30.变量分离法 讲义-2026届高三数学二轮专题

专题30 变量分离法 【练】 1．已知函数在区间上有零点，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．已知函数，对都有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．若函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．已知关于的方程有两个不同的实数根，则实数的取值范围为 ． 5．对任意的， 不等式恒成立， 则实数的取值范围为 . 6．若方程有且仅有一个实数，则实数的取值范围为 . 1．若函数有两个不同的零点，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．若函数有三个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．若不等式（为自然对数的底数）对任意实数x恒成立，则实数的最大值为（ ） A．0 B．1 C． D． 4．已知函数是定义域为的奇函数，且当时，，若有三个零点，则实数的取值范围为 ． 5．已知函数，若函数（m为常数）有且仅有2个零点，则m的取值范围是 ． 6．已知，关于x的不等式在上恒成立，则a的最小值为 ． 1．已知函数恰有两个极值点，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．已知函数，若存在使得，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．已知函数，若对任意且，不等式恒成立，则实数a的最大值为 ． 4．若函数在区间单调递增，则的取值范围是 . 5．已知函数. (1)当时，函数是否存在过原点的切线，若存在，求出切线方程，若不存在，说明理由； (2)若对任意，恒成立，求实数的取值范围. 6．已知函数． (1)当时，讨论的零点个数； (2)当时，证明：在区间内存在唯一的零点； (3)若对于任意的，都有，求整数的最大值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题30 变量分离法 【讲】 变量分离法，是将一个方程或不等式中的变量与参数经过适当的变形整合，分离为两个更简单的结构或者几何意义更明显的代数式的方法． 在解决数学问题的过程中，经常会遇到含有参数的函数、方程或不等式，当整体处理难度较大时，通过变量分离把问题转化为求函数的值域、最值或零点等问题，可以有效避免复杂的参数讨论及运用数形结合时遇到的作图难等问题．下面用全分离和半分离这两种方法研究和解决含有参数的函数、导数和不等式的典型问题． 类型一 变形整合 【典例1】已知方程有4个不同的实数根，则实数a的取值范围是__________． 【方法引导】 由于方程左边对应的函数是一个偶函数，且，于是只要当时，方程有2个不同的实数根即可． 【详细解析】 问题等价于当时，方程有2个不同的实数根． 解法1（不分离）：令，则． ①当时，，故在上至多有1个零点，不符合题意，舍去． ②当时，在上单调递增，在上单调递减， 所以，解得． 又当时，，当时，， 所以，当时，函数在上有2个零点，即原方程有4个不同的实数根． 解法2（全分离）：． 令，则， 易知在上单调递增，在上单调递减，所以． 又当时，，当时，，所以． 解法3（半分离）：． 令，，如图， 显然当时，两函数图象只有1个交点，不满足题意，故， 当与的图象相切时是临界情况，此时a最大． 设两条曲线相切时切点坐标为， 则解得 所以当与的图象有2个交点时，． 【方法反思】 “分离”较之“不分离”，有效避免了对参数的分类讨论；“半分离”较之“全分离”，又有函数简单、易作图的优点．在处理一个陌生的、复杂的方程时，可以通过等价变换，使等式两边转化成熟悉的、简单的函数，然后结合函数图象快速求解． 【典例2】当时，不等式恒成立，则的取值范围是__________． 【方法引导】 双参数问题整体处理比较困难，可以尝试对不等式进行巧妙变形，有效分离． 【详细解析】 解法1：原不等式． 令，，则． 易知在上单调递减，在上单调递增， 所以在处，取得极小值． 又，，所以，所以或 由，可得． 解法2：原不等式． ①当时，原不等式， 如图，区间端点与切线位置为临界状态，解得． ②当时，原不等式，同理得． ③当时，原不等式，故． 综上，． 【方法反思】 解决双参数问题，一般先解决一个参数，再处理另一个参数．解法2通过半分离，将问题转化为一次函数与幂函数的图象之间的位置关系，利用函数的凹凸性作切线，区间端点与切线位置为临界状态． 【举一反三】 1．已知函数，对任意的，关于x的方程有两个不同实根，则a取最小整数值时，为（    ） A． B． C．0 D．1 2．“”是“函数存在零点”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（2025届四川成都石室中学高三下期适应性考试（一））函数有且只有一个零点，则的取值是（    ） A． B． C． D． 1．已知函数，若存在，使得成立，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（2025届黑龙江佳木斯一中高三第三次模拟考试）已知不等式，对恒成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．已知函数．若函数有零点，则实数a的取值范围是 ． 4．若不等式对于任意恒成立，则实数的取值范围为 ． 5．已知函数. (1)当时，求的单调增区间； (2)已知有两个零点，. ①求实数a的取值范围； ②证明：. 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题30 变量分离法 【讲】 变量分离法，是将一个方程或不等式中的变量与参数经过适当的变形整合，分离为两个更简单的结构或者几何意义更明显的代数式的方法． 在解决数学问题的过程中，经常会遇到含有参数的函数、方程或不等式，当整体处理难度较大时，通过变量分离把问题转化为求函数的值域、最值或零点等问题，可以有效避免复杂的参数讨论及运用数形结合时遇到的作图难等问题．下面用全分离和半分离这两种方法研究和解决含有参数的函数、导数和不等式的典型问题． 类型一 变形整合 【典例1】已知方程有4个不同的实数根，则实数a的取值范围是__________． 【方法引导】 由于方程左边对应的函数是一个偶函数，且，于是只要当时，方程有2个不同的实数根即可． 【详细解析】 问题等价于当时，方程有2个不同的实数根． 解法1（不分离）：令，则． ①当时，，故在上至多有1个零点，不符合题意，舍去． ②当时，在上单调递增，在上单调递减， 所以，解得． 又当时，，当时，， 所以，当时，函数在上有2个零点，即原方程有4个不同的实数根． 解法2（全分离）：． 令，则， 易知在上单调递增，在上单调递减，所以． 又当时，，当时，，所以． 解法3（半分离）：． 令，，如图， 显然当时，两函数图象只有1个交点，不满足题意，故， 当与的图象相切时是临界情况，此时a最大． 设两条曲线相切时切点坐标为， 则解得 所以当与的图象有2个交点时，． 【方法反思】 “分离”较之“不分离”，有效避免了对参数的分类讨论；“半分离”较之“全分离”，又有函数简单、易作图的优点．在处理一个陌生的、复杂的方程时，可以通过等价变换，使等式两边转化成熟悉的、简单的函数，然后结合函数图象快速求解． 【典例2】当时，不等式恒成立，则的取值范围是__________． 【方法引导】 双参数问题整体处理比较困难，可以尝试对不等式进行巧妙变形，有效分离． 【详细解析】 解法1：原不等式． 令，，则． 易知在上单调递减，在上单调递增， 所以在处，取得极小值． 又，，所以，所以或 由，可得． 解法2：原不等式． ①当时，原不等式， 如图，区间端点与切线位置为临界状态，解得． ②当时，原不等式，同理得． ③当时，原不等式，故． 综上，． 【方法反思】 解决双参数问题，一般先解决一个参数，再处理另一个参数．解法2通过半分离，将问题转化为一次函数与幂函数的图象之间的位置关系，利用函数的凹凸性作切线，区间端点与切线位置为临界状态． 【举一反三】 1．已知函数，对任意的，关于x的方程有两个不同实根，则a取最小整数值时，为（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】A 【分析】构造函数，根据导函数的正负得出函数的单调性进而得出最小值，结合对勾函数的值域计算求参. 【详解】由，即，得， 设，则，显然是上的增函数． 因为，，所以存在，使得，即； 当时，，单调递减；当时，，单调递增； 则； 令，则，当时，，在上单调递减， 因为，所以，则，所以，又a为最小整数，则，则 故选：A． 2．“”是“函数存在零点”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】先求出满足“函数存在零点”的的取值范围，再根据充分、必要条件定义判断即可. 【详解】函数存在零点等价于方程有解，等价于有解， 而，从而，因此， 反之，当时，有解， 所以“”是“函数存在零点”的充要条件. 故选：C. 3．（2025届四川成都石室中学高三下期适应性考试（一））函数有且只有一个零点，则的取值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数有且只有一个零点，将其转化为函数的图象与直线有且只有一个交点，求导判断函数的单调性，求出其最小值，即得参数的值. 【详解】由，可得. 令，则， 则当时，，当时，， 则在上单调递减，在上单调递增，故， 且当时，；当时，， 因函数有且只有一个零点， 即函数的图象与直线有且只有一个交点， 故. 故选：B. 1．已知函数，若存在，使得成立，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先化简将问题转化为有解，再构造利用导数研究函数的性质得出最小值解题. 【详解】由题意得在区间上有解， 可转化为，令，则， 当时，，在区间上单调递减， 当时，，所以在区间上单调递增， 因此要使得在区间上有解， 只需满足，即. 故选：B. 2．（2025届黑龙江佳木斯一中高三第三次模拟考试）已知不等式，对恒成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将问题转化为对恒成立，构造函数，进而通过导数方法求出函数的最小值，即可得到答案. 【详解】不等式对恒成立， 即对恒成立， 令， 则， 因为函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 又，， 所以存在唯一，使得，即，， 则时，；时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以， 则，即. 故选：D. 3．已知函数．若函数有零点，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【详解】若函数有零点，则方程有解，所以．令，则，且，所以在上单调递增，值域为，所以，即a的取值范围是． 4．若不等式对于任意恒成立，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】先证明，再利用特征探路得，再利用证明此时不等式恒成立，或者利用参变分离求出新函数的最值后可得参数的取值范围. 【详解】方法一：先证明 ， 设，则， 设，则，故为的增函数， 故，故为上的增函数，故， 故恒成立. 又原不等式等价于恒成立， 构造函数，，则． 易知当或时，，， 则，解得， 下面证明当时，恒成立． 对于任意的，的三个实根分别为，，， 因为，所以，若， 则在上，单调递减， 在上，单调递增， 在上，单调递减， 所以在上，的最大值为，中的较大者． 又，，所以在上． 若，则在上的最大值为，中的较大者， ，， 所以在上． 方法二： 当时，不等式恒成立， 当时，分离参数得． 记，则． 而在上恒成立， 故当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以，所以． 即实数的取值范围是． 故答案为：． 5．已知函数. (1)当时，求的单调增区间； (2)已知有两个零点，. ①求实数a的取值范围； ②证明：. 【答案】(1) (2)①；②证明见解析 【分析】（1）利用导数可求的单调增区间； （2）①，令得，令，转化为与的图象有两个交点求实数a的取值范围，结合图象可得答案； ②，要证，即证，令，即证，令，利用导数判断出单调性可得，即证，令，则需证，再次构造函数，利用导数得出可得答案. 【详解】（1）当时，， ， 因为，所以当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以，的单调增区间为； （2）①，因为函数， 即有两个零点，求实数a的取值范围， 令，得，令， 转化为与的图象有两个交点求实数a的取值范围， ，当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 且，当时，，， 可得的图象如下， 所以实数a的取值范围为； ②，由①，，得 ，两式相加得， 要证，即证， 令，即证， 由得， 令得，当时，单调递增， 当时，单调递减， 因为有两个零点，，不妨设，所以， 构造函数 ，， 令得，当时，单调递增， 当时，单调递减， 所以， 令， 则，所以在单调递增， 可得，即， 又因为当时，，所以存在使得， 因为，且，所以， 又因为在上单调递增，所以，同理， 所以， 令，，当时，单调递增， 所以， 可转化为要证，即证， 令，则需证， 即，令， 因为，所以，所以在上单调递增， 所以， 所以，得证. 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题30 变量分离法 【练】 1．已知函数在区间上有零点，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题可得方程在区间上有解，然后由函数知识求得函数在区间上的值域可得答案. 【详解】函数在区间上有零点方程在区间上有解， 函数在区间上单调递减，在上单调递增， 则，则. 故选：D． 2．已知函数，对都有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意函数对都有, 可以分离出函数中的参数,转化为 ,只需即可,所以转化为导数的极值来解题. 【详解】解：函数,对都有, 当时,即, 即为 可化为 令, 则 当时,,单调递减. 因此 所以 故实数的取值范围是 故选B 【点睛】对于不等式恒成立问题中求参数的取值范围,先分离出参数,转化为求函数的导数,用导数判断出最值,求出最大值与最小值即可求出参数的范围. 3．若函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意知则在区间上恒成立，分离变量得， 则，利用辅助角公式或者导数都可求出在区间上的最大值，由此可得答案. 【详解】由题干可得，若函数在区间上单调递减， 则在区间上恒成立，因为，所以只需， 即只需恒成立，令， 由辅助角公式可知，由，得， 因为余弦函数在上单调递减，在单调递增， 且时，，时，， 故在上的最大值为，故. 故选：B. 4．已知关于的方程有两个不同的实数根，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】先利用导数判断函数的单调性，结合公共点个数可得答案. 【详解】令，，当时，，函数此时单调递减； 当时，，函数此时单调递增，所以函数最小值为. 当趋近于时，趋近于0，当趋近于时，趋近于； 当时，，当时，， 所以实数的取值范围为. 故答案为： 5．对任意的， 不等式恒成立， 则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】分离参数，构造函数，结合导数判断函数单调性及最值情况，进而可得参数范围. 【详解】由已知， 不等式恒成立， 即在上恒成立， 设，， 则， 当时，，此时函数单调递增， 当时，，此时函数单调递减， 即函数在处取得最大值为， 所以， 故答案为：. 6．若方程有且仅有一个实数，则实数的取值范围为 . 【答案】或， 【分析】分离参数，构造函数，求导得函数的单调性，即可作出函数图象，结合函数图象即可求解. 【详解】由可得， 记，则， 故当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 又，且当，时， 故作出的大致图象如下： 故有且仅有一个实数，则或， 故答案为：或， 1．若函数有两个不同的零点，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】可转化为直线与曲线有两个交点，再利用导数研究的单调性及极值，即可得解. 【详解】因为有两个不同的零点，所以方程有两个不同的根． 因为不是的根， 所以题目等价于直线与曲线有两个交点． 令，则， 则得；得或； 所以在上单调递减，在上单调递增． 当时，；当时，，时，；时，； 又， 所以当时，直线与曲线有两个交点， 即实数的取值范围是． 故选：B 2．若函数有三个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构造函数，利用导数研究其图象性质，再将问题转化交点有3个，列式即可得解. 【详解】令，得，即， 记，求导得， 因为当时，，函数在单调递减， 当时，，所以在上单调递增， 且当时，且，当时，且， 则函数的大致图象如图， 交点有3个，所以， 所以的取值范围为. 故选：A. 3．若不等式（为自然对数的底数）对任意实数x恒成立，则实数的最大值为（ ） A．0 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】，不等式恒成立，故只需考虑，分离参数构造函数，求导可得. 【详解】依题，，则时，不等式恒成立，故只需考虑，此时有， 令，则， 易知在单调递减，在上单调递增， 所以，∴实数的最大值为. 故选：C. 4．已知函数是定义域为的奇函数，且当时，，若有三个零点，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】将问题转化为与有三个交点，由已知画出图象观察即可求解. 【详解】有三个零点，可转化为与有三个交点， 函数是定义域为的奇函数，所以图象关于原点对称， 再由当时，，可画出下图： 由图可知：，即. 故答案为：. 5．已知函数，若函数（m为常数）有且仅有2个零点，则m的取值范围是 ． 【答案】 【来源】重庆市第十一中学2024-2025学年高二下学期4月期中数学试题 【分析】根据题意分析可得原题意等价于与有2个不同的交点，求导，利用导数判断原函数的单调性与极值，结合图象分析判断. 【详解】令，则， 原题意等价于与有2个不同的交点， 当时，则，可得， 令，解得；令，解得； 则在上单调递增，在上单调递减，可得， 且当x趋近于0时，趋近于，当x趋近于时，趋近于0； 所以m的取值范围是. 故答案为：. 6．已知，关于x的不等式在上恒成立，则a的最小值为 ． 【答案】 【分析】对给定不等式两边取对数，分离参数并构造函数，利用导数求出最大值即可. 【详解】，不等式 令，求导得，当时，； 当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减，， 因此，解得， 所以a的最小值为. 故答案为： 1．已知函数恰有两个极值点，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】函数有两个极值点，只需导函数有两个不同的根，求导反解参数，得到只需有两个不同的根，引入函数，求导研究其单调性，数形结合得到答案. 【详解】根据题意 ，若函数恰有两个极值点， 则只需有两个不同的根， 显然不是方程的根，所以只需有两个不同的根， 令，则， 当时，，是减函数； 当时，，是减函数； 当时，，是增函数， 极大值， 又当，当， 当，当，， 的图像如图所示， 结合图象可得若原函数有两个极值点，需满足. 故选：B． 2．已知函数，若存在使得，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设的反函数为，将题干转化为与的图象在区间上有交点，再利用与的图象的对称性，转化为的图象与直线在区间上有交点，进而通过分离常数，转化为求，上的值域即可. 【详解】设的反函数为，由可得， 所以题干等价为与的图象在区间有交点， 因为与的图象关于直线对称， 所以两函数图象交点必在上， 故图象与直线在区间有交点， 则在区间有解，则， 令，则， 则在区间单调递增，又， 则的取值范围为． 故选：D 3．已知函数，若对任意且，不等式恒成立，则实数a的最大值为 ． 【答案】 【分析】等价变形给定不等式，构造函数，利用函数单调性定义可得在上单调递增，再利用导数求出的范围即可. 【详解】不妨令，依题意，， ，令， 则，，函数在上单调递增， 因此，恒成立， 令函数，求导得，当时，； 当时，，函数在上单调递减，在上单调递增， ，因此， 所以实数a的最大值为. 故答案为： 4．若函数在区间单调递增，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】先求出导函数，再根据单调性得出，最后结合基本不等式计算求解. 【详解】， 令，则当时，， 又因为， 当且仅当时等号成立，且当时，不恒为0， 故的取值范围是. 故答案为：. 5．已知函数. (1)当时，函数是否存在过原点的切线，若存在，求出切线方程，若不存在，说明理由； (2)若对任意，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)不存在，理由见解析 (2) 【分析】（1）当时，得到函数的解析式，假设存在过原点的切线，并设出切点坐标，根据斜率相等列出方程，通过方程无解，说明假设不成立，即可得解. （2）设，将对任意，恒成立，转化成在上恒成立，借助导数，求出在上的最大值即可求出实数的取值范围. 【详解】（1）当时，函数，， 假设存在过原点的切线，设切点为， 则，整理可得，方程无解， 故假设不成立，所以函数不存在过原点的切线； （2）对任意，恒成立， 恒成立. ，在上恒成立. 设， 则. 令，得或（舍去）. 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 当时，取得极大值，也是最大值，且， 若在上恒成立，则， 故实数的取值范围是：. 6．已知函数． (1)当时，讨论的零点个数； (2)当时，证明：在区间内存在唯一的零点； (3)若对于任意的，都有，求整数的最大值． 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 (3)3 【分析】（1）求导得到单调性，利用零点存在定理即可证明结论； （2）求导得到单调性，利用零点存在定理即可证明结论； （3）利用分离参数法得到，令，求导得到函数最小值，即可得到结果. 【详解】（1）由， 当时，由得，在上单调递减， 解得， 当时，在内只有一个零点． 当时，，在上单调递减. ，，. 又， 在内有一个零点． 又在上单调递减， 当时，在内有一个零点． 综上，当时，只有一个零点． （2）证明：当时，，， 当时，， 在上单调递增， ，， 在区间内存在唯一的零点． （3），且，， 令，则，， 由（2）知，在上单调递增，且在区间内存在唯一的零点， 设该零点为，则， 故当时，，即，在上单调递减， 当时，，即，在上单调递增， ， ， 故整数的最大值为3． 学科网（北京）股份有限公司 $