根据矩形面积公式计算即可． 【详解】∵向上平移 得到， ∴的面积的面积(平移不改变图形的面积)． 由题意可知，阴影部分的面积的面积矩形的面积的面积． ∴阴影部分的面积=矩形的面积． ∵，，且， ∴矩形的面积． 即阴影部分的面积为． 故选：A． 5．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）如图，将三角形沿射线平移后得到三角形，如果，，那么的度数是________． 【答案】 【分析】本题考查了平移的性质，平角的定义，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据题意，可得，然后结合平角，即可求得答案． 【详解】解：∵三角形沿射线平移后得到三角形，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 6．（24-25七年级下·江苏无锡·月考）如图，直线上有两个大小相同的直角三角形，它们中较大锐角的度数为将沿直线向左平移到的位置，使点落在上的点处，为与的交点． (1)求的度数； (2)试判断与之间的位置关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查了平移的性质和平行线的性质．需要注意的是：平移前后图形的大小、形状都不改变． （1）由平移的性质知，，利用两直线平行，同位角相等得，故可求出， （2）由平移的性质知，，，利用两直线平行，同位角相等得，故可求出，故． 【详解】（1）解：由平移的性质知，， ∴； （2），理由如下： 由平移的性质知，，， ∴， ∴， ∴． 题型三 利用平移解决实际问题（共3小题） 7．（24-25七年级下·江苏南京·期中）如图是某公园里一处长方形风景欣赏区，长米，宽米．为方便游人观赏，公园特意修建了如图所示的小路（图中非阴影部分），小路的宽均为2米，则小明沿着小路的中间，从入口A走到出口B所走的路线（图中虚线）长为（    ） A．140米 B．136米 C．124米 D．100米 【答案】B 【分析】本题考查平移的性质，根据图形可得所走路线长为，进行计算即可． 【详解】解：由图可知，横向距离等于的长，纵向距离等于的2倍， ∴入口A走到出口B所走的路线（图中虚线）长为米； 故选B． 8．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）如图，两个形状、大小完全相同的和重叠在一起，固定不动，将向右平移，当点E和点C重合时，停止移动，连接，设交于G，结论为：①四边形的面积与四边形的面积相等；②，且，对于结论①和②，下列判断正确的是（    ） A．①②都正确 B．①正确，②不正确 C．①②都不正确 D．①不正确，②正确 【答案】B 【分析】根据平移的性质可得，，，即可得出结果． 【详解】解：由平移可得：， ∴，即，故①正确； 由平移的性质可得：，，故②错误， 故选：B． 【点睛】本题考查平移的性质，熟练掌握把一个图形整体沿某一直线移动，会得到一个新图形，新图形与原图形的形状和大小完全一样是解题的关键． 9．（24-25七年级下·江苏南京·月考）如图所示，某条护城河在处直角转弯，河宽均为，从处到达处，须经过两座桥（桥宽不计，桥与河垂直），设护城河以及两座桥都是东西、南北方向的，如何选址造桥可使从处到处的路程最短？请确定两座桥的位置． (1)如图①，如果点，点到外河岸的距离都是，请确定两座桥的位置，画出示意图． (2)如图②，如果点，点到外河岸的距离分别是和，请确定两座桥的位置，画出示意图． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了最短路径问题，由于有固定的长度的线段，常用的方法通过平移，构造平行四边形，将问题转化为平行四边形的问题解答． （1）过点作垂直于河岸，等于河宽；过点作垂直于河岸，连接，分别与河岸相交于点，，接下来再过作河岸的垂线，即可找到两座桥的位置． （2）过点作垂直于河岸，等于河宽；过点作垂直于河岸，等于河宽；连接，分别与河岸相交于点，，接下来再过作河岸的垂线，即可找到两座桥的位置． 【详解】（1）解：如图所示，即为两座桥的位置． （2）解：如图所示，即为两座桥的位置． 题型四 平移作图（共3小题） 10．（25-26七年级下·江苏苏州·月考）如图，在方格纸中平移三角形至三角形，使点A移动到点D，点B的对应点是点E． (1)画出平移后的三角形； (2)写出与的位置关系； (3)连接，，求证：． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】（1）根据题意，得到这是一个向下平移3，再向右平移4的平移变换； （2）根据平移变换的性质求解即可； （3）根据平行线的性质证明即可： 【详解】（1）解：设小正方形的边长为1，根据题意，这是一个向下平移3，再向右平移4的平移变换，画图如下： 则三角形即为所求． （2）解：根据题意，得； （3）证明：由平移可知，，， ∴ ∴， 即． 11．（24-25七年级下·江苏常州·期中）如图，在每个小正方形的边长为1个单位长度的网格中，点、、都在格点上． (1)将向右平移3个单位，再向下平移2个单位得到，请作出； (2)连结，，则线段和线段的关系为______； (3)在整个平移的过程中，求线段扫过的面积． 【答案】(1)图见解析 (2)平行且相等 (3)线段扫过的面积是 【分析】本题考查平移变换和线段之间的位置关系，熟练掌握网格中图形平移的方法是解题的关键， （1）根据题中的平移方法平移即可得到； （2）连结，由图可得线段和线段的关系为平行且相等； （3）线段扫过的面积，据此求出结论即可． 【详解】（1）解：由题可得：就是所要求作的三角形，如下图： （2）解：连结，，如下图所示： 由图可得：线段和线段的关系为平行且相等． （3）解：线段扫过的面积． 12．（24-25七年级下·江苏南通·期中）（1）如图，火车站、码头分别位于A，B两点，直线a，b分别表示河流与铁路． ①请画图说明从火车站到码头怎么走最近？画图的依据是______． ②请画图说明从火车站到河流怎么走最近？画图的依据是______． （2）在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，的三个顶点的位置如图所示现将平移，使点C变换为点D，点A、B的对应点分别是点E、F．在图中请画出平移后得到的． 【答案】（1）①画图见详解，两点之间线段最短；②画图见详解，垂线段最短；（2）见详解 【分析】本题考查了线段的性质、垂线段的性质，网格平移画图；理解相关性质，会平移作图是解题的关键． （1）①连接，沿线段走最近，即可求解； ②作直线交于，沿线段走最近，即可求解； （2）由点C变换为点D得向右平移，向下平移，即可求解． 【详解】（1）解：①如图，连接，沿线段走最近， 依据：两点之间，线段最短； 故答案为：两点之间线段最短； ②如图，作直线交于，沿线段走最近， 依据：垂线段最短； 故答案为：垂线段最短； （2）解：点C变换为点D， 向右平移，向下平移； 如图， 为所求作． 题型五 轴对称图形（共3小题） 13．（25-26九年级上·江苏南京·期中）下列图形：①正三角形；②正四边形；③正五边形；④正六边形．其中，存在互相垂直的对称轴的图形有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查正多边形的对称轴以及对称轴之间的位置关系．涉及到正多边形对称轴的数量和性质等知识点．解题关键在于准确掌握不同正多边形对称轴的特点，通过分析对称轴的位置来判断是否存在互相垂直的情况．依次分析每个正多边形对称轴的情况，判断是否存在互相垂直的对称轴．对于正多边形，其对称轴是通过正多边形的中心和顶点或者边的中点的直线．根据正多边形的性质，确定其对称轴的数量和位置关系，进而判断是否有互相垂直的对称轴． 【详解】解：①正三角形有条对称轴，相邻对称轴夹角为，不垂直，故不符合题意； ②正四边形（正方形）有条对称轴，其中两条对角线互相垂直，故存在互相垂直的对称轴，符合题意； ③正五边形有条对称轴，相邻对称轴夹角为，不垂直，故不符合题意； ④正六边形有条对称轴，方向间隔（如、、、等），其中（通过顶点）与（通过边中点）的对称轴夹角为，垂直，符合题意． 综上所述：满足条件的图形是②正四边形和④正六边形，共2个． 故选：B． 14．（24-25七年级下·江苏淮安·期中）如图，有5个小正方形，现从标有数字1，2，3，4的四个小正方形中拿走一个，使剩余的四个小正方形组成的图形成为一个轴对称图形，则应该拿走的小正方形的标号是__________． 【答案】2 【分析】本题考查了轴对称图形，正确掌握轴对称图形的性质是解题的关键． 根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形进行分析即可． 【详解】解：从四个小正方形中拿走一个，成为一个轴对称图形， 则应该拿走的小正方形的标号是． 故答案为： ． 15．（24-25七年级下·江苏连云港·期中）如图，这是由8个边长相等的正六边形组成的图形，该图形________轴对称图形（填“是”或“不是”），若在5个白色的正六边形中，选择2个涂黑，使涂黑的2个正六边形和原来3个被涂黑的正六边形恰好组成轴对称图形，则选择的方案最多有________种． 【答案】 不是 8 【分析】本题考查了轴对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，根据轴对称图形的定义求解即可，熟练掌握轴对称图形的定义是解此题的关键． 【详解】解：由轴对称图形的定义并结合图形可得该图形不是轴对称图形， 如图， 涂黑的方案有：选择、、、、、、、时，均可得到轴对称图形，即选择的方案最多有种， 故答案为：不是，． 题型六 作已知线段的垂直平分线（共3小题） 16．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）如图，已知两个小区和两条公路，（点，表示小区，，表示公路），现计划在内建造一所超市，希望这所超市到这两个小区的距离相等，并且到两条公路的距离也相等，你能确定一下超市的位置吗？请在所给的图中标出超市所在的位置，保留作图痕迹． 【答案】见解析 【分析】本题考查了尺规作图，作角平分线、作垂直平分线，掌握角平分线和垂直平分线的性质是解题的关键．连接，作的垂直平分线，作的平分线，与两直线的交点即为超市所在的位置． 【详解】解：如图所示，点即为所求超市的位置． 17．（25-26八年级上·江苏无锡·月考）现有两条高速公路l1、l2和两个城镇A、B（如图），准备建一个燃气控制中心站P，使中心站到两条公路距离相等，并且到两个城镇的距离也相等，请你利用直尺和圆规作出中心站P的位置． 【答案】见解析 【分析】本题考查了角平分线和线段垂直平分线的性质及其尺规作图，熟练掌握角平分线和线段垂直平分线的性质及其作法是解题的关键．作出角平分线、线段的垂直平分线，交点就是所求． 【详解】解：如图，分别作出线段的垂直平分线和l1、l2夹角的角平分线，两者的交点即为点的位置． 18．如图，已知． (1)请用尺规作图法作出的垂直平分线，垂足为D，交于点E； (2)请用尺规作图法作出的平分线，交于点F； (3)请用尺规作图法在上找一点P，使的周长最小．（注意：保留作图痕迹，不写作法） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了角平分线的作法以及线段垂直平分线的作法以及轴对称中最短路线问题，解题的关键是把两条线段的和转化为一条线段，运用三角形三边关系解决； （1）利用线段垂直平分线的作法得出的垂直平分线即可； （2）利用角平分线的作法得出即可； （3）由于的周长，而是定值，故只需在上找一点，使最小，作出关于的对称点为，连接得出即可． 【详解】（1）解：如图所示：即为所求； （2）解：如图所示：即为所求； （3）解：如图所示：点即为所求． 题型七 作垂线（共3小题） 19．（25-26八年级上·江苏南京·月考）如图，已知，线段．分别作等腰，且顶角．（尺规作图，保留作图痕迹，写出必要的文字说明） (1)底边上的高为； (2)腰上的高为． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了基本的尺规作图——作一个角等于已知角，垂线，解题的关键是掌握基本的尺规作图的步骤． （1）先作，再作的角平分线，在角平分线上截取线段等于，过线段的端点作垂线，交的两边于两点，即为的顶点和； （2）作一条直线，在直线上找一点，过点作垂线，在直线上截取，交点为，过点作，作，交直线于点，以点为圆心，长为半径画弧，交直线于点，连接即可． 【详解】（1）解：如图即为所求，，为底边上的高等于， ∴，，， ∴， ∴， ∴为等腰三角形； （2）解：如图即为所求，，为腰上的高等于，为等腰三角形， 作，且，满足高的要求， ∵， ∴， 作， ∴,满足角的要求， 又∵， ∴为等腰三角形． 20．（25-26八年级上·江苏南京·月考）已知， (1)如图①，在边上找一点，使点到的距离等于到的距离． (2)如图②，在边上找一点，使点到点的距离等于到的距离．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出必要的文字说明）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了作图-复杂作图，点到直线的距离，解题的关键是熟练掌握基本作图． （1）作的平分线即可； （2）过C作的垂线交的延长线于D，再作的平分线，根据角平分线的性质可证，E到的距离和E到的距离相等，也即E到点C的距离等于E到的距离，E为所求． 【详解】（1）解：如图①，点D即为所求； （2）解：如图②，过C作的垂线交的延长线于D，再作的平分线与的交点E即为所求 21．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）如图，直角三角形中，，，，，用无刻度的直尺和圆规完成下列作图． (1)作边的中点D； (2)作的平分线，交边于点E； (3)作点C关于直线的对称点F； (4)直接写出的长为________． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)见解析； (4)． 【分析】（1）作线段的垂直平分线，垂足为D，点D即为所求； （2）作射线平分交于点E即可； （3）以B为圆心，为半径作弧交于点F，点F即为所求； （4）求出，可得结论． 【详解】（1）解：如图，点D即为所求； （2）解：如图，射线即为所求； （3）解：如图，点F即为所求； （4）解：，， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查作图-轴对称变换，角平分线的定义，线段垂直平分线的性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 题型八 作角平分线（共3小题） 22．（25-26七年级上·江苏连云港·期中）如图，点O在直线上，画出的平分线．若，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的画法及利用角平分线的定义计算，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键； 根据尺规基本作图-作已知角的平分线的步骤作出的平分线，再由是的平分线，可求出，最后利用角的和差，计算即可. 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵平分． ∴， ∴． 23．（25-26八年级上·江苏南京·期中）已知，．用两种不同的方法在边上找一点，使点到点的距离等于点到的距离．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出必要的文字说明）． 【答案】见解析 【分析】此题考查了尺规作图的基本方法，解题的关键在于将题目要求转化为对应的作图方法． 根据线段中垂线上的点到线段两端点的距离相等作中垂线，角平分线上的点到角两边的距离相等作角平分线，再根据等腰三角形的性质转化等长线段即可． 【详解】解：①如图1所示， 先以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交、于、两点，再分别以、为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧交于点，作射线，即作出的角平分线，与交于点； 连接，分别以点、点为圆心，取大于的长度在两侧作弧，相交于、两点，即作的中垂线； 交于点，点即为所求； 是的角平分线， ， 由于为的中垂线，交于点， ， ， ， ， ，故为点到的距离， 则点到点的距离等于点到的距离． ②如图2所示，先以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交、于、两点，再分别以、为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧相交于点，作射线，即作出的角平分线，与交于点； 以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交、于、两点，再以点为圆心，相同的长为半径作弧，与交于点，再以点为圆心，的长为半径作弧，与前弧交于点，作射线，则，交于点，点即为所求； 是的角平分线， ， ， ， ， ， ， 故为点到的距离， 则点到点的距离等于点到的距离． 24．（25-26八年级上·江苏无锡·月考）按要求作图： (1)尺规作图，在边上找一点N，使得．（保留作图痕迹） (2)在边上找到点D，使得平分；（保留作图痕迹） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题考查作图—复杂作图，解题的关键是熟练掌握基本几何图形的性质，结合几何图形的性质把复杂的作图拆解成基本作图， （1）作线段的垂直平分线，交于点N，根据线段垂直平分线的性质得到，则； （2）延长至格点E，使，连接，取的中点F，连接交于点D； 【详解】（1）解：如图，点N即为所求； （2）解：如图，点D即为所求； 题型九 根据轴对称图形的性质进行求解（共3小题） 25．如图，点P在的内部，点C和点P关于直线对称，点P关于直线的对称点是点D，连接交于点M，交于点N． (1)若，求的度数； (2)若，的周长为 ． 【答案】(1) (2)4 【分析】本题考查轴对称的性质与运用，熟知轴对称的性质是解题关键． （1）根据轴对称的性质，可知，，可以求出的度数； （2）根据轴对称的性质，可知，，根据周长定义可以求出的周长． 【详解】（1）解：点和点关于对称， ， 点关于对称点是， ， ， ∴ ； （2）解：点和点关于对称， ， 点关于对称点是， ， ， ， ， 即的周长为． 故答案为：． 26．（24-25七年级下·江苏徐州·期中）如图，已知点是内的一点，、分别是点关于、的对称点，连接与、分别相交于点、，已知． (1)求的周长； (2)连接、，若，求的度数． 【答案】(1)10 (2) 【分析】本题考查的是轴对称的性质，熟记轴对称的性质是解本题的关键； （1）根据轴对称的性质可得，再结合三角形的周长公式可得答案； （2）根据轴对称的性质可得，再结合角的和差运算可得答案； 【详解】（1）解：、分别是点关于、的对称点，且、分别在、上， ，， 又， ． （2）解：连接， 、分别是点关于、的对称点， ，， 又， ， ， 又， ． 27．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）如图，已知． 【初步认识】 （1）尺规作图：求作直线，使和关于直线对称；（不写作法，保留痕迹） 【理解应用】 （2）如图，若在内部，和关于对称，和关于对称，求的度数； （3）如图，若在外部，且，和关于对称，和关于对称，求的度数； 【拓展提升】 （4）若和关于的边对称，且，则的度数是_____． 【答案】（）作图见解析；（）；（）；（）或． 【分析】本题考查了尺规作图——角平分线，轴对称的性质，角度和差，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． （）作平分，直线即为所求； （）根据和关于对称，得到，根据和关于对称，得到，根据角的和差即可得到结论； （）根据和关于对称，得到，根据和关于对称，求得，根据角的和差即可得到结论； （）在内部，当在外部，根据轴对称的性质即可得到结论． 【详解】解：（）如图中，直线即为所求； （）如图中， ∵和关于对称， ∴， 又∵和关于对称， ∴， ∵， ∴； （）如图中， ∵和关于对称， ∴， 又∵和关于对称， ∴， ∵， ∴； （）在内部，如图， ∵，关于对称， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ 当在外部， ∵， ∴射线在射线的上面，如图， ∵，关于的边对称， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上所述，或， 故答案为：或． 题型十 台球桌面上的轴对称问题（共3小题） 28．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）如图，弹性小球从点出发，沿所示方向运动，每当小球碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第次碰到长方形的边时，落脚点为；第次碰到长方形的边时落脚点为；第次落脚点为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了台球桌面上的轴对称问题，根据题意画出图形，可得弹性小球经过次碰到长方形的边后回到出发点，据此解答即可求解，找出弹性小球的反弹规律是解题的关键． 【详解】解：如图所示， 可知弹性小球经过次碰到长方形的边后回到出发点， ∵， ∴弹性小球第次落脚点为图中的点， 故选：． 29．（24-25七年级下·江苏南京·期中）如图，桌球的桌面上有M，N两个球，若要将M球射向桌面的一边，反弹一次后击中N球，则A，B，C，D，4个点中，可以反弹击中N球的是 __点． 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称的知识，注意结合图形解答，不要凭空想象，实际操作一下． 【详解】解：如图， 可以瞄准点击球． 故答案为：． 30．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）如图，长方形台球桌上有两个球E，F．（保留作图痕迹，工具不限） (1)请你设计一条路径，使得球F撞击台球桌边反射后，撞到球E； (2)请你设计一条路径，使得球F连续撞击台球桌边、反射后，撞到球E． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查轴对称，解题的关键是学会利用轴对称解决问题，属于中考常考题型． （1）作点F关于直线的对称点，连接交于P，连接，点P即为所求； （2）作点F关于直线的对称点，点E关于的对称点，连接交于M，交于N，连接，，点M，N即为所求． 【详解】（1）解：如图1中，路径是． （2）解：如图2中，路径是． 题型十一 轴对称中的光线反射问题（共3小题） 31．（24-25七年级下·江苏南京·期中）如图所示，两个平面镜平行放置，光线经过平面镜反射时，，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质和平角的定义，掌握平行线的性质是本题的关键． 先根据平角的定义求出的度数，再根据平行线的性质，即要得出结果． 【详解】解：， ， ∵两个平面镜平行放置， ∴经过第二次反射后的反射光线与第一次反射的入射光线平行， ； 故选：A． 32．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）如图，一束水平光线照在有一定倾斜角度的平面镜上，若入射光线与反射光线的夹角为50°，则平面镜与水平地面的夹角的度数是______． 【答案】65° 【分析】作CD⊥平面镜，垂足为G，交地面于D．根据垂线的性质可得∠CDH+α=90°，根据平行线的性质可得∠AGC=∠CDH，根据入射角等于反射角可得，从而可得夹角的度数． 【详解】解：如图，作CD⊥平面镜，垂足为G，交地面于D． ∴∠CDH+α=90°， 根据题意可知：AG∥DF， ∴∠AGC=∠CDH， ， ∴∠CDH=25°， ∴α=65°． 故答案为：65°． 【点睛】本题考查了入射角等于反射角问题，解决本题的关键是掌握平行线的性质、明确法线CG平分∠AGB． 33．（25-26七年级上·江苏无锡·期末）【发现】小明拿激光笔照射到水平桌面上的平面镜时，发现光线经过反射后投射到天花板上，当他改变激光笔的角度时，天花板上的光点也随之移动．经过查阅资料，小明了解到光线在镜面上反射时，如图1，入射光线与镜面的夹角等于反射光线与镜面的夹角，即． 【探究】如图2，小明将平面镜放置在水平桌面上，激光笔发出的光线射到平面镜上，反射光线射到天花板（直线）上，． (1)若平面镜水平放置于桌面上，当激光笔与桌面的夹角时，请在图2中，画出反射光线，并在图中标出反射光线与天花板所夹锐角的大小． (2)如图3，转动平面镜，若平面镜与桌面形成的夹角，，且． ①当，时，求的大小； ②直接用含，的代数式表示出的大小． (3)如图4，小明把平面镜水平放置，当时，再添一面平面镜，将两平面镜相对放置，光线经过两次反射，得到反射光线，当平面镜如何放置时，光线？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)①；② (3)当平面镜水平放置时，光线 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，轴对称的性质； （1）根据入射光线与镜面的夹角等于反射光线与镜面的夹角，即可求解； （2）①过点作，分别表示出，得出，进而根据平行线的性质，即可求解； ②根据①的结论，即可求解． （3）根据题意可得，根据得出，由，，得出，即可判断，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示， （2）解：①如图所示，过点作， ∴， ∵ ∴， 又∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵， ∴ ②由①可得 （3）解：如图所示， 依题意， ∵， 又∵ ∴ ∴ ∴，即当平面镜水平放置时，光线 题型十二 折叠问题（共3小题） 34．（25-26七年级上·江苏镇江·期末）如图，将长方形沿折叠后，与交于G点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质、翻折变换(折叠问题)，正确观察图形，熟练掌握平行线的性质是解题的关键； 根据两直线平行，内错角相等，求得，然后利用折叠的性质，得，最后利用平角求得的度数． 【详解】解：∵长方形沿折叠后，， ∴， ∴， 由折叠可知，， ∴， 故选：B． 35．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）如图，，，点E是射线上一点，连接，将沿着翻折得到，点C的对应点为点F，若，那么的度数为________． 【答案】或 【分析】分点在之间和点在上方两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：，， ∴，， 当点在之间时，如图， ∵折叠， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②当点在上方时， 则：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上：或． 36．（25-26七年级上·江苏连云港·期末）【教材再现】（1）教材第201页有这样一道试题：如图1，将长方形纸片沿着折叠后，点D，C分别落在点，的位置，的延长线交于点G，，求，的大小； 【反思探究】（2）小明在解决完课本上的这道习题后，进行了如下总结：解决折纸问题的关键是要抓住长方形纸片中的平行关系以及折叠所带来的等角关系．于是，他又进行了以下探究活动． ①在（1）的条件下，求图1中的度数； ②将长方形纸带沿着折叠成图2，交边于点G；再将图2中的纸片沿着折叠成图3；再将图3中的纸片沿着折叠成图4；再将图4中的纸片沿着折叠，恰好与重叠．则图2中，的度数是多少？ 【拓展应用】（3）如图5，一张足够长的长方形纸条，点E，F分别在，上，是一个度数为的锐角．如图6，将纸条折叠，使得与重合，打开铺平，得到折痕；如图7，再将纸条折叠，使得与重合，打开铺平，得到折痕；…如此反复操作．若第5次操作时，所得的，请直接写出x的值． 【答案】（1），（2）①②（3）80 【分析】本题考查折叠的应用，平行线的应用，一元一次方程，掌握知识点是解题的关键． （1）先推导出，得到，推导出，则； （2）①先求出，推导出，则，即可解答； ②设，得到，推导出，则，进而推导出，，由，得到，求出x的值即可； (3)先求出，，，按此规律，得到，推导出，由，得到，即，求出x的值即可． 【详解】解：（1）如图1， ∵四边形是长方形， ∴， ∴， 由折叠的性质可知，． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）①如图1， ∵， ∴， 由折叠的性质可知，， ∵， ∴， ②设，如图2， 有 ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 如图3， 有， ∴， 如图4， 有， ∴， 由题意，， 即， 解得 ∴． (3)如图6， 有， 如图7， 有 ∴， 同理可得 ， 按此规律，， 如图8， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 解得． 题型十三 对称轴（共3小题） 37．（25-26八年级上·江苏无锡·月考）如图，网格中的与为轴对称图形． (1)利用网格线作出与的对称轴l； (2)结合所画图形，在直线l上画出点P，使最小． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了轴对称图形与轴对称的性质、两点之间线段最短，解题的关键是掌握以上性质． （1）连接对应点，利用网格作出对应点连线的垂直平分线即可得； （2）连接，与直线的交点即为点． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求； 连接，利用网格图形作的垂直平分线，即正方形的对角线所在的直线， ∴直线即为对称轴； （2）解：如图所示，点即为所求； 连接，交直线于点， 根据轴对称的性质，， 根据两点之间线段最短得， 此时，此时的值最小． 38．（24-25七年级下·江苏南京·期末）如图，已知是轴对称图形，D是上一点．用直尺和圆规按下列要求作图（保留作图痕迹，可以写出必要的文字说明） (1)作的对称轴m； (2)过点D作一条直线n，与交于点E，使 【答案】(1)见解答 (2)见解答 【分析】本题考查作图-轴对称变换、平行线的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）作线段AC的垂直平分线m即可． （2）先作的平分线，再在的下方作交于点E，作所在的直线n即可． 【详解】（1）解：如图，作线段的垂直平分线m， 则直线m即为所求． （2）如图，先作的平分线，再在的下方作交于点E，作所在的直线n， 则直线n即为所求． 39．如图①②③所示的图案是用黑白两种颜色的正方形纸片拼成的． (1)如图①所示的图案是轴对称图形吗？若是，有几条对称轴？ (2)如图②，③所示图案是否是轴对称图形？若是，有几条对称轴？ (3)请你推断，按此规律下去，第n个图案是否是轴对称图形？若是，有几条对称轴？ 【答案】(1)图案是轴对称图形，有4条对称轴 (2)图②是轴对称图形，都有2条对称轴；图③是轴对称图形，有2条对称轴 (3)第n个图案是轴对称图形，有2条对称轴 【分析】本题考查的是轴对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 根据轴对称图形的概念判断即可． 【详解】（1）图案是轴对称图形，有4条对称轴； （2）图②是轴对称图形，都有2条对称轴；图③是轴对称图形，有2条对称轴． （3）第n个图案是轴对称图形，有2条对称轴． 题型十四 镜面对称（共3小题） 40．（25-26八年级上·江苏淮安·期中）从镜子中看到的这个号码  ，实际上是______． 【答案】 【分析】本题考查了镜面对称，正确理解轴对称的性质是解题的关键，注意体会物体与镜面平行放置和垂直放置的不同．根据镜面对称的性质：在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称；据此解答即可得． 【详解】解：由镜面对称的性质可知，这个号码实际上是， 故答案为：． 41．（24-25八年级上·江苏泰州·月考）雨后从地面水洼处观察到一辆小汽车的车牌号为，它的实际车牌号是________． 【答案】GFT2567 【分析】本题考查了镜面反射的性质；解决本题的关键是得到对称轴，进而得到相应数字．关于倒影，相应的数字应看成是关于倒影下边某条水平的线对称． 【详解】解：实际车牌号是：GFT2567． 故答案为：GFT2567． 42．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）某人在照镜子时，从镜中看到后面墙上有一个五位数88018，请问原来墙上真正的数应为_____． 【答案】81088 【分析】题考查了镜面反射的性质，根据镜面对称的性质，在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称． 【详解】解：根据镜面对称性质得出：实际五位数为81088， 故答案为：81088． 题型十五 旋转现象（共3小题） 43．（24-25七年级下·江苏徐州·期中）下列说法中，正确的是（   ） A．“丽丽把教室的门打开”属于平移现象 B．能够互相重合的两个图形成轴对称 C．“气球升空”属于平移现象 D．“摆钟的钟摆在摆动”属于旋转现象 【答案】D 【分析】本题主要考查平移、轴对称和旋转的定义，在实际当中的运用，把一个图形整体沿某一方向移动一定的距离，图形的这种移动，叫作平移；在平面内，一个图形绕着一个定点旋转一定的角度得到另一个图形的变化叫作旋转． 【详解】解：A、“丽丽把教室的门打开”属于旋转现象，故A选项错误，不符合题意； B、能够互相重合的两个图形不一定成轴对称，故B选项错误，不符合题意； C、“气球升空”路线不固定，不一定是平移，故C选项错误，不符合题意； D、“钟表的钟摆在摆动”属于旋转现象，故D选项正确，符合题意． 故选：D． 44．（24-25七年级上·江苏苏州·开学考试）下列图形中不能由下图旋转得到的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】在平面内，将一个图形绕一点按某个方向转动一个角度，这样的运动叫作图形的旋转． 【详解】 解：是通过轴对称得到的，不是通过旋转得到的． 故选：C． 45．如图，以下图形变化能使图形甲和图形乙重合的是（      ） A．将甲绕点顺时针旋转． B．将乙绕点逆时针旋转． C．将甲绕着和中垂线的交点顺时针旋转． D．将甲先向下平移至点和重合，再绕点逆时针旋转． 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的性质，由旋转的性质可得将甲绕着和中垂线的交点顺时针旋转，图形甲和图形乙重合． 【详解】解：A、将甲绕点顺时针旋转，图形甲和图形乙不能重合，不符合题意； B、将乙绕点逆时针旋转，图形甲和图形乙不能重合，不符合题意； C、将甲绕着和中垂线的交点顺时针旋转，图形甲和图形乙重合，符合题意； D、将甲先向下平移至点和重合，再绕点逆时针旋转，图形甲和图形乙不能重合，不符合题意． 故选：C． 题型十六 旋转中心、旋转角、对应点（共3小题） 46．如图，在正方形网格中，△绕某一点旋转某一角度得到△，则旋转中心可能是（    ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】B 【分析】本题考查了学生的理解能力和观察图形的能力，注意：旋转时，对应顶点到旋转中心的距离应相等且旋转角也相等，旋转中心在连接对应点线段的垂直平分线上．连接、、，作的垂直平分线，作的垂直平分线，作的垂直平分线，交点为旋转中心． 【详解】解：如图， △绕某点旋转一定的角度，得到△， 连接、、， 作的垂直平分线，作的垂直平分线，作的垂直平分线， 三条线段的垂直平分线正好都过， 即旋转中心是． 故选：． 47．（24-25八年级下·江苏淮安·月考）如图，在正方形网格中，图②是由图①绕点、、、中的某一点逆时针旋转得到，其旋转角度是______． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，连接对应点，作对应点连线的垂直平分线，交点即为旋转中心，结合网格即可求得旋转角，即可求解． 【详解】解：如图， 旋转中心为点，旋转角为 故答案为：． 48．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）如图，网格中每个小正方形边长为1，的顶点都在格点（网格线的交点）上，利用网格画图． (1)在图（1）中画出将先向上平移3格，再向左平移2格，得到的（点的对应点为，点的对应点为，点的对应点为），请在图上标出，并求出线段扫过图形的面积为__________； (2)通过旋转可以使其与重合，请用无刻度的直尺在图（2）中确定旋转中心（保留作图痕迹），并标出点． 【答案】(1)图形见解析，14 (2)图形见解析 【分析】本题考查作图-旋转变换、作图-平移变换； （1）根据平移的性质作图即可；利用割补法计算即可． （2）结合旋转的性质，连接，分别作线段的垂直平分线，相交于点，则点即为所求． 【详解】（1）解：如图（1），即为所求． 线段扫过图形的面积为． 故答案为：14． （2）解：如图（2），连接，分别作线段的垂直平分线，相交于点，则绕点逆时针旋转可以与重合， 则点即为所求． 题型十七 根据旋转的性质求解（共3小题） 49．如图，小聪将三角尺绕点C逆时针方向旋转到的位置，其中为，为直角，若点A，C、E在一条直线上，则此次旋转变换中旋转角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．先利用互余的性质计算出，再根据旋转的性质得到等于旋转角，根据平角的定义即可求得旋转角的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵绕点C逆时针方向旋转到的位置，且点A、C、E在同一条直线上， ∴等于旋转角， 根据旋转的性质知：， ∴， ∴旋转角的度数为． 故选：C． 50．（25-26七年级上·江苏盐城·期末）如图，分别过直线上的点和点作射线、，，，射线从开始绕点以每秒的速度按顺时针方向旋转，同时射线从开始绕点以每秒的速度按顺时针方向旋转，在射线旋转一周的过程中，经过____秒，射线、射线所在的直线互相垂直． 【答案】15或60 【分析】本题考查了一元一次方程的运用、旋转的性质等知识点，在旋转中把角度表示出来是解答本题的关键． 情况一：如图：，，又，所以，故；情况二：如图：，，所以，故． 【详解】解：情况一，如图： ∴， ∴， 又∵，， ∴，解得：； 情况二，如图： ∴， ， 又∵， ∴，解得：． 综上，在射线旋转一周的过程中，经过15或60秒，射线、射线所在的直线互相垂直． 故答案为：15或60． 51．（25-26七年级下·江苏南京·期中）取一副三角板按图①拼接，固定三角板，将三角板绕点依顺时针方向旋转一定的角度得到．请问： (1)如图②，当与垂直时，求的度数； (2)如图①，三角板绕点以顺时针方向旋转，旋转速度为每秒，旋转时间为，三角板旋转一周时停止运动，当三角板的一边与平行时，求出时间的值（直接回答，不用证明）． 【答案】(1)或 (2)的值为5秒或35秒或50秒或65秒或95秒或110秒． 【分析】（1）分两种情况讨论，利用垂直和旋转的性质求解即可； （2）由旋转性质依次分析不同情况，作出图形，由平行线的性质求出旋转角度即可得到答案． 【详解】（1）解：①如图，令与的交点为， ， ， ， ； ②如图，延长交于点， ， ， ； 综上可知，的度数为或； （2）解：三角板绕点依顺时针方向旋转，旋转速度为每秒，旋转一周停止． 当三角板的一边与平行时，分下列情况讨论： ①，如图， ， ，即旋转角为， 秒； ②，如图，令与的交点为， ， ， ，即旋转角为， 秒； ③，如图， ，即旋转角为， 秒； ④（第二次平行），如图， ， 旋转角为， 秒； ⑤（第二次平行），如图， 同（1）②理可得：， 旋转角为， 秒； ⑥（第二次平行），如图所示： ， 旋转角为， 秒． 综上， 的值为5秒或35秒或50秒或65秒或95秒或110秒． 题型十八 画旋转图形（共3小题） 52．（25-26七年级上·江苏宿迁·期中）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，三角形的顶点都在网格点上． (1)画出将三角形向右平移7个单位长度，再向上平移1个单位长度后的三角形； (2)画出将三角形绕点按逆时针方向旋转后的三角形． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 【分析】本题考查平移作图，旋转作图．熟练掌握平移和旋转的性质，是解题的关键． （1）根据平移规则，画出即可； （2）根据旋转的性质，画出即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求． 53．如图是一个微型风车模型，风车的四叶分别标记为“①、②、③、④”，观察图形，回答以下问题． (1)图1的风车绕中心先顺时针旋转，形成图2的状态，再逆时针旋转180°，形成图3的状态，请在图2、图3的四叶上分别标记“①、②、③、④”． (2)图1的风车绕中心顺时针旋转2610度后，风叶①到达了图4____的位置、（填入A、B、C、D） (3)图1所示风车绕中心逆时针最少旋转_____度，风叶①也能到达第（2）问中位置． (4)图1所示风车中风叶①最少翻折______次，也能到达第（2）问中位置．（对称轴可以自己选择） 【答案】(1)见解析； (2)； (3)； (4)． 【分析】本题考查旋转对称图形，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）利用旋转变换的性质解决问题即可； （2）观察图形可知，旋转一次循环，由可得结论； （3）利用旋转变换的性质判断即可； （4）利用翻折变换作出图形判断即可． 【详解】（1）解：答案见图2，图3； （2）解：观察图形可知，旋转一次循环， ， 所以风叶①到达了图4位置． （3）解：图1所示风车绕中心逆时针旋转度（旋转一周内），风叶①也能到达第（2）问中位置． 故答案为：； （4）解：由如图5可知，最少翻折次，也能到达第（2）问中位置． 故答案为：． 54．（24-25七年级下·江苏镇江·期中）如图，在边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格中，A，B，C，D均为格点（即每个小正方形的顶点），线段关于直线对称的线段为． (1)线段绕点B顺时针旋转90°得到线段，在图1中画出线段、； (2)线段绕点B顺时针旋转α（）得到线段，若D，B，F三点共线，则与的关系为 （用等式表示）． 【答案】(1)图见详解 (2) 【分析】本题考查利用网格作图——旋转变换，轴对称的性质； （1）与是关于对称的，根据轴对称的性质，利用网格找到A点正上方两格处的E点，连接即为所求，是由绕点B顺时针旋转90°得到，找到B点下两格右四格的F点，连接即为所求； （2）由图2中网格可得，，所以. 【详解】（1）解：如图1中，线段BE，BF即为所求； （2）解：由图2中网格可得：，， ∴. 故答案为：． 题型十九 中心对称图形（共3小题） 55．（24-25八年级下·江苏苏州·期中）下列图案中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据轴对称图形（如果一个平面图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形）、中心对称图形（把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形称为中心对称图形）的定义依次对各图案进行判断即可． 【详解】解：A．该图案既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意； B．该图案既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C．该图案既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D．该图案是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意． 56．（25-26九年级上·江苏徐州·期中）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．掌握中心对称图形与轴对称图形的定义是解题的关键． 根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：4个图形都是轴对称图形，也是中心对称图形． 故选：D． 57．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）“七巧板”被誉为“东方魔方”，如图是一个由七巧板拼成的边长为4的正方形．现从中选取5块拼成一个四边形（拼图不能有空隙和重叠），若这个四边形既是轴对称图形又是中心对称图形，则这个四边形的面积是________． 【答案】8 【分析】本题考查七巧板，轴对称图形，中心对称图形．先根据轴对称图形和中心对称图形的定义判断出四边形的形状为正方形，再拼出图形，即可求解． 【详解】解：七块七巧板拼成的正方形边长为4， 这个大正方形的面积为16， 如图，用2块大直角三角形之外的5块七巧板拼成正方形， 这个四边形的面积是， 故答案为：8． 题型二十 根据中心对称性质求面积、长度、角度（共3小题） 58．如图，与关于点O成中心对称，下列结论成立的是 ________（填序号）． ①点A与点是对应点； ②； ③； ④． 【答案】①②③ 【分析】本题考查了中心对称的性质，利用中心对称的性质解决问题即可． 【详解】解：∵与关于点O成中心对称， ∴， ∴点A与点是对称点，，， 故①②③正确， 故答案为：①②③． 59．（24-25七年级下·江苏南京·期中）如图，和关于点成中心对称． (1)找出它们的对称中心O； (2)若，，，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)18 【分析】本题考查了中心对称，正确掌握中心对称图形的性质是解此题的关键． （1）连接、，其交点就是对称中心； （2）根据和关于点成中心对称，得出，，，再由三角形周长公式计算即可． 【详解】（1）解：如图所示，点即为所求．（作法不唯一） （2）解：∵和关于点成中心对称， ∴，，， ∴的周长， 答：的周长为18． 60．（24-25七年级下·江苏连云港·期中）【问题探究】 （1）如何用一条直线将一个中心对称图形分成面积相等的两部分？我们知道圆和长方形都是中心对称图形，由图①可总结规律：一个中心对称图形，______的直线将它分成面积相等的两部分． （2）图②是一个由正方形和圆构成的“组合图形”，用一条直线将图②的阴影部分分成面积相等的两部分．（不写画图过程，保留画图痕迹） 【总结规律】 （3）由两个中心对称图形组合成的图形，______的直线将它分成面积相等的两部分． 【拓展应用】 （4）如图③是一块农田的平面图，要分给两户村民种植（分成面积相等的两部分），请你帮助他们用一条直线分开．（不写画图过程，保留画图痕迹） 【答案】（1）经过对称中心；（2）见解析；（3）经过两个中心对称图形的对称中心；（4）见解析 【分析】本题考查作图中心对称设计图案，中心对称图形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据中心对称图形的性质解答即可； （2）连接，交于点，作直线即可； （3）根据（2）总结规律即可； （4）把几何图形分割成两个矩形，分别作出两个矩形的对称中心，，作直线即可． 【详解】解：（1）一个中心对称图形，经过对称中心的直线将它分成面积相等的两部分． 故答案为：经过对称中心； （2）如图，直线即为所求； （3）由两个中心对称图形组合成的图形，经过两个中心对称图形的对称中心的直线将它分成面积相等的两部分． 故答案为：经过两个中心对称图形的对称中心； （4）如图，直线即为所求． ． 题型二十一 在方格纸补画图形成为中心对称图形（共3小题） 61．（24-25七年级下·江苏连云港·期中）如图1，都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，将其中四个小等边三角形涂上阴影． (1)请在图2中再将两个小三角形涂上阴影，使得阴影部分的图形是轴对称图形； (2)请在图3中再将两个小三角形涂上阴影，使得阴影部分的图形是中心对称图形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查利用轴对称图形和中心对称图形的定义设计图案，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，并熟练掌握如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形是解题的关键 （1）根据轴对称图形的定义画出图形即可； （2）根据中心对称图形的定义画出图形即可． 【详解】（1）解：如下图，4个涂阴影的小三角形组成的图形是轴对称图形 （2）如下图，4个涂阴影的小三角形组成的图形是中心对称图形． 62．（24-25七年级下·江苏常州·期中）在如图1的方格纸中，用五个相同的正方形组成如图所示的图形． (1)请在图2，图3中只添加一个小正方形，使得六个正方形组成的图形是轴对称图形； (2)请在图4，图5中只添加一个小正方形，使得六个正方形组成的图形是中心对称图形． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】本题综合考查了中心对称图形及轴对称图形的性质，及其作图的方法，学生做这些题时找对称轴及对称点是关键． （1）根据轴对称图形的性质，先找出对称轴，再思考如何画图； （2）先找一个中心，再根据中心对称的性质，思考如何画图． 【详解】（1）如图所示（答案不唯一） （2）如图2所示 63．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）如图，在4×4的正方形网格中有三个黑色正方形，请你在网格中再涂黑一个小正方形，使其与原有的黑色正方形构成一个中心对称图形，则可供选择的白色小正方形的个数为______． 【答案】 【分析】此题主要考查了利用中心对称设计图案，正确把握中心对称图形的定义是解题关键．直接利用中心称图形的定义画出图形即可． 【详解】解：如图所示： 可供选择的白色小正方形的个数为3个． 故答案为：3． 题型二十二 图形的折叠综合（共3小题） 64．（25-26七年级上·江苏淮安·期末）综合与实践 定义：若存在一个常数，使得，则称是的“级准补角”．例如：当时，因为，所以是的“3级准补角”．（本题中所有角都是大于且小于的角） 如图1，将长方形纸片沿折叠（点在边上，点在边上），使点落在点的位置． (1)①若，则它的“1级准补角”的度数是__________． ②是的“___________级准补角”． (2)再将纸片沿折叠（折痕在的右侧），使点分别落在的位置． ①如图2，当点在同一直线上时，请说明：是的“2级准补角”． ②在①的条件下，若是的“5级准补角”，则___________． ③若是的“级准补角”，请直接写出的度数（用含的代数式表示） 【答案】(1)①；②2 (2)①见解析；②；③或 【分析】本题考查了“级准补角”的定义，矩形与翻折问题，解决本题的关键是读懂并理解“级准补角”的定义并掌握折叠的性质分类讨论． （1）①设出的1级准补角，再根据“级准补角”的定义列式求解即可． ②根据图形翻折的性质，可得，再由平角的定义即可求解． （2）①根据图形翻折的性质，可得，再由平行线的性质可得，根据平角的定义即可说明． ②根据是的“5级准补角”，可得，再由上问结论可得，根据折叠可得角度相等，由此求解即可． ③分类讨论当点在同一直线上时，与当在线段左右两侧时三种情况，结合折叠的性质求解即可． 【详解】（1）解：①设的1级准补角为， ∴，即， 解得， 即的“1级准补角”的度数是． 故答案为：． ②∵长方形纸片沿折叠， ∴，即， ∵， ∴， ∴是的“2级准补角”． 故答案为：2． （2）解：①∵长方形纸片沿折叠， ∴， ∵在长方形中，， ∴， ∵， 即， ∴， ∴是的“2级准补角”． ②∵是的“5级准补角”， ∴， 由（2）①知，， ∵， ∴①， ∵， ∴②， 可得，， 即，解得． 故答案为：． ③当点在同一直线上时， ∵是的“级准补角”， ∴， ∵， ∴①， ∵， 由（2）①知，， ∴②， 可得，， 即， 则有，解得； 当在线段右侧时，如图， ∵是的“级准补角”， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 则有， 整理可得， 即，解得； 当在线段左侧时，如图， ∵是的“级准补角”， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 则有， 整理可得， 即，解得； 综上，的度数为或． 65．（25-26八年级上·江苏南京·月考）如图，在中，，点E，F在边上，将边沿翻折，使点A落在上的点D处，再将边沿翻折，使点B落在的延长线上的点处， (1)求的度数； (2)若，求的面积． 【答案】(1) (2)10 【分析】（1）根据折叠的性质，角的和，计算即可； （2）根据折叠的性质，得，根据，得，根据折叠的性质，得，根据三角形面积公式求的面积即可． 本题考查了折叠的性质，等腰直角三角形的判定和性质，角的和，三角形面积公式，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：由折叠可得，，， 又， ， ， ， ． （2）解：根据折叠的性质，得， 又，得， 根据折叠的性质，得， 故， 故． 66．（24-25七年级下·江苏淮安·期末）综合与实践课上，同学们动手折叠一张长方形纸片，点在边上，点分别在边上，沿折叠，使顶点落在点处，其中题中所有角都是指小于的角． (1)如图，______（填“”“”或“”）； (2)如图，若沿折叠，使顶点落在点处，点，点，点恰好在一条直线上，请用无刻度直尺和圆规作图，作出折痕（在图上标注出点）； (3)如图，若，，求的度数（用含的代数式表示）； (4)连接，若，，且射线，射线，射线都与长方形的边相交，若射线是的角平分线，求出的度数．（用含的代数式表示） 【答案】(1) (2)作图见解析 (3)或 (4) 【分析】（）根据折叠的性质即可求解； （）作的角平分线交于，线段即为所求； （）分点在的右边和左边两种情况，分别画出图形，根据折叠的性质和平角的定义解答即可求解； （）当分点在的右边和点在的右侧，在的左侧两种情况，分别画出图形，根据折叠的性质和角平分线的定义解答即可求解； 本题考查了作角平分线，折叠的性质，角平分线的定义，掌握折叠的性质并利用分类讨论的思想解答是解题关键 【详解】（1）解：∵沿折叠，使顶点落在点处， ∴， 故答案为：； （2）解：如图所示，折痕即为所求； （3）解：如图，当点在的右边时， ∵沿折叠，使顶点落在点处， ∴， ∵， ∴， ∵沿折叠，使顶点落在点处， ∴， ∴； 当点在的左边时，如图， ∵沿折叠，使顶点落在点处， ∴， ∵， ∴， ∵沿折叠，使顶点落在点处， ∴， ∴； 综上，的度数为或； （4）解：如图，当点在的右边时， 由折叠可得， ∵， ∴， ∵射线是的角平分线， ∴， ∴， ∴由折叠得， ∴； 当点在的右侧，在的左侧时，如图， 由折叠可得，， ∴， ∵， ∴， ∵射线是的角平分线， ∴， ∴， ∴由折叠得，， ∴； 综上，的度数为． 题型二十三 图形的旋转综合（共3小题） 67．（25-26七年级上·江苏南京·月考）如图，某校七年级数学学习小组在课后综合实践活动中，把一个直角三角尺的直角顶点放在互相垂直的两条直线、的垂足处，并使两条直角边落在直线、上，将绕着点顺时针旋转． (1)如图，若，则______，______； (2)若射线是的角平分线，且． ①若旋转到图的位置，的度数为多少？用含的代数式表示 ②在旋转过程中，若，求此时的值． 【答案】(1)； (2)①；②或 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，几何图形中的角度计算，能够灵活运用数形结合，分类思想是解题的关键． 根据，以及角的和差计算即可； 先求，再利用得出结论； 分两种情况讨论：当旋转到左侧时；当旋转到右侧时，分别解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； ∵，， ∴； 故答案为：；； （2）解：①∵，， ∴， ∵射线是的角平分线， ∴， ∴， ∵， ∴； 当旋转到左侧时，如图所示： ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 当旋转到右侧时，如图所示： 设， ∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴，解得 ∴， ∴； 综上分析可知，的值为或． 68．（25-26七年级上·江苏·期末）一副三角板如图摆放，边落在直线上，点、点在直线的上方，其中、、．现将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，同时将三角板绕点以每秒5°的速度逆时针旋转，设旋转时间为秒，则当时，的值为_______． 【答案】2或 【分析】当时，，，由，得，解得；当时，，，得，解得． 【详解】解：当与相遇前时，， ∵，， 且， ∴， 解得； 当与相遇时，，此时，，不符合题意，舍去， 当与相遇后时，当时， ，， ∴， 解得． 故答案为：2或． 【点睛】本题考查了旋转的性质，角的和差倍分的计算，一元一次方程的应用等知识，分类讨论，画出旋转后的图形，是解题的关键． 69．如图，直线一副三角板按如图1摆放，其中，，，保持三角板不动，现将三角板绕点D以每秒的速度顺时针旋转，如图2，设旋转时间为t秒，且，则经过______秒边与三角板的一条直角边（边）平行． 【答案】15或60或105或150 【分析】本题考查了平行线的性质，解决本题的关键是掌握平行线的性质．性质由形到数，用于推导角的关系并计算；判定由数到形，用于判定两直线平行． ①当时，延长交于点，分两种情况：当在上方时或当在下方时，分别运用平行线的性质即可；②当时，延长交于点，分两种情况：当在上方时或当在下方时，分别运用平行线的性质即可． 【详解】解：设经过秒边与三角板的一条直角边（边，平行， 如图，①当时，延长交于点， 当在上方时， ，，， ， ， ， ， ，即， ； 当在下方时，， ，，， ， ， ， ， ，即， ； ②当时， 当在上方时，，如图，延长交于点， 根据题意得：， ， ， ， ， ， 即， ； 当在下方时，如图，延长交于点， 根据题意可知：， ， ， ， ， ， ， 即， ， 综上所述：经过15或60或105或150秒边与三角板的一条直角边（边，平行． 故答案为：15或60或105或150． $ 专题03 图形的变换 题型1 生活中的平移现象 题型13 对称轴 题型2 利用平移的性质求解（重点） 题型14 镜面对称 题型3 利用平移解决实际问题（常考点） 题型15 旋转现象（常考点） 题型4 平移作图（重点） 题型16 旋转中心、旋转角、对应点（常考点） 题型5 轴对称图形（常考点） 题型17 根据旋转的性质求解（重点） 题型6 作已知线段的垂直平分线（重点） 题型18 画旋转图形 题型7 作垂线（重点） 题型19 中心对称图形（常考点） 题型8 作角平分线（重点） 题型20 根据中心对称性质求面积、长度、角度 题型9 根据轴对称图形的性质进行求解（重点） 题型21 在方格纸补画图形成为中心对称图形 题型10 台球桌面上的轴对称问题 题型22 图形的折叠综合（难点） 题型11 轴对称中的光线反射问题 题型23 图形的旋转综合（难点） 题型12 折叠问题（难点） 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 生活中的平移现象（共3小题） 1．（24-25七年级下·江苏盐城·期中）如图所示是北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”的五幅图案，②③④⑤哪一个图案可以通过平移图案①得到？（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）有以下现象：①火车从姜堰运动到上海；②打气简打气时活塞的运动；③钟摆的摆动；④传送带上瓶装饮料的移动，其中，属于平移的是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 3．（24-25七年级下·江苏盐城·期末）下列现象是数学中的平移的是_______________.（填序号） ①．苹果垂直从树上落下②．电梯从底楼升到顶楼③．骑自行车时轮胎的滚动 ④．钟摆的摆动 题型二 利用平移的性质求解（共3小题） 4．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）如图的边的长为将向上平移得到，且，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）如图，将三角形沿射线平移后得到三角形，如果，，那么的度数是________． 6．（24-25七年级下·江苏无锡·月考）如图，直线上有两个大小相同的直角三角形，它们中较大锐角的度数为将沿直线向左平移到的位置，使点落在上的点处，为与的交点． (1)求的度数； (2)试判断与之间的位置关系，并说明理由． 题型三 利用平移解决实际问题（共3小题） 7．（24-25七年级下·江苏南京·期中）如图是某公园里一处长方形风景欣赏区，长米，宽米．为方便游人观赏，公园特意修建了如图所示的小路（图中非阴影部分），小路的宽均为2米，则小明沿着小路的中间，从入口A走到出口B所走的路线（图中虚线）长为（    ） A．140米 B．136米 C．124米 D．100米 8．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）如图，两个形状、大小完全相同的和重叠在一起，固定不动，将向右平移，当点E和点C重合时，停止移动，连接，设交于G，结论为：①四边形的面积与四边形的面积相等；②，且，对于结论①和②，下列判断正确的是（    ） A．①②都正确 B．①正确，②不正确 C．①②都不正确 D．①不正确，②正确 9．（24-25七年级下·江苏南京·月考）如图所示，某条护城河在处直角转弯，河宽均为，从处到达处，须经过两座桥（桥宽不计，桥与河垂直），设护城河以及两座桥都是东西、南北方向的，如何选址造桥可使从处到处的路程最短？请确定两座桥的位置． (1)如图①，如果点，点到外河岸的距离都是，请确定两座桥的位置，画出示意图． (2)如图②，如果点，点到外河岸的距离分别是和，请确定两座桥的位置，画出示意图． 题型四 平移作图（共3小题） 10．（25-26七年级下·江苏苏州·月考）如图，在方格纸中平移三角形至三角形，使点A移动到点D，点B的对应点是点E． (1)画出平移后的三角形； (2)写出与的位置关系； (3)连接，，求证：． 11．（24-25七年级下·江苏常州·期中）如图，在每个小正方形的边长为1个单位长度的网格中，点、、都在格点上． (1)将向右平移3个单位，再向下平移2个单位得到，请作出； (2)连结，，则线段和线段的关系为______； (3)在整个平移的过程中，求线段扫过的面积． 12．（24-25七年级下·江苏南通·期中）（1）如图，火车站、码头分别位于A，B两点，直线a，b分别表示河流与铁路． ①请画图说明从火车站到码头怎么走最近？画图的依据是______． ②请画图说明从火车站到河流怎么走最近？画图的依据是______． （2）在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，的三个顶点的位置如图所示现将平移，使点C变换为点D，点A、B的对应点分别是点E、F．在图中请画出平移后得到的． 题型五 轴对称图形（共3小题） 13．（25-26九年级上·江苏南京·期中）下列图形：①正三角形；②正四边形；③正五边形；④正六边形．其中，存在互相垂直的对称轴的图形有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 14．（24-25七年级下·江苏淮安·期中）如图，有5个小正方形，现从标有数字1，2，3，4的四个小正方形中拿走一个，使剩余的四个小正方形组成的图形成为一个轴对称图形，则应该拿走的小正方形的标号是__________． 15．（24-25七年级下·江苏连云港·期中）如图，这是由8个边长相等的正六边形组成的图形，该图形________轴对称图形（填“是”或“不是”），若在5个白色的正六边形中，选择2个涂黑，使涂黑的2个正六边形和原来3个被涂黑的正六边形恰好组成轴对称图形，则选择的方案最多有________种． 题型六 作已知线段的垂直平分线（共3小题） 16．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）如图，已知两个小区和两条公路，（点，表示小区，，表示公路），现计划在内建造一所超市，希望这所超市到这两个小区的距离相等，并且到两条公路的距离也相等，你能确定一下超市的位置吗？请在所给的图中标出超市所在的位置，保留作图痕迹． 17．（25-26八年级上·江苏无锡·月考）现有两条高速公路l1、l2和两个城镇A、B（如图），准备建一个燃气控制中心站P，使中心站到两条公路距离相等，并且到两个城镇的距离也相等，请你利用直尺和圆规作出中心站P的位置． 18．如图，已知． (1)请用尺规作图法作出的垂直平分线，垂足为D，交于点E； (2)请用尺规作图法作出的平分线，交于点F； (3)请用尺规作图法在上找一点P，使的周长最小．（注意：保留作图痕迹，不写作法） 题型七 作垂线（共3小题） 19．（25-26八年级上·江苏南京·月考）如图，已知，线段．分别作等腰，且顶角．（尺规作图，保留作图痕迹，写出必要的文字说明） (1)底边上的高为； (2)腰上的高为． 20．（25-26八年级上·江苏南京·月考）已知， (1)如图①，在边上找一点，使点到的距离等于到的距离． (2)如图②，在边上找一点，使点到点的距离等于到的距离．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出必要的文字说明）． 21．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）如图，直角三角形中，，，，，用无刻度的直尺和圆规完成下列作图． (1)作边的中点D； (2)作的平分线，交边于点E； (3)作点C关于直线的对称点F； (4)直接写出的长为________． 题型八 作角平分线（共3小题） 22．（25-26七年级上·江苏连云港·期中）如图，点O在直线上，画出的平分线．若，求的度数． 23．（25-26八年级上·江苏南京·期中）已知，．用两种不同的方法在边上找一点，使点到点的距离等于点到的距离．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出必要的文字说明）． 24．（25-26八年级上·江苏无锡·月考）按要求作图： (1)尺规作图，在边上找一点N，使得．（保留作图痕迹） (2)在边上找到点D，使得平分；（保留作图痕迹） 题型九 根据轴对称图形的性质进行求解（共3小题） 25．如图，点P在的内部，点C和点P关于直线对称，点P关于直线的对称点是点D，连接交于点M，交于点N． (1)若，求的度数； (2)若，的周长为 ． 26．（24-25七年级下·江苏徐州·期中）如图，已知点是内的一点，、分别是点关于、的对称点，连接与、分别相交于点、，已知． (1)求的周长； (2)连接、，若，求的度数． 27．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）如图，已知． 【初步认识】 （1）尺规作图：求作直线，使和关于直线对称；（不写作法，保留痕迹） 【理解应用】 （2）如图，若在内部，和关于对称，和关于对称，求的度数； （3）如图，若在外部，且，和关于对称，和关于对称，求的度数； 【拓展提升】 （4）若和关于的边对称，且，则的度数是_____． 题型十 台球桌面上的轴对称问题（共3小题） 28．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）如图，弹性小球从点出发，沿所示方向运动，每当小球碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第次碰到长方形的边时，落脚点为；第次碰到长方形的边时落脚点为；第次落脚点为（    ） A． B． C． D． 29．（24-25七年级下·江苏南京·期中）如图，桌球的桌面上有M，N两个球，若要将M球射向桌面的一边，反弹一次后击中N球，则A，B，C，D，4个点中，可以反弹击中N球的是 __点． 30．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）如图，长方形台球桌上有两个球E，F．（保留作图痕迹，工具不限） (1)请你设计一条路径，使得球F撞击台球桌边反射后，撞到球E； (2)请你设计一条路径，使得球F连续撞击台球桌边、反射后，撞到球E． 题型十一 轴对称中的光线反射问题（共3小题） 31．（24-25七年级下·江苏南京·期中）如图所示，两个平面镜平行放置，光线经过平面镜反射时，，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 32．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）如图，一束水平光线照在有一定倾斜角度的平面镜上，若入射光线与反射光线的夹角为50°，则平面镜与水平地面的夹角的度数是______． 33．（25-26七年级上·江苏无锡·期末）【发现】小明拿激光笔照射到水平桌面上的平面镜时，发现光线经过反射后投射到天花板上，当他改变激光笔的角度时，天花板上的光点也随之移动．经过查阅资料，小明了解到光线在镜面上反射时，如图1，入射光线与镜面的夹角等于反射光线与镜面的夹角，即． 【探究】如图2，小明将平面镜放置在水平桌面上，激光笔发出的光线射到平面镜上，反射光线射到天花板（直线）上，． (1)若平面镜水平放置于桌面上，当激光笔与桌面的夹角时，请在图2中，画出反射光线，并在图中标出反射光线与天花板所夹锐角的大小． (2)如图3，转动平面镜，若平面镜与桌面形成的夹角，，且． ①当，时，求的大小； ②直接用含，的代数式表示出的大小． (3)如图4，小明把平面镜水平放置，当时，再添一面平面镜，将两平面镜相对放置，光线经过两次反射，得到反射光线，当平面镜如何放置时，光线？请说明理由． 题型十二 折叠问题（共3小题） 34．（25-26七年级上·江苏镇江·期末）如图，将长方形沿折叠后，与交于G点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 35．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）如图，，，点E是射线上一点，连接，将沿着翻折得到，点C的对应点为点F，若，那么的度数为________． 36．（25-26七年级上·江苏连云港·期末）【教材再现】（1）教材第201页有这样一道试题：如图1，将长方形纸片沿着折叠后，点D，C分别落在点，的位置，的延长线交于点G，，求，的大小； 【反思探究】（2）小明在解决完课本上的这道习题后，进行了如下总结：解决折纸问题的关键是要抓住长方形纸片中的平行关系以及折叠所带来的等角关系．于是，他又进行了以下探究活动． ①在（1）的条件下，求图1中的度数； ②将长方形纸带沿着折叠成图2，交边于点G；再将图2中的纸片沿着折叠成图3；再将图3中的纸片沿着折叠成图4；再将图4中的纸片沿着折叠，恰好与重叠．则图2中，的度数是多少？ 【拓展应用】（3）如图5，一张足够长的长方形纸条，点E，F分别在，上，是一个度数为的锐角．如图6，将纸条折叠，使得与重合，打开铺平，得到折痕；如图7，再将纸条折叠，使得与重合，打开铺平，得到折痕；…如此反复操作．若第5次操作时，所得的，请直接写出x的值． 题型十三 对称轴（共3小题） 37．（25-26八年级上·江苏无锡·月考）如图，网格中的与为轴对称图形． (1)利用网格线作出与的对称轴l； (2)结合所画图形，在直线l上画出点P，使最小． 38．（24-25七年级下·江苏南京·期末）如图，已知是轴对称图形，D是上一点．用直尺和圆规按下列要求作图（保留作图痕迹，可以写出必要的文字说明） (1)作的对称轴m； (2)过点D作一条直线n，与交于点E，使 39．如图①②③所示的图案是用黑白两种颜色的正方形纸片拼成的． (1)如图①所示的图案是轴对称图形吗？若是，有几条对称轴？ (2)如图②，③所示图案是否是轴对称图形？若是，有几条对称轴？ (3)请你推断，按此规律下去，第n个图案是否是轴对称图形？若是，有几条对称轴？ 题型十四 镜面对称（共3小题） 40．（25-26八年级上·江苏淮安·期中）从镜子中看到的这个号码  ，实际上是______． 41．（24-25八年级上·江苏泰州·月考）雨后从地面水洼处观察到一辆小汽车的车牌号为，它的实际车牌号是________． 42．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）某人在照镜子时，从镜中看到后面墙上有一个五位数88018，请问原来墙上真正的数应为_____． 题型十五 旋转现象（共3小题） 43．（24-25七年级下·江苏徐州·期中）下列说法中，正确的是（   ） A．“丽丽把教室的门打开”属于平移现象 B．能够互相重合的两个图形成轴对称 C．“气球升空”属于平移现象 D．“摆钟的钟摆在摆动”属于旋转现象 44．（24-25七年级上·江苏苏州·开学考试）下列图形中不能由下图旋转得到的是（　　） A． B． C． D． 45．如图，以下图形变化能使图形甲和图形乙重合的是（      ） A．将甲绕点顺时针旋转． B．将乙绕点逆时针旋转． C．将甲绕着和中垂线的交点顺时针旋转． D．将甲先向下平移至点和重合，再绕点逆时针旋转． 题型十六 旋转中心、旋转角、对应点（共3小题） 46．如图，在正方形网格中，△绕某一点旋转某一角度得到△，则旋转中心可能是（    ） A．点A B．点B C．点C D．点D 47．（24-25八年级下·江苏淮安·月考）如图，在正方形网格中，图②是由图①绕点、、、中的某一点逆时针旋转得到，其旋转角度是______． 48．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）如图，网格中每个小正方形边长为1，的顶点都在格点（网格线的交点）上，利用网格画图． (1)在图（1）中画出将先向上平移3格，再向左平移2格，得到的（点的对应点为，点的对应点为，点的对应点为），请在图上标出，并求出线段扫过图形的面积为__________； (2)通过旋转可以使其与重合，请用无刻度的直尺在图（2）中确定旋转中心（保留作图痕迹），并标出点． 题型十七 根据旋转的性质求解（共3小题） 49．如图，小聪将三角尺绕点C逆时针方向旋转到的位置，其中为，为直角，若点A，C、E在一条直线上，则此次旋转变换中旋转角的度数为（   ） A． B． C． D． 50．（25-26七年级上·江苏盐城·期末）如图，分别过直线上的点和点作射线、，，，射线从开始绕点以每秒的速度按顺时针方向旋转，同时射线从开始绕点以每秒的速度按顺时针方向旋转，在射线旋转一周的过程中，经过____秒，射线、射线所在的直线互相垂直． 51．（25-26七年级下·江苏南京·期中）取一副三角板按图①拼接，固定三角板，将三角板绕点依顺时针方向旋转一定的角度得到．请问： (1)如图②，当与垂直时，求的度数； (2)如图①，三角板绕点以顺时针方向旋转，旋转速度为每秒，旋转时间为，三角板旋转一周时停止运动，当三角板的一边与平行时，求出时间的值（直接回答，不用证明）． 题型十八 画旋转图形（共3小题） 52．（25-26七年级上·江苏宿迁·期中）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，三角形的顶点都在网格点上． (1)画出将三角形向右平移7个单位长度，再向上平移1个单位长度后的三角形； (2)画出将三角形绕点按逆时针方向旋转后的三角形． 53．如图是一个微型风车模型，风车的四叶分别标记为“①、②、③、④”，观察图形，回答以下问题． (1)图1的风车绕中心先顺时针旋转，形成图2的状态，再逆时针旋转180°，形成图3的状态，请在图2、图3的四叶上分别标记“①、②、③、④”． (2)图1的风车绕中心顺时针旋转2610度后，风叶①到达了图4____的位置、（填入A、B、C、D） (3)图1所示风车绕中心逆时针最少旋转_____度，风叶①也能到达第（2）问中位置． (4)图1所示风车中风叶①最少翻折______次，也能到达第（2）问中位置．（对称轴可以自己选择） 54．（24-25七年级下·江苏镇江·期中）如图，在边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格中，A，B，C，D均为格点（即每个小正方形的顶点），线段关于直线对称的线段为． (1)线段绕点B顺时针旋转90°得到线段，在图1中画出线段、； (2)线段绕点B顺时针旋转α（）得到线段，若D，B，F三点共线，则与的关系为 （用等式表示）． 题型十九 中心对称图形（共3小题） 55．（24-25八年级下·江苏苏州·期中）下列图案中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 56．（25-26九年级上·江苏徐州·期中）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 57．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）“七巧板”被誉为“东方魔方”，如图是一个由七巧板拼成的边长为4的正方形．现从中选取5块拼成一个四边形（拼图不能有空隙和重叠），若这个四边形既是轴对称图形又是中心对称图形，则这个四边形的面积是________． 题型二十 根据中心对称性质求面积、长度、角度（共3小题） 58．如图，与关于点O成中心对称，下列结论成立的是 ________（填序号）． ①点A与点是对应点； ②； ③； ④． 59．（24-25七年级下·江苏南京·期中）如图，和关于点成中心对称． (1)找出它们的对称中心O； (2)若，，，求的周长． 60．（24-25七年级下·江苏连云港·期中）【问题探究】 （1）如何用一条直线将一个中心对称图形分成面积相等的两部分？我们知道圆和长方形都是中心对称图形，由图①可总结规律：一个中心对称图形，______的直线将它分成面积相等的两部分． （2）图②是一个由正方形和圆构成的“组合图形”，用一条直线将图②的阴影部分分成面积相等的两部分．（不写画图过程，保留画图痕迹） 【总结规律】 （3）由两个中心对称图形组合成的图形，______的直线将它分成面积相等的两部分． 【拓展应用】 （4）如图③是一块农田的平面图，要分给两户村民种植（分成面积相等的两部分），请你帮助他们用一条直线分开．（不写画图过程，保留画图痕迹） 题型二十一 在方格纸补画图形成为中心对称图形（共3小题） 61．（24-25七年级下·江苏连云港·期中）如图1，都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，将其中四个小等边三角形涂上阴影． (1)请在图2中再将两个小三角形涂上阴影，使得阴影部分的图形是轴对称图形； (2)请在图3中再将两个小三角形涂上阴影，使得阴影部分的图形是中心对称图形． 62．（24-25七年级下·江苏常州·期中）在如图1的方格纸中，用五个相同的正方形组成如图所示的图形． (1)请在图2，图3中只添加一个小正方形，使得六个正方形组成的图形是轴对称图形； (2)请在图4，图5中只添加一个小正方形，使得六个正方形组成的图形是中心对称图形． 63．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）如图，在4×4的正方形网格中有三个黑色正方形，请你在网格中再涂黑一个小正方形，使其与原有的黑色正方形构成一个中心对称图形，则可供选择的白色小正方形的个数为______． 题型二十二 图形的折叠综合（共3小题） 64．（25-26七年级上·江苏淮安·期末）综合与实践 定义：若存在一个常数，使得，则称是的“级准补角”．例如：当时，因为，所以是的“3级准补角”．（本题中所有角都是大于且小于的角） 如图1，将长方形纸片沿折叠（点在边上，点在边上），使点落在点的位置． (1)①若，则它的“1级准补角”的度数是__________． ②是的“___________级准补角”． (2)再将纸片沿折叠（折痕在的右侧），使点分别落在的位置． ①如图2，当点在同一直线上时，请说明：是的“2级准补角”． ②在①的条件下，若是的“5级准补角”，则___________． ③若是的“级准补角”，请直接写出的度数（用含的代数式表示） 65．（25-26八年级上·江苏南京·月考）如图，在中，，点E，F在边上，将边沿翻折，使点A落在上的点D处，再将边沿翻折，使点B落在的延长线上的点处， (1)求的度数； (2)若，求的面积． 66．（24-25七年级下·江苏淮安·期末）综合与实践课上，同学们动手折叠一张长方形纸片，点在边上，点分别在边上，沿折叠，使顶点落在点处，其中题中所有角都是指小于的角． (1)如图，______（填“”“”或“”）； (2)如图，若沿折叠，使顶点落在点处，点，点，点恰好在一条直线上，请用无刻度直尺和圆规作图，作出折痕（在图上标注出点）； (3)如图，若，，求的度数（用含的代数式表示）； (4)连接，若，，且射线，射线，射线都与长方形的边相交，若射线是的角平分线，求出的度数．（用含的代数式表示） 题型二十三 图形的旋转综合（共3小题） 67．（25-26七年级上·江苏南京·月考）如图，某校七年级数学学习小组在课后综合实践活动中，把一个直角三角尺的直角顶点放在互相垂直的两条直线、的垂足处，并使两条直角边落在直线、上，将绕着点顺时针旋转． (1)如图，若，则______，______； (2)若射线是的角平分线，且． ①若旋转到图的位置，的度数为多少？用含的代数式表示 ②在旋转过程中，若，求此时的值． 68．（25-26七年级上·江苏·期末）一副三角板如图摆放，边落在直线上，点、点在直线的上方，其中、、．现将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，同时将三角板绕点以每秒5°的速度逆时针旋转，设旋转时间为秒，则当时，的值为_______． 69．如图，直线一副三角板按如图1摆放，其中，，，保持三角板不动，现将三角板绕点D以每秒的速度顺时针旋转，如图2，设旋转时间为t秒，且，则经过______秒边与三角板的一条直角边（边）平行． 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $