离散型随机变量的均值与方差解题策略 讲义-2026届高三二轮专题复习

揭秘离散型随机变量的均值与方差之面纱解题策略 离散型随机变量的均值与方差是反映随机变量的两个重要数字特征.设随机变量的可能取值为;取的概率为,即的分布列为( ).定义的均值为，它反映或刻画的是随机变量取值的“中心位置”即平均水平;的均值(平均数)也称作的数学期望(简称期望)记为,它是一个量数,与随机变量本身具有相同的单位.定义的方差为 ，其实方差就是的期望,它刻画了随机变量与其均值的平均偏离程度,反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度;方差越小,随机变量的取值就越集中在均值周围,反之方差越大,随机变量的取值就越分散,方差的单位是随机变量单位的平方;是随机变量的标准差,它的单位与随机变量的单位相同.上面揭示着均值与方差的定义和性质特征,它们的这层面纱被揭秘后,下面采撷几例,谈谈均值与方差在解题中的应用. 题型一、利用均值与方差的定义解题 例1.已知随机变量的分布列为,其中 成等差数列,且;(1)求和的值;(2)求. 【解析】(1)依题意有,且,可得, ①;由均值的定义得 ②;由①②式解得. (2)由(1)及方差的定义知. 【点评】这类问题的求解一般不会难,只需要直接按照均值与方差的定义操作就行;另外，在求解过程中要充分利用好已知条件,由成等差数列及的分布列中各概率之和为,这一点千万不能忽视. 【变式训练1】已知随机变量的分布列如右表所示,其中,且;(1)求和的值;(2)求. 题型二、利用均值与方差的性质解题 例2.已知随机变量的分布列如右表所示;(1)求与;(2)若随机变量与的关系满足,求和. 【解析】(1)由期望定义知,.由方差定义得 .另解:因 ,由方差与期望的性质公式知. (2)由期望性质知;由方差性质知 . 【点评】在第(1)问计算与时,要用到数列求和公式与 才能完成,并注意方差与期望有一个重要的性质公式,即,有时使用它计算方差显得方便简洁;在第(2)问计算和时,要利用期望与方差的运算性质:若随机变量与满足(为常数),则,,可简化运算. 【变式训练2】若随机变量的分布列为: ;(1)求,,;(2)设,求,. 题型三、二项分布中的均值与方差计算 例3.一次数学单元测验试卷由个选择题构成,每个选择题有个选项,其中有且仅有一个选项是正确答案，每题选择正确答案得分,不作出选择或选错不得分,试卷满分分;学生甲做对任意一题的概率为，学生乙则在测验中对每题都从4个选项中随机地选择一个，求学生甲和乙在这次数学单元测验中成绩的期望与方差各是多少? 【解析】设学生甲和乙在这次数学测验中答对题的个数分别为和,甲和乙在测验中的成绩分别为和分;则,,得个,个,且, ;又因,于是分, ,分,.答:学生甲在这次测验中成绩的期望为分,方差为;学生乙成绩的期望为分,方差为. 【点评】当一个随机变量时,要注意二项分布的期望公式为,二项分布的方差公式为,利用这两个公式来求二项分布的期望和方差是非常方便的,可大大简化运算. 【变式训练3】某人打篮球投篮每次投中的概率均为.(1)求投篮一次，投中次数的均值和方差;(2)求重复次投篮所投中次数的均值和方差． 题型四、超几何分布中的均值与方差计算 例4.从名男生和名女生中任选人参加歌咏比赛,设随机变量表示所选人中女生的人数.(1)求的分布列;(2)求的数学期望和方差. 【解析】(1)依题意知;则,, ;则的分布列如右表所示: (2)由期望定义得:; 由方差定义得. 【点评】如果随机变量服从超几何分布,即,其中为超几何分布中的参数值,则期望,方差.本例中各参数值分别为;可直接代入公式计算得. 【变式训练4】有10件产品,其中3件是次品;从中任取2件,若抽到的次品数为,求的分布列,期望和方差. 题型五、均值与方差在实际问题中的应用 例5.甲、乙两种水稻在相同条件下各种植100亩,收获的情况如下(亩产量为kg)： 在计算时可用频率代替概率，试评价哪种水稻的质量较好? 【解析】设甲乙两种水稻的亩产量(单位:kg)分别为和则, ,.同理有,,,.于是(kg); (kg).即,这表明两种水稻的平均亩产量相同;进一步求出各自的方差为 ();().显然,,这说明乙种水稻的产量较为稳定,因此乙种水稻的质量较好. 【点评】求离散型随机变量的均值与方差关键是确定随机变量的所有可能值,写出随机变量的分布列,正确运用均值、方差公式进行计算.要比较甲、乙两种水稻的质量,需求出各自平均亩产量并对其稳定情况进行比较;题中只给出了亩产量与亩数关系,则应先得出甲、乙两种水稻的亩产量的概率分布,再求其期望与方差;注意不要误认为均值相等时它们都一样好,这时还应看它们相对于均值的偏离程度,也就是看哪一个相对稳定(即比较方差的大小,方差越小就越集中稳定,方差越大就越分散而不稳定),相对稳定的就是质量较好者. 【变式训练5】袋中有个大小相同的球,其中标号为的有个,标号为的有个();现从袋中任取一球,表示所取球的标号.(1)求的分布列、数学期望和方差;(2)若试求的值. 【变式训练题答案】 1.解:(1)由分布列概率和为,得,即 ①;由,解得,再由①式得.(2)由(1)及方差的定义可得. 2.解:(1);,则(或); .(2),. 3.解:(1)依题意投中次数,则,. (2)依题意知投中次数,则,. 4.解:依题意知;则,, ;则的分布列如右表所示: 由期望与方差的定义或根据超几何分布的期望和方差公式,易求得. 5.解:(1)依题意;则,,, ,;则的分布列为 数学期望; . (2)由,解得;由,当时,得,当时,得;故,或. 学科网（北京）股份有限公司 $