2.1 平均变化率与瞬时变化率 课件-2025-2026学年高二下学期数学北师大版选择性必修第二册

作课人：廉文杰 数学之王——欧拉 北师大版（2019）高中数学 选择性必修第二册 作课人：廉文杰 焦作市外国语中学 第二章 导数及其应用 第1节 平均变化率与瞬时变化率 第1课时（共1课时） 1 学 习 目 标 目 标 重 点 难 点 1、理解函数平均变化率、瞬时变化率的概念． 2、掌握函数平均变化率、瞬时变化率的求法． 1、理解函数平均变化率、瞬时变化率的概念． 1、掌握函数平均变化率、瞬时变化率的求法． 2 新 知 引 入 数学王子——高斯 中国 歼20最大飞行速度2.92马赫 约1225×2.92≈3577km/h. 美国 F22猛禽最大飞行速度2.25马赫 约1225×2.25≈2756km/h. 3 新 知 引 入 韦 达 在2021年的特大暴雨中，郑州遭受了极其严重的洪涝灾害。据报道，此次暴雨强度极高，1小时内的降雨量达到了201.9毫米，远超过了此前的降水极值，是我国大陆短时强降水标准的10倍，暴雨红色预警标准的近7倍。7月20日凌晨2时到7月21日凌晨2时，郑州降雨量达到了622.7毫米，总降雨量相当于317个西湖灌进郑州。 4 新 知 引 入 布 丰 "飞行速度"、"降雨强度"刻画的都是瞬时变化的情况，也是数学中导数概念的原型。导数是数学中最重要，最基本的概念之一，在日常生活和科学研究中有广泛的应用。 本章将讨论导数概念及其几何意义，学习导数的运算，解决相关的应用问题。 5 新 知 引 入 伯努利 导数的发展史简介 早期导数概念——特殊的形式 导数概念的早期形式可以追溯到17世纪初。法国数学家费马是这一阶段的代表人物。 17世纪——流数术的广泛应用 17世纪，随着生产力的发展和自然科学的进步，微积分的需求日益增长。牛顿和莱布尼茨从不同角度系统地研究了微积分。 19世纪理论的严格化 18世纪末至19世纪，数学家们致力于使导数概念更加严格化。第一个给出导数明确定义的是柯西，1823年，柯西在他的《无穷小分析概论》中定义导数为无穷小增量比的极限。 导数概念的发展经历了三个主要阶段，每个阶段都有其核心贡献，从特殊问题的解决到一般理论的建立，再到严格的数学表述，导数概念不断完善，成为现代数学和科学中不可或缺的工具 6 新 知 引 入 柯 西 “忽如一夜春风来，千树万树梨花开”； “物是人非事事休，欲语泪先流”； “世事如白云苍狗，转眼间沧海桑田”。 世界上的变化无处不在，人们经常关心变化的快慢问题。如何刻画事物变化的快慢呢？ 7 学 习 新 知 欧几里得 （约公元前300年） 《几何原本》 平均变化率 实例1：物体从某一时刻开始运动，设S表示此物体经过时间t走过的路程，显然s是时间t的函数，表示为s=s(t).在运动的过程中测得如下一些数据. 物体在0 s到2 s和10 s到13 s这两段时间内，哪一段时间运动得快？如何刻画物体运动的快慢？ t 0 2 5 10 13 15 s 0 6 9 20 32 44 8 学 习 新 知 阿基米德 （公元前287年—公元前212年） 《阿基米德全集》 解：通常用平均速度(即路程相对于时间的平均变化率)来比较运动的快慢. 在0s到2s这段时间内，物体的平均速度为 ______________________； 在10s到13s这段时间内，物体的平均速度为____________________. 显然，物体在后一段时间比前一段时间运动得快. = 3 (m/s) = 4 (m/s) 平均变化率 结论： 用一段时间内物体的平均速度刻画了物体运动的快慢。 当时间从to变为t1时，物体所走的路程从s(to)变为s(t1), 这段时间内物体的平均速度 =_________________. 9 学 习 新 知 阿波罗尼奥斯 （约公元前200年） 《圆锥曲线论》 实例2：某病人吃完退烧药，他的体温变化如图. 比较时间x从0 min到20 min和从20 min到30 min体温的变化情况，哪段时间体温变化较快？如何刻画体温变化的快慢？ 平均变化率 10 学 习 新 知 拉格朗日 平均变化率 解：比较在这两段时间内，体温的平均变化率（单位时间内体温的平均变化量), 当时间x从0 min变到20 min时，体温y相对于时间x的平均变化率为 ______________________________（℃/min）； 当时间x从20 min变到30 min时，体温y相对于时间x的平均变化率为 ______________________________（℃/min）； 体温从20min到30min这段时间下降得比0min到20min这段时间要快. = = -0.025 = = -0.05 结论： 用一段时间内体温的平均变化率刻画了体温变化的快慢， 当时间从x0变为x1时,体温从y(x0)变为y(x1), 这段时间内体温的平均变化率 = __________________. 11 学 习 新 知 平均变化率 解析几何之父——笛卡尔 对一般的函数y=f(x)来说，当自变量x从x1变为x2时，函数值从f(x1)变为f(x2), 它在区间［x1,x2]的 平均变化率 = 把自变量的变化x2-x1称作自变量x的改变量，记作△x, 把函数值的变f(x2)-f(x1)称作函数值y的改变量,记作△y. 这样，函数的平均变化率就可以表示为函数值的改变量与自变量的改变量之比，即 = 用它来刻画函数值在区间［x1,x2]上变化的快慢. 12 学 习 新 知 牛 顿 求函数平均变化率的三个步骤： 第一步,求自变量的增量Δx=x2-x1. 第二步,求函数值的增量Δy=f(x2)-f(x1). 第三步,求平均变化率 = 13 典 例 引 路 集合论之父——康托 例1、已知函数f (x)＝3x2＋5，求f (x)： (1)从0.1到0.2的平均变化率； (2)在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率． 解 (1)因为f(x)＝3x2＋5， 所以从0.1到0.2的平均变化率为 ＝0.9. (2)f(x0＋Δx)－f (x0)＝3(x0＋Δx)2＋5－(3＋5) ＝3 ＋6x0Δx＋3(Δx)2＋5－3 －5 ＝6x0Δx＋3(Δx)2. ∴ 函数f (x)在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率 为 ＝6x0＋3Δx. 14 同 步 练 习 无冕的数学之王——希尔伯特 练1、若一质点按规律s＝8＋t2运动，则在一小段时间[2，2.1]内的平均速度是(　　) A．4 B．4.1 C．0.41 D．－1.1 解： ＝ ＝ ＝ = 4.1. B 15 学 习 新 知 瞬时变化率 狄利克雷 上面用平均速度刻画了物体在一段时间内运动的快慢. 在实际中，还常常要考虑物体在某一瞬间的速度.比如，我们看到汽车在行驶过程中不断变化的速度表，每个时刻指针指向的数字就是汽车在该时刻的瞬时速度. 如何求瞬时速度呢? 16 学 习 新 知 瞬时变化率 黎 曼 实例3：一个小球从高空自由下落，其下落的高度h(单位:m)与时间t(单位:S)的函数关系为h=gt2,其中，g为重力加速度(g取9. 8 m/s2).估算小球在t=5s这个时刻的瞬时速度. 可以求出从5 s到6 s这段时间内小球的平均速度： = = = 53.9(m/s) 有时用它来近似表示小球在t=5s这个时刻的瞬时速度. 为了提高精度，可以缩短时间间隔. 解：当时间t从t0变到t1时，小球的平均速度公式为= 17 学 习 新 知 瞬时变化率 皮 亚 诺 可以求出求出5s到5.1s这段时间内的平均速度： = = = 49.49(m/s) 用它来近似表示小球在t=5s这个时刻的瞬时速度，这样更接近实际情况. 如果时间间隔进一步缩短,那么可以想象，平均速度就更接近小球在t=5s这个时刻的瞬时速度. 将时间间隔每次缩短为上次的，计算出相应的平均速度,得到下表： 18 学 习 新 知 瞬时变化率 莱布尼兹 可以看岀，当时间t1趋于t0=5s时,平均速度趋于49 m/s, 因此，可以认为小球在t0=5s 这个时刻的瞬时速度为49 m/s. 从上面的分析和计算可以看岀，瞬时速度为49 m/s的物理意义是:如果小球保持这一时刻的速度进行运动,每秒将要运动49 m. 19 学 习 新 知 瞬时变化率 实例4：如图, 一根质量分布不均匀的合金棒，长为10 m.设x(单位:m)表示OX这段棒的长,y(单位:kg)表示OX这段棒的质量，它们满足以下函数关系：y=f(x)=2 估计该合金棒在x=2 m处的线密度(物理学的“线密度”定义为单位长度的质量). 佩雷尔曼 20 学 习 新 知 瞬时变化率 庞加莱 x0/m x1/m 长度x的该变量△x 质量y得该变量△y 平均线密度 2 2.1 2 2.01 2 2.001 2 2.0001 2 …… …… …… …… 0.1 0.01 0.001 0.0001 0.0700 0.007062 0.000707 0.00007071 0.7 0.706 0.707 0.707 解：仿照实例3，我们逐次减小自变量的改变量，得下表： 据此，可以认为合金棒在x0=2 m处的线密度约为0.707 kg/m. 从上面的分析和计算可以看出，线密度为0.707 kg/m的物理意义是:如果有1m长的这种线密度的质量均匀的合金棒，其质量将为0.707 kg. 21 学 习 新 知 瞬时变化率 洛必达 实例3、实例4都是通过减小自变量的该变量，用平均变化率“逼近”瞬时变化率。 对于一般的函数y=f（x），在自变量x从xo变到x1的过程中，若设△x=x1-x0,△y=f(x1)-f(xo),则该函数的平均变化率为 . 如果当△x趋于0时，平均变化率趋于某个值，那么这个值就是f（x）在点x0的瞬时变化率. 瞬时变化率刻画的是函数在某一点处变化的快慢. 22 典 例 引 路 华罗庚 例2、某物体的运动路程s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系可用函数s(t)＝t2＋t＋1表示，求物体在t＝1 s时的瞬时速度． 解:∵＝3＋Δt， ∴ ＝ ＝3. ∴物体在t＝1处的瞬时变化率为3. 即物体在t＝1 s时的瞬时速度为3 m/s. 23 同 步 练 习 陈景润 练2、做直线运动的物体，其位移S与时间t的关系是S(t)＝3t－t2.求此物体在t＝2时的瞬时速度． 解：取一时间段[2,2+△t], △S = S(2+△t)-S(2) = [3(2+△t)-(2+△t)2]-(3×2-22) = -△t-(△t)2 = = -1-△t 所以当△t趋于0时，此物体的瞬时速度为-1 24 典 例 引 路 贝叶斯 例3、某物体的运动方程是s=t2-4t+5，若此物体在t=t0时的瞬时速度为0，则t0=______. 解：△s=(t0+△t)2-4(t0+△t)+5-(t02-4t0+5) =2t0△t+△t2-4△t ∵ = 2t0-4 = 0 ∴ t0=2 25 同 步 练 习 罗巴切夫斯基 练3、一物体的运动方程为s(t)=7t2-13t+8，则t0＝________时该物体的瞬时速度为1． 解： = = = (14t0－13＋7Δt) ＝14t0－13＝1， 得t0＝1． 26 全 课 总 结 一、平均变化率. 二、瞬时变化率. 三、平均变化率反映某一区间上变化的快慢， 瞬时变化率反映某一点处的变化快慢. 27 THANK YOU 谢谢！ 作课人：廉文杰 焦作市外国语中学 28 $